長期投資の理論と実践（23/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　投資理論を以下の書籍

長期投資の理論と実践: パーソナル・ファイナンスと資産運用

作者:安達智彦,池田昌幸
東京大学出版会

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今回のまとめ
10.　多期間における最適消費と最適投資の意思決定
- 10.2　時点T-1における最適消費と最適投資の決定：一般的ケース
  - 10.2.3　最適消費と最適投資の条件式の解釈
  - 10.2.4　包絡線条件

今回のまとめ

最適消費と最適投資について、最適消費の限界効用 $u_C\left(C_{T-1}^{*},T-1\right)$ は遺産関数の限界効用の期待値を無リスク金利で運用した値に等しい。

10.　多期間における最適消費と最適投資の意思決定

　多期間における効用関数として冪型もしくはその特殊ケースとしての対数型の1期間効用関数に基づく多期間の期待効用関数を考えなければ、最適投資比率は最適消費と独立には決定できない。したがって異なる状態間および異なる時点間のリスク回避を分断した再帰的効用関数においても、両者を独立に決定することは困難であると考えられてきた。
　しかし $\mathrm{Epstein}$ - $\mathrm{Zin}$ 効用と対数正規分布に従う収益の仮定の下で、線形対数近似を用いることで多期間における最適消費と最適投資の近似解析解を求めることができるようになった。

10.2　時点T-1における最適消費と最適投資の決定：一般的ケース

10.2.3　最適消費と最適投資の条件式の解釈

　これまでに導出した最適消費と最適投資

$\begin{aligned} \begin{cases} E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\left(1+\tilde{r}_{i,T}\right)\right]=\left(1+r_{f,T-1}\right)E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\right],\\ u_C\left(C_{T-1}^{*},T-1\right)=E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\left\{(1+r_{f,T-1})+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_{i,T-1}^{*}\left(\tilde{r}_{i,T}-r_{f,T-1}\right)}\right\}\right] \end{cases} \end{aligned}$

を解釈する。
　2本目の等式において、左辺は時点 $T-1$ に立つ消費者の最適な現在消費の限界効用であり、これが右辺、すなわち1時点だけ将来の富がもたらす(遺産関数の)限界効用を最適投資リターンで拡大した値の条件付き期待値に等しくなることを意味している。すなわち価値関数 $J$ が、

$\begin{aligned} J\left(W_{T-1},\boldsymbol{X}_{T-1},\boldsymbol{r}_{T-1},T-1\right)=\displaystyle{\max_{C_{T-1},\boldsymbol{\omega}_{T-1}}E_{t}\left[\sum_{s=t}^{T-1}u\left(C_{T-1},T-1\right)+B\left(\tilde{W}_T,T\right)\right]} \end{aligned}$

であるという下で、第 $T-1$ 期の最適消費は、最適投資の下で時点 $T$ に実現する $1+r_{p,T}$ の確率分布および条件付き期待値計算に必要な状態変数 $\tilde{\boldsymbol{X}}_T$ の同時確率分布に依存して決定される。
　また条件　

$\begin{aligned} &E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\left(1+\tilde{r}_{i,T}\right)\right]=\left(1+r_{f,T-1}\right)E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\right]\\ &E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right) I_{T-1}\left(\tilde{r}_{i,T}-r_{f,T-1}\right)\right]=0 \end{aligned}$

について、まず1つ目の等式について、 $\omega_{i,T-1}^{*}$ を両辺に乗じてリスク資産 $i=1,\cdots,n$ について総和を取ると、

$\begin{aligned} &\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_{i,T-1}^{*}E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\left(1+\tilde{r}_{i,T}\right)\right]}\\ &=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_{i,T-1}^{*}\left(1+r_{f,T-1}\right)E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\right] }\\ \Leftrightarrow&\displaystyle{E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\left\{\sum_{i=1}^{n}\omega_{i,T-1}^{*}\left(1+\tilde{r}_{i,T}\right)\right\}\right]}\\ &=\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_{i,T-1}^{*}}\right)\left(1+r_{f,T-1}\right)E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\right]\\ \end{aligned}$

