証券投資論（16/21） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　証券投資（現代ポートフォリオ理論）をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

証券投資理論 (Minervaファイナンス講座)

作者:八木恭子,澤木勝茂
ミネルヴァ書房

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を参考に学んでいく。

7.　確率解析の基礎
- 7.2　連続時間の下での動的計画法
- 7.3　伊藤の微分
  - 7.3.1　伊藤の微分(ベクトル)

前回：

https://power-of-awareness.com/entry/2022/04/13/050000power-of-awareness.com

7.　確率解析の基礎

　時間が連続的に推移する投資決定問題に必要な確率解析の基礎を扱う。

7.2　連続時間の下での動的計画法

　投資と消費の最適配分問題はファイナンスにおける経時的モデルの一種である。ここでは計画期間を有界な閉集合 $[0,T]$ とし $T\lt\infty$ を満期とする。 $X(t),t\in[0,T]$ を状態変数とし、 $Y(t)$ を制御変数とする。効用関数を $u=u(X(t),Y(t)),0\leq t\lt T$ とおき、 $B(Y(T),T)$ を期間 $T$ での

$\begin{aligned} E\left[\displaystyle{\int_{0}^{T}u\left(X(t),Y(t),t\right)dt+B(Y(T),T)}\left|X(0)=x_0\right.\right] \end{aligned}$

を最大にするような制御変数のパス $\{Y(t),0\leq t\leq T\}$ を選択することである。
　ここで $X(t)$ は制御変数 $Y(t)$ を含む確率微分方程式を満たす。まず離散時間の下での最適化問題を考える。 $V(X((t),r)$ を時間 $t=t$ から $t=T$ までの期待値の最大値とし、動的計画法の最適性の原理から、 $t=T,T-1,\cdots,1,0$ に対して

$\begin{aligned} V(X((t),r)＝\displaystyle{\max_{Y(t)}E[u(X(t),Y(t),t)+V(x(t+1),t+1)]} \end{aligned}$

と書ける。この最適化問題は、 $t=T$ から出発して $t=0$ まで逆向きに解くことで最適解 $\{Y^{*}(t),0\leq t\leq T\}$ を得る。
　次に連続時間の下での最適化問題を拡張していく。 $h\ll1$ として

$\begin{aligned} V(X(t),t)&=\displaystyle{\max_{Y(t)}E\left[\displaystyle{\int_{t}^{t+h}u(X(s),Y(s),s)}ds+V(X(t+h),t+h)\right]}\\ &=\displaystyle{\max_{Y(t)}\left\{u(X(t),Y(t),h)h+E[V(X(t+h),t+h)]\right\}} \end{aligned}$

である。ここで $dV(t)=V(X(t+h),t+h)-V(X(t),t)$ とおけば、 $V(X(t),t)$ は

$\begin{aligned} V(X(t),t)=\displaystyle{\max_{Y(t)}\{u(X(t+h),Y(t+h),t+h)+V(X(t),t)+E[dV(t)]\}} \end{aligned}$

と書ける。 $h=dt$ とおいて両辺を $dt$ で割ることで

$\begin{aligned} &V(X(t),t)=\displaystyle{\max_{Y(t)}\{u(X(t+h),Y(t+h),t+h)+V(X(t),t)+E[dV(t)]\}}\\ \Leftrightarrow\ &V(X(t),t)=V(X(t),t)+\displaystyle{\max_{Y(t)}\{u(X(t+h),Y(t+h),t+h)+E[dV(t)]\}}\\ \Leftrightarrow\ &0=\displaystyle{\max_{Y(t)}\left\{u(X(t+dt),Y(t+dt),t+dt)+\displaystyle{\frac{E[dV(t)]}{dt}}\right\}} \end{aligned}$

を得る。この式では、確率微分方程式を満足する確率過程 $\{X(t);t\geq0\}$ の関数である $V(X(t),t)$ の確率微分 $dV(t)$ を評価することができれば、 $Y(t)$ に関して解くことができる。そのために伊藤微分を考える。

7.3　伊藤の微分

　確率過程 $\{Z(t);t\geq0\}$ が以下の性質を満たすとき、 $Z(t)$ は標準 $\mathrm{Brown}$ 運動(もしくは $\mathrm{Wiener}$ 過程)に従うという。

	(1)	$Z(0)=0$ である。
	(2)	$Z(t)$ が独立増分をもつ。
	(3)	$Z(t)$ は $t$ に関して連続である。
	(4)	${}^{\forall}s,{}^{\forall}t\in[t\geq0],s\lt t$ に対して $Z(t)-Z(t)\sim N(0,t-s)$ である。

　 $\mathrm{Brown}$ 運動 $Z(t)$ 上で状態変数 $X(t)$ のダイナミクスが確率微分方程式

$\begin{aligned} dX(t)=f(X(t),t)dt+g(X(t),t)dZ(t) \end{aligned}$

によって記述されるとする。もし $f(X(t),t)=a(t)X(t),g(x(t),t)=b(t)X(t)$ ならば、 $X(t)$ は幾何 $\mathrm{Brown}$ 運動(対数正規過程)に従うという。この式は形式的に

$\begin{aligned} X(t)=X(0)+\displaystyle{\int_0^t f(X(s),s)ds}+\displaystyle{\int_0^t g(X(s),s)dZ(s)} \end{aligned}$

と書ける。ここで確率変数 $dZ(t)$ に関する確率積分 $\displaystyle{\int_{0}^{t}g(X(s),s)dZ(s)}$ は既に述べたように、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{t}g(X(s),s)dZ(s)}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j=1}^{n}g(X(s),s)}\{V(t_{j+1})-V(t_j)\} \end{aligned}$

