やりなおしの数学・線形代数篇（03/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
2.　行列と線形写像
- 2.3　行列の基本変形・階数

今日のまとめ

任意の $(m,n)$ 型行列 $A$ は基本変形を何度か施すことによって次の標準形に変形できる：
$\begin{aligned}F_{m,n}(r)=\begin{bmatrix}I_{r} &O_{n-r,r}\\O_{m-r,r}&O_{m-r,n-r}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1& & & & & \\ &1& & & & \\ & &\ddots& & & \\ & & &1& & \\ & & & &0 & \\ & & & & &\ddots\\\end{bmatrix}\end{aligned}$

標準形において $1$ の並んだ数を行列 $A$ の階数（ランク）という。

行列 $A$ と単位行列 $I$ を並べた $[A\ I]$ を基本変形することにより、正則か否かの判断および正則ならば逆行列を求めることが出来る。これを掃き出し法という。

2.　行列と線形写像

2.3　行列の基本変形・階数

2.3.1　基本変形

　行列の持つある性質を保存しつつ、可能な限り簡単な形の行列に変形する「基本変形」を扱う。

(1) $n$ 次単位行列の第 $i$ 列と第 $j$ 列とを交換した $P_n(i,j)$

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & & & \vdots & & & & \vdots & & & \\ & \ddots& &\vdots & & & & \vdots & & & \\ & & 1 & \vdots & & & & \vdots & & & \\ \cdots & \cdots&\cdots & 0 &\cdots &\cdots &\cdots & 1 &\cdots & \cdots&\cdots \\ & & & \vdots &1 & & & \vdots & & & \\ & & & \vdots & & \ddots& & \vdots & & & \\ & & & \vdots & & &1 & \vdots & & & \\ \cdots & \cdots& \cdots&1 &\cdots & \cdots&\cdots&0 &\cdots & \cdots&\cdots \\ & & & \vdots & & & & \vdots &1 & & \\ & & & \vdots & & & & \vdots & & \ddots& \\ & & & \vdots & & & & \vdots & & &1 \end{bmatrix} \end{aligned}$

　 $(m,n)$ 型行列 $A$ に対し、これを左から掛けると $A$ の第 $i$ 行と第 $j$ 行とが交換され、右から掛けると $A$ の第 $i$ 列と第 $j$ 列とが交換される。

(2) 単位行列の $(i,i)$ 成分を $c\neq0$ に変えた $Q_n(i;c)$

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & & &\vdots & & & \\ &\ddots& & \vdots& & & \\ & &1 &\vdots & & & \\ \cdots &\cdots &\cdots &c &\cdots &\cdots &\cdots \\ & & &\vdots&1 & & \\ & & &\vdots& &\ddots& \\ & & &\vdots& & &1 \\ \end{bmatrix},\ c\neq0 \end{aligned}$

　 $A$ の左から掛けると $A$ の第 $i$ 行が $c$ 倍され、 $A$ の右から掛けると $A$ の第 $i$ 列が $c$ 倍される。

(3) 単位行列の $(i,j)$ 成分( $i\neq j$ )を $c\in\mathbb{R}$ に変えたもの

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 & & & &\vdots & & \\ &\ddots & & &\vdots & & \\ \cdots &\cdots &1 &\cdots &c &\cdots &\cdots \\ & & &\ddots &\vdots & & \\ & & & &1 & & \\ & & & &\vdots &\ddots& \\ & & & &\vdots & &1 \\ \end{bmatrix},\ i\neq j \end{aligned}$

$A$ の左から掛けると $A$ の第 $i$ 行に第 $j$ 行の $c$ 倍が加わり、 $A$ の右から掛けると $A$ の第 $j$ 列に第 $i$ 列の $c$ 倍が加わる。

以上の3種類を基本行列といい、これらを行列 $A$ に掛けることを基本変形という。基本変形はすべて正則である。

(左 1)	2つの行を入れ替える。
(右 1)	ある行に $0$ でない数を掛ける。
(左 2)	ある行に他のある行の定数倍を加える。
(右 2)	2つの列を入れ替える。
(左 3)	ある列に $0$ でない数を掛ける。
(右 3)	ある列に他のある列の定数倍を加える。

　 $(m,n)$ 型行列 $A$ についてその $(p,q)$ 成分が $0$ でないとき、

まず第 $p$ 行を $(p,q)$ 成分で割ることで $(p,q)$ 成分を $1$ にする。
次にすべての $i\neq p$ に対して第 $i$ 行から第 $p$ 行の $(i,q)$ 成分倍を引く。

以上により第 $q$ 列は第 $p$ 行以外すべて $0$ である。
これを $(p,q)$ を要として左から第 $q$ 列を掃き出すという。
　更に

すべての $j\neq q$ に対して第 $j$ 列から第 $q$ 列の $(p,j)$ 成分倍を引く。

以上により第 $p$ 行および第 $q$ 列は $(p,q)$ 成分は $1$ でそれ以外すべて $0$ となる。

2.3.2　掃き出し法

　 $n$ 次正方行列 $A$ に対して $XA=I$ または $AX=I$ となるような $n$ 次行列 $X$ が存在するならば $A$ は正則である。

（ $\because$ 　 $n$ に関する数学的帰納法により証明する。
　まず $n=1$ の場合は、 $A=a,\ a\neq0$ に対して $A=a^{-1}$ とおけば $X$ は確かに $A$ の逆行列（逆数）である。
　次に $n=k\gt1$ において仮定が成り立つとする。 $A\neq O$ であるから掃き出しにより

