コンピュテーショナル・ファイナンス（その04/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　古典的名著

コンピュテーショナル・ファイナンス (ファイナンス講座)

作者:爽一郎, 森平,裕, 小島
朝倉書店

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を基に「コンピュテーショナル・ファイナンス」を学んでいきます。

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2.　ツリーモデルによるオプションの評価
- 2.5　確率微分方程式を直接近似する方法
  - 2.5.1　2項モデルの近似
  - 2.5.2　三項モデル
次回

2.　ツリーモデルによるオプションの評価

　ツリーモデルを用いたデリバティブ評価の理論的背景と具体的なアルゴリズムを紹介する。

2.5　確率微分方程式を直接近似する方法

　満期時点のペイオフをリスク中立確率を用いることで期待値を取り、リスクフリーレートで現在価値に割り引いて計算する。すなわち

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{dS}{S}}=(r_d-r_f)dt+\sigma dW \end{aligned}$

を機械的に多項モデルで近似することを考える。

2.5.1　2項モデルの近似

　確率微分方程式

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{dS}{S}}=(r_d-r_f)dt+\sigma dW \end{aligned}$

を対数変換した後に2項モデルで近似することを考える。

$\begin{aligned} dS=(r_d-r_f)Sdt+\sigma SdW \end{aligned}$

であり、 $X=\log{S}$ とおくと、

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial X}{\partial S}}&=\displaystyle{\frac{1}{S}},&\displaystyle{\frac{\partial^2 X}{\partial S^2}}&=-\displaystyle{\frac{1}{S^2}},\\ \displaystyle{\frac{\partial X}{\partial t}}&=0,&\displaystyle{\frac{\partial^2 X}{\partial t^2}}&=0 \end{aligned}$

であり、伊藤の公式から、

$\begin{aligned} dX&=\left\{\displaystyle{\frac{1}{S}}(r_d-r_f)S-\displaystyle{\frac{1}{2S^2}(\sigma S)^2}\right\}dt+\displaystyle{\frac{1}{S}}\sigma SdW,\\ &=\left\{\left(r_d-r_f \right)-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right\}dt+\sigma dW \end{aligned}$

が成り立つ。
　 $X$ の上昇と下落について、その大きさが同じでそれを $H$ だとする。すなわち上昇幅は $H$ ,下落幅は $-H$ とする。これらについて上述の $X$ に関する確率微分方程式に整合的なように $p,\ H$ を決める。まず平均が整合的になるようにすることを考えると

$\begin{aligned} E[\Delta X]=pH-(1-p)H=2pH-H=\left\{\left(r_d-r_f \right)-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right\}\Delta t \end{aligned}$

である。また分散も同様に考え

$\begin{aligned} V[\Delta X]&=E[{\Delta X}^2]+\left(E[\Delta X]\right)^2\\ &=pH^2+(1-p)H^2-\left[\left\{\left(r_d-r_f \right)-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right\}\Delta t\right]^2\\ &=H^2-\left[\left\{\left(r_d-r_f \right)-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right\}\Delta t\right]^2=\sigma^2 \Delta t \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} (2p-1)H=\left\{\left(r_d-r_f \right)-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right\}\Delta t,&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (a)\\ H^2-\left[\left\{\left(r_d-r_f \right)-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right\}\Delta t\right]^2=\sigma^2 \Delta t&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (b) \end{array} \right. \end{aligned}$

(a)より

$\begin{aligned} p=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\left\{\left(r_d-r_f \right)-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right\}\displaystyle{\frac{\Delta t}{H}} \end{aligned}$

(b)より

$\begin{aligned} H=\displaystyle{\sqrt{\left[\left\{\left(r_d-r_f \right)-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right\}\Delta t\right]^2+\sigma^2\Delta t}} \end{aligned}$

である。
　ここで二項モデルの安定性を考えると、まず分散における整合性から、

$\begin{aligned} V[\Delta X]=H^2-\left[\left\{\left(r_d-r_f \right)-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right\}\Delta t\right]^2=\sigma^2 \Delta t\geq0\\ \therefore\ \ H^2\geq \left[\left\{\left(r_d-r_f \right)-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right\}\Delta t\right]^2 \end{aligned}$

であり

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\left[\left\{\left(r_d-r_f \right)-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right\}\Delta t\right]^2}{H^2}}\leq1\\ \ -1\leq\displaystyle{\frac{\left\{\left(r_d-r_f \right)-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right\}\Delta t}{H}}\leq1 \end{aligned}$

が成り立つから、 $0\leq p\leq1$ が成り立つ。

2.5.2　三項モデル

　3状態への変動幅 $U,M,D$ およびその状態の生起する確率 $p_1,p_2,p_3$ をリスク中立な世界における対数変換した連続過程

$\begin{aligned} dX=\left\{\left(r_d-r_f \right)-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\right\}dt+\sigma dW \end{aligned}$

に整合的になるように決定する。すなわち

$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{ll} p_1+p_2+p_3=1,\ 0\leq p_i\leq1,\ i=1,2,3\\ E[\Delta X]=(r_d-r_f)-\displaystyle{\frac{1}{2}\sigma^2}\\ V[\Delta X]=\sigma^2\Delta t\\ U+D=2M \end{array} \right. \end{aligned}$