で定義されるものであった。
　状態変数 $X(t)$ と時間 $t$ の関数である $F=F(X(t),t)$ を考える。 $X(t)$ の実現値 $x$ に関して $2$ 回連続微分可能であり、 $t$ に関して1回微分可能な関数だと仮定する。このとき $h=dt$ として関数 $F$ を $\mathrm{Taylor}$ 展開すれば

$\begin{aligned} dF&=F(X(t+h),t+h)-F(X(t),t)\\ &=\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}dt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}dx+\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}}(dx)^2+o(dt) \end{aligned}$

を得る。
　これに $dX(t)$ を代入することで、 $f(x,t)=f,g(x,t)=g$ と書くことにして

$\begin{aligned} dF&=\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}dt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}dx+\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}}(dx)^2+o(dt)\\ =&\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}dt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}\left(fdt+gdZ(t)\right)+\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}}\left(fdt+gdZ(t)\right)^2+o(dt)\\ =&\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}dt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}fdt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}g dZ(t)+\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}f^2(dt)^2}+\displaystyle{\frac{\partial^2F}{\partial x^2}f g dt dZ(t)}\\ &+\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}g^2(dZ(t))^2}+o(dt)\\ =&\left(\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}f\right)dt+\displaystyle{\frac{\partial^2F}{\partial x^2}f g dt dZ(t)}\\ &+\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}g^2(dZ(t))^2}+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}g dZ(t)+o(dt) \end{aligned}$

である。ここで $(dZ)^2=dt,dt\cdot dZ(t)=o(dt)$ であることを踏まえれば

$\begin{aligned} dF&=\left(\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}f+\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}g^2\right)dt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}g dZ(t)+o(dt) \end{aligned}$

であり、漸近オーダー項を無視して

$\begin{aligned} dF=\left(\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}f+\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}g^2\right)dt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}g dZ(t) \end{aligned}$

を得る。この式を伊藤の微分則という。

7.3.1　伊藤の微分(ベクトル)

　 $X(t)$ がベクトルの場合、新たに $\boldsymbol{X}(t)={}^{t}(X_1(t),\cdots,X_n(t))$ とするとき、

$\begin{aligned} d\boldsymbol{F}&=\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial t}}dt+{}^{t}\left(\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{x}}}\right)d\boldsymbol{X}(t)+\displaystyle{\frac{1}{2}{}^{t}(d\boldsymbol{X}(t) )\frac{\partial^2\boldsymbol{F}}{\partial\boldsymbol{x}\partial{}^{t}\boldsymbol{x}}d\boldsymbol{X}(t)}+o(dt) \end{aligned}$

である。 $\boldsymbol{F}$ のベクトル $\boldsymbol{x}$ に関する2階偏微分を $\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}$ と表現し $\boldsymbol{g}(\boldsymbol{X}(t),t)d\boldsymbol{Z}(t)=d\boldsymbol{B}(t)$ とおけば

$\begin{aligned} {}^{t}(d\boldsymbol{X}(t) )\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}d\boldsymbol{X}(t)&={}^{t}\boldsymbol{g}d\boldsymbol{Z}(t)\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}({}^{t}\boldsymbol{g}d\boldsymbol{Z}(t) )+o(dt)\\ &=\mathrm{tr}(\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}d\boldsymbol{B}{}^{t}(d\boldsymbol{B}) )+o(dt) \end{aligned}$

が成り立つ。ここで

$\begin{aligned} \mathrm{tr}(\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}d\boldsymbol{V}{}^{t}(d\boldsymbol{V}) )=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial^2\boldsymbol{F}}{\partial x_i \partial x_j}dV_i dV_j} \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} d\boldsymbol{F}=\left[\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial t}}+{}^{t}\left(\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial\boldsymbol{x}}}\right)f\right]+\displaystyle{\frac{1}{2}}\mathrm{tr}(\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}d\boldsymbol{B}{}^{t}(d\boldsymbol{B}) )+{}^{t}\left(\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial\boldsymbol{x}}}\right) d\boldsymbol{B}+o(dt) \end{aligned}$

を得る。ここで $E[d\boldsymbol{Z}{}^{t}(d\boldsymbol{Z})]=(\sigma_{ij})$ は共分散行列に他ならないので、状態変動がベクトルの場合の伊藤の微分則は

$\begin{aligned} d\boldsymbol{F}=\left\{\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial t}}+\sum_{i=1}^{n}\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial x_i}f_i}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\displaystyle{\frac{\partial^2\boldsymbol{F}}{\partial x_i\partial x_j}g_i g_j\sigma_{ij}}\right\}dt+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\displaystyle{\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x_i}}g_i dZ_i(t)} \end{aligned}$

で与えられる。
　伊藤の微分則と密接に関連する概念は次の作用素である。すなわち $dF$ に関して

$\begin{aligned} \displaystyle{E\left[\frac{dF}{h}\left|\right.X(t)=x\right]}=\mathcal{L}_{x}[F(x,t)] \end{aligned}$

とすれば、作用素 $\mathcal{L}_{x}$ は確率過程 $X(t)$ の微分作用素である。 $dF$ の期待値を取り $dt$ で割ることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\mathcal{L}_{x}[F(x,t)]}=\left\{\displaystyle{\frac{\partial }{\partial t}}+f\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}+\displaystyle{\frac{1}{2}}g^2\displaystyle{\frac{\partial^2 }{\partial x^2}}\right\}[F(x,t)] \end{aligned}$