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証券投資論(16/21)

 証券投資(現代ポートフォリオ理論)をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

を参考に学んでいく。

  • 前回:

https://power-of-awareness.com/entry/2022/04/13/050000power-of-awareness.com

7. 確率解析の基礎

 時間が連続的に推移する投資決定問題に必要な確率解析の基礎を扱う。

7.2 連続時間の下での動的計画法

 投資と消費の最適配分問題はファイナンスにおける経時的モデルの一種である。ここでは計画期間を有界閉集合[0,T]としT\lt\inftyを満期とする。X(t),t\in[0,T]を状態変数とし、Y(t)を制御変数とする。効用関数をu=u(X(t),Y(t)),0\leq t\lt Tとおき、B(Y(T),T)を期間Tでの


\begin{aligned}
E\left[\displaystyle{\int_{0}^{T}u\left(X(t),Y(t),t\right)dt+B(Y(T),T)}\left|X(0)=x_0\right.\right]
\end{aligned}

を最大にするような制御変数のパス\{Y(t),0\leq t\leq T\}を選択することである。
 ここでX(t)は制御変数Y(t)を含む確率微分方程式を満たす。まず離散時間の下での最適化問題を考える。V(X((t),r)を時間t=tからt=Tまでの期待値の最大値とし、動的計画法の最適性の原理から、t=T,T-1,\cdots,1,0に対して


\begin{aligned}
V(X((t),r)=\displaystyle{\max_{Y(t)}E[u(X(t),Y(t),t)+V(x(t+1),t+1)]}
\end{aligned}

と書ける。この最適化問題は、t=Tから出発してt=0まで逆向きに解くことで最適解\{Y^{*}(t),0\leq t\leq T\}を得る。
 次に連続時間の下での最適化問題を拡張していく。h\ll1として


\begin{aligned}
V(X(t),t)&=\displaystyle{\max_{Y(t)}E\left[\displaystyle{\int_{t}^{t+h}u(X(s),Y(s),s)}ds+V(X(t+h),t+h)\right]}\\
&=\displaystyle{\max_{Y(t)}\left\{u(X(t),Y(t),h)h+E[V(X(t+h),t+h)]\right\}}
\end{aligned}

である。ここでdV(t)=V(X(t+h),t+h)-V(X(t),t)とおけば、V(X(t),t)


\begin{aligned}
V(X(t),t)=\displaystyle{\max_{Y(t)}\{u(X(t+h),Y(t+h),t+h)+V(X(t),t)+E[dV(t)]\}}
\end{aligned}

と書ける。h=dtとおいて両辺をdtで割ることで


\begin{aligned}
&V(X(t),t)=\displaystyle{\max_{Y(t)}\{u(X(t+h),Y(t+h),t+h)+V(X(t),t)+E[dV(t)]\}}\\
\Leftrightarrow\ &V(X(t),t)=V(X(t),t)+\displaystyle{\max_{Y(t)}\{u(X(t+h),Y(t+h),t+h)+E[dV(t)]\}}\\
\Leftrightarrow\ &0=\displaystyle{\max_{Y(t)}\left\{u(X(t+dt),Y(t+dt),t+dt)+\displaystyle{\frac{E[dV(t)]}{dt}}\right\}}
\end{aligned}

を得る。この式では、確率微分方程式を満足する確率過程\{X(t);t\geq0\}の関数であるV(X(t),t)の確率微分dV(t)を評価することができれば、Y(t)に関して解くことができる。そのために伊藤微分を考える。

7.3 伊藤の微分

 確率過程\{Z(t);t\geq0\}が以下の性質を満たすとき、Z(t)は標準\mathrm{Brown}運動(もしくは\mathrm{Wiener}過程)に従うという。

  (1) Z(0)=0である。
  (2) Z(t)が独立増分をもつ。
  (3) Z(t)tに関して連続である。
  (4) {}^{\forall}s,{}^{\forall}t\in[t\geq0],s\lt tに対してZ(t)-Z(t)\sim N(0,t-s)である。

 \mathrm{Brown}運動Z(t)上で状態変数X(t)ダイナミクスが確率微分方程式


\begin{aligned}
dX(t)=f(X(t),t)dt+g(X(t),t)dZ(t)
\end{aligned}

によって記述されるとする。もしf(X(t),t)=a(t)X(t),g(x(t),t)=b(t)X(t)ならば、X(t)は幾何\mathrm{Brown}運動(対数正規過程)に従うという。この式は形式的に


\begin{aligned}
X(t)=X(0)+\displaystyle{\int_0^t f(X(s),s)ds}+\displaystyle{\int_0^t g(X(s),s)dZ(s)}
\end{aligned}

と書ける。ここで確率変数dZ(t)に関する確率積分\displaystyle{\int_{0}^{t}g(X(s),s)dZ(s)}は既に述べたように、


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{0}^{t}g(X(s),s)dZ(s)}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{j=1}^{n}g(X(s),s)}\{V(t_{j+1})-V(t_j)\}
\end{aligned}

で定義されるものであった。
 状態変数X(t)と時間tの関数であるF=F(X(t),t)を考える。X(t)の実現値xに関して2回連続微分可能であり、tに関して1回微分可能な関数だと仮定する。このときh=dtとして関数F\mathrm{Taylor}展開すれば


\begin{aligned}
dF&=F(X(t+h),t+h)-F(X(t),t)\\
&=\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}dt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}dx+\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}}(dx)^2+o(dt)
\end{aligned}