$\begin{aligned} B=\begin{bmatrix} 1 &{}^{t}\boldsymbol{o}\\ \boldsymbol{o}&A_1 \end{bmatrix} \end{aligned}$

と変形できる。基本変形が正則であったことに注意すれば、これはある正則行列 $P,Q$ を用いて

$\begin{aligned} PAQ=B=\begin{bmatrix} 1 &{}^{t}\boldsymbol{o}\\ \boldsymbol{o}&A_1 \end{bmatrix} \end{aligned}$

となることを意味する。
　 $P,Q$ は正則であるから、

$\begin{aligned} Q^{-1}XP^{-1}=\begin{bmatrix} u &{}^{t}\boldsymbol{z}\\ \boldsymbol{y}&X_1 \end{bmatrix} \end{aligned}$

を考えることが出来る。ここで $u\in\mathbb{R}$ 、 ${}^{t}\boldsymbol{z}$ は ${}^{t}\boldsymbol{o}$ 、 $\boldsymbol{y}$ は $\boldsymbol{o}$ 、そして $X_1$ は $A_1$ に行および列の数が一致するものとする。
　仮定から

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1 &{}^{t}\boldsymbol{o}\\ \boldsymbol{o}&I_{n-1} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} u &{}^{t}\boldsymbol{z}\\ \boldsymbol{y}&X_1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &{}^{t}\boldsymbol{o}\\ \boldsymbol{o}&A_{1} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u &{}^{t}\boldsymbol{z}A_1\\ \boldsymbol{y}&X_1A_1 \end{bmatrix} \end{aligned}$

が成り立つから、

$\begin{aligned} X_1A_1=I_{n-1} \end{aligned}$

である。帰納法の仮定から $A_1$ は正則である。したがって

$\begin{aligned} B=\begin{bmatrix} 1 &{}^{t}\boldsymbol{o}\\ \boldsymbol{o}&A_1 \end{bmatrix} \end{aligned}$

も正則である。 $A=P^{-1}BQ^{-1}$ であるから $A$ も正則である。　 $\blacksquare$ ）

2.3.3　階数の導入

　前節を応用すると、以下が成り立つことを示すことができる。

　任意の $(m,n)$ 型行列 $A$ は基本変形を何度か施すことによって次の標準形に変形できる：

$\begin{aligned} F_{m,n}(r)=\begin{bmatrix} I_{r} &O_{n-r,r}\\ O_{m-r,r}&O_{m-r,n-r} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1& & & & & \\ &1& & & & \\ & &\ddots& & & \\ & & &1& & \\ & & & &0 & \\ & & & & &\ddots\\ \end{bmatrix} \end{aligned}$

ここで $r$ は最後の対角成分上に並ぶ $1$ の数であり、これは基本変形の仕方に依らず $A$ によってのみ決まる。

（ $\because$ 　 $A=O$ ならば $r=0$ と考えれば $A$ 自身が $F_{m,n}(0)$ である。
　次に $A\neq O$ を考える。基本変形により任意の成分の位置は任意の位置に移動できるから、 $(1,1)$ 成分が $0$ でない場合を考えても一般性を失わない。そこで $(1,1)$ 成分を要に左右から第1列および第1行を掃き出すことで

$\begin{aligned} F_{m,n}(r)=\begin{bmatrix} I_{r} &O_{n-r,r}\\ O_{m-r,r}&O_{m-r,n-r} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 &0&\cdots&0\\ 0 & & & \\ \vdots& &* & \\ 0 & & & \end{bmatrix} \end{aligned}$

という形態に変形できる。
　もし第1行および第1列以外のすべての成分が $0$ であれば、これは標準形 $F_{m,n}(1)$ に他ならない。そうでなければ、それを $(2,2)$ 成分に移動させ、同様に $(2,2)$ 成分を要に左右から第 $2$ 列および第 $2$ 行を掃き出す。
　同様の操作を高々 $\max(m-1,n-1)$ 回繰り返すことで

を得ることが出来る。
　次に $A$ が2通りの標準形 $F(r)=F_{m,n}(r), F(s)=F_{m,n}(s)$ と書かれるとする。このとき一般性を失うことなく $r\leq s$ としてよい。
　基本変形の可逆性から、 $m$ 次正方行列 $P$ および $n$ 次正方行列 $Q$ を用いて

$\begin{aligned} F(s)=PF(r)Q \end{aligned}$

と表される。この $P,Q$ の行および列 $r$ 番目で区切り4つに対称に区分けして

$\begin{aligned} P=\begin{bmatrix} P_{11} &P_{12}\\ P_{21} &P_{22} \end{bmatrix},\ Q=\begin{bmatrix} Q_{11} &Q_{12}\\ Q_{21} &Q_{22} \end{bmatrix} \end{aligned}$

とおく。このとき

$\begin{aligned} &\ F(s)=PF(r)Q \Leftrightarrow\ F(s)=\begin{bmatrix} P_{11} &P_{12}\\ P_{21} &P_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I_{r} &O\\ O &O \end{bmatrix}\begin{bmatrix} Q_{11} &Q_{12}\\ Q_{21} &Q_{22} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} P_{11}Q_{11} &P_{12}Q_{12}\\ P_{21}Q_{11} &P_{22}Q_{12} \end{bmatrix} \end{aligned}$

である。 $r\leq s$ の仮定から

$\begin{aligned} P_{11}Q_{11}&=I_{r},\\ P_{11}Q_{12}&=O_{r,n-r},\\ P_{21}Q_{11}&=O_{m-r,r} \end{aligned}$

が得られる。 $P_{11},Q_{11}$ は共に正則であるから、

$\begin{aligned} Q_{12}&=O_{r,n-r},\\ P_{21}&=O_{m-r,r} \end{aligned}$

である。したがって $P_{21}Q_{12}=O_{m-r,n-r}$ であり、これは $r=s$ を意味する。　 $\blacksquare$ ）

以上の操作により得られた $r$ を階数（rank）という。

2.3.4　階数の重要な性質

$n$ 次正方行列 $A$ が正則であるためにはその階数が $n$ に等しいことが必要十分である。

（ $\because$ 　正則な正方行列 $P,Q$ に対して $PAQ=F(r)$ と仮定する。このとき、 $A$ が正則ならば $PAQ$ も正則であるから、 $r=n$ である。
　逆に $r=n$ ならば $F(r)=I$ であるから、 $A=P^{-1}Q^{-1}$ が成り立つ。したがって $A$ が正則である。　 $\blacksquare$ ）

$n$ 次正方行列 $A$ が正則ならば、基本変形のみによって $A$ を単位行列に変形することが出来る。また逆も成り立つ。

（ $\because$ 　 $A$ が正則ならば、前に示した定理から、 $PAQ=I$ が成り立つ。ここで $P,Q$ は基本行列の積である。同式において左から $Q,$ 右から $Q^{-1}$ を掛けることで $QPA=I$ が成り立ち、 $QP$ も基本行列の積であることから、 $A$ は正則である。　 $\blacksquare$ ）

2.3.5　掃き出し法の実例

　行列

$\begin{aligned} \ A=\begin{bmatrix} \ 1& 3& 2\\ \ 2& 6& 3\\ \ -2&-5&-2 \end{bmatrix} \end{aligned}$

に逆行列があれば、それを求めよ。

　第1行の $(-2)$ 倍を第2行に、第1行の $2$ 倍を第3行に加えることで

$\begin{aligned} \left[A E\right]=\begin{bmatrix} \ 1& 3& 2 &1&0&0\\ \ 2& 6& 3 &0&1&0\\ \ -2&-5&-2 &0 &0&1 \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix} 1& 3& 2& 1&0&0\\ 0& 0& -1&-2&1&0\\ 0& 1& 2& 2&0&1 \end{bmatrix}\cdots(*) \end{aligned}$

さらに第2行を $(-1)$ 倍した後に第3行と入れ替えることで

$\begin{aligned} (*)\rightarrow\begin{bmatrix} 1& 3& 2& 1&0&0\\ 0& 0& -1&-2&1&0\\ 0& 1& 2& 2&0&1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1& 3& 2& 1&0&0\\ 0& 1& 2& 2&0&1\\ 0& 0& 1&2&-1&0 \end{bmatrix}\cdots(**) \end{aligned}$

となり、第3行の $(-2)$ 倍を第1行および第2行に加えることで

$\begin{aligned} (**)\rightarrow\begin{bmatrix} 1& 3& 2&1&0&0\\ 0& 1& 2&2&0&1\\ 0& 0& 1&2&-1&0 \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix} 1& 3& 0& -3&2&0\\ 0& 1& 0& -2&2&1\\ 0& 0& 1& 2&-1&0 \end{bmatrix}\cdots (***) \end{aligned}$

となる。最後に第2行の $(-3)$ 倍を第1行に加えることで

$\begin{aligned} (***)\rightarrow\begin{bmatrix} 1& 3& 0& -3&2&0\\ 0& 1& 0& -2&2&1\\ 0& 0& 1& 2&-1&0 \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix} 1& 0& 0& 3&-4&-3\\ 0& 1& 0& -2& 2& 1\\ 0& 0& 1& 2&-1& 0 \end{bmatrix} \end{aligned}$

以上から、 $A$ は正則であり、

$\begin{aligned} A^{-1}=\begin{bmatrix} \ -3& 2&0\\ \ -2& 2&1\\ \ 2&-1&0 \end{bmatrix} \end{aligned}$

である。

今日のまとめ

2. 行列と線形写像

2.3 行列の基本変形・階数

2.3.1 基本変形

2.3.2 掃き出し法

2.3.3 階数の導入

2.3.4 階数の重要な性質

2.3.5 掃き出し法の実例