を得る。
 これにdX(t)を代入することで、f(x,t)=f,g(x,t)=gと書くことにして


\begin{aligned}
dF&=\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}dt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}dx+\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}}(dx)^2+o(dt)\\
=&\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}dt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}\left(fdt+gdZ(t)\right)+\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}}\left(fdt+gdZ(t)\right)^2+o(dt)\\
=&\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}dt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}fdt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}g dZ(t)+\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}f^2(dt)^2}+\displaystyle{\frac{\partial^2F}{\partial x^2}f g dt dZ(t)}\\
&+\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}g^2(dZ(t))^2}+o(dt)\\
=&\left(\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}f\right)dt+\displaystyle{\frac{\partial^2F}{\partial x^2}f g dt dZ(t)}\\
&+\displaystyle{\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}g^2(dZ(t))^2}+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}g dZ(t)+o(dt)
\end{aligned}

である。ここで(dZ)^2=dt,dt\cdot dZ(t)=o(dt)であることを踏まえれば


\begin{aligned}
dF&=\left(\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}f+\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}g^2\right)dt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}g dZ(t)+o(dt)
\end{aligned}

であり、漸近オーダー項を無視して


\begin{aligned}
dF=\left(\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial t}}+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}f+\frac{1}{2}\frac{\partial^2F}{\partial x^2}g^2\right)dt+\displaystyle{\frac{\partial F}{\partial x}}g dZ(t)
\end{aligned}

を得る。この式を伊藤の微分という。

7.3.1 伊藤の微分(ベクトル)

 X(t)がベクトルの場合、新たに\boldsymbol{X}(t)={}^{t}(X_1(t),\cdots,X_n(t))とするとき、


\begin{aligned}
d\boldsymbol{F}&=\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial t}}dt+{}^{t}\left(\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{x}}}\right)d\boldsymbol{X}(t)+\displaystyle{\frac{1}{2}{}^{t}(d\boldsymbol{X}(t) )\frac{\partial^2\boldsymbol{F}}{\partial\boldsymbol{x}\partial{}^{t}\boldsymbol{x}}d\boldsymbol{X}(t)}+o(dt)
\end{aligned}

である。\boldsymbol{F}のベクトル\boldsymbol{x}に関する2階偏微分\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}と表現し\boldsymbol{g}(\boldsymbol{X}(t),t)d\boldsymbol{Z}(t)=d\boldsymbol{B}(t)とおけば


\begin{aligned}
{}^{t}(d\boldsymbol{X}(t) )\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}d\boldsymbol{X}(t)&={}^{t}\boldsymbol{g}d\boldsymbol{Z}(t)\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}({}^{t}\boldsymbol{g}d\boldsymbol{Z}(t) )+o(dt)\\
&=\mathrm{tr}(\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}d\boldsymbol{B}{}^{t}(d\boldsymbol{B}) )+o(dt)
\end{aligned}

が成り立つ。ここで


\begin{aligned}
\mathrm{tr}(\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}d\boldsymbol{V}{}^{t}(d\boldsymbol{V}) )=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial^2\boldsymbol{F}}{\partial x_i \partial x_j}dV_i dV_j}
\end{aligned}

であるから、


\begin{aligned}
d\boldsymbol{F}=\left[\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial t}}+{}^{t}\left(\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial\boldsymbol{x}}}\right)f\right]+\displaystyle{\frac{1}{2}}\mathrm{tr}(\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{x}\boldsymbol{x}}d\boldsymbol{B}{}^{t}(d\boldsymbol{B}) )+{}^{t}\left(\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial\boldsymbol{x}}}\right) d\boldsymbol{B}+o(dt)
\end{aligned}

を得る。ここでE[d\boldsymbol{Z}{}^{t}(d\boldsymbol{Z})]=(\sigma_{ij})は共分散行列に他ならないので、状態変動がベクトルの場合の伊藤の微分則は


\begin{aligned}
d\boldsymbol{F}=\left\{\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial t}}+\sum_{i=1}^{n}\displaystyle{\frac{\partial\boldsymbol{F}}{\partial x_i}f_i}+\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\displaystyle{\frac{\partial^2\boldsymbol{F}}{\partial x_i\partial x_j}g_i g_j\sigma_{ij}}\right\}dt+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\displaystyle{\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x_i}}g_i dZ_i(t)}
\end{aligned}

で与えられる。
 伊藤の微分則と密接に関連する概念は次の作用素である。すなわちdFに関して


\begin{aligned}
\displaystyle{E\left[\frac{dF}{h}\left|\right.X(t)=x\right]}=\mathcal{L}_{x}[F(x,t)]
\end{aligned}

とすれば、作用素\mathcal{L}_{x}は確率過程X(t)微分作用素である。dFの期待値を取りdtで割ることで


\begin{aligned}
\displaystyle{\mathcal{L}_{x}[F(x,t)]}=\left\{\displaystyle{\frac{\partial }{\partial t}}+f\displaystyle{\frac{\partial }{\partial x}}+\displaystyle{\frac{1}{2}}g^2\displaystyle{\frac{\partial^2 }{\partial x^2}}\right\}[F(x,t)]
\end{aligned}

を得る。連続時間の下での動的計画法や最適制御問題を解くに当たり、これらの式が適用されることが少なくない。ファイナンスでは連続時間の下での消費とポートフォリオ選択問題および経時的資本資産評価モデルがその例である。

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