である。ここで

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_{i,T-1}^{*}(1+\tilde{r}_{i,T})}&=(1+\tilde{r}_{p,T}^{*})-\omega_{0,T-1}^{*}\left(1+r_{f,T-1}\right),\\ \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_{i,T-1}^{*}}&=1-\omega_{0,T-1}^{*} \end{aligned}$

を用いれば、

$\begin{aligned} \Leftrightarrow&\displaystyle{E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\left\{(1+r_{p,T}^{*})-\omega_{0,T-1}^{*}\left(1+\tilde{r}_{f,T-1}\right)\right\}\right]}\\ &=\left(1-\omega_{0,T-1}^{*}\right)\left(1+r_{f,T-1}\right)E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\right]\\ \Leftrightarrow&\displaystyle{E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)(1+r_{p,T}^{*})\right]}-\omega_{0,T-1}^{*}\left(1+\tilde{r}_{f,T-1}\right)E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\right]\\ &=\left(1+r_{f,T-1}\right)E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\right]-\omega_{0,T-1}^{*}\left(1+r_{f,T-1}\right)E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\right]\\ \Leftrightarrow&\displaystyle{E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)(1+r_{p,T}^{*})\right]}=\left(1+r_{f,T-1}\right)E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\right] \end{aligned}$

を得る。この等式は、左辺は最適消費の限界効用 $u_C\left(C_{T-1}^{*},T-1\right)$ に等しいが、それが右辺の遺産関数の限界効用の期待値を無リスク金利で運用した値に等しいことを意味する。

10.2.4　包絡線条件

　価値関数 $J\left(W_{T-1},\boldsymbol{X}_{T-1},\boldsymbol{R}_{T-1},T-1\right)$ において、消費とポートフォリオのリターンの最適解を $C_{T-1}^{*}$ および $\boldsymbol{\omega}_{T-1}^{*}$ 、最適なポートフォリオ・リターンを $\tilde{r}_{p,T}^{*}$ とおけば、価値関数は

$\begin{aligned} J\left(W_{T-1},\boldsymbol{X}_{T-1},\boldsymbol{R}_{T-1},T-1\right)=u\left(C_{T-1}^{*},T-1\right)+E_{T-1}\left[B\left(\tilde{W}_T,T\right)\right] \end{aligned}$

が成り立つ。ここで

$\begin{aligned} \tilde{W}_T&=I_{T-1}\left(1+\tilde{r}_{p,t}^{*}\right)\\ &=\left(W_{T-1}+Y_{T-1}-C_{T-1}^{*}\right)\left\{\left(1+r_{f,T-1}\right)+\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_{i,T-1}^{*}\left(\tilde{r}_{i,T}-r_{f,T-1}\right)}\right\} \end{aligned}$

である。
　いまこの価値関数が富の変化に対してどのような振る舞いをするかを調べるべく、 $W_{T-1}$ で偏微分すると、

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial J}{\partial W_{T-1}}}=\displaystyle{\frac{\partial u\left(C_{T-1}^{*},T-1\right)}{\partial C_{T-1}^{*}}}\displaystyle{\frac{\partial C_{T-1}^{*}}{\partial W_{T-1}}}+ E_{T-1}\left[\displaystyle{\frac{\partial B\left(\tilde{W}_T,T\right)}{\partial \tilde{W}_T}}\displaystyle{\frac{\partial \tilde{W}_{T}}{\partial W_{T-1}}}\right] \end{aligned}$

であり、

$\begin{aligned} &\displaystyle{\frac{\partial \tilde{W}_{T}}{\partial W_{T-1}}}=\displaystyle{\frac{\partial}{\partial W_{T-1}}}\left\{I_{T-1}\left(1+\tilde{r}_{p,T}^{*}\right)\right\}\\ =&\displaystyle{\frac{\partial}{\partial W_{T-1}}}\left[\left(W_{T-1}+Y_{T-1}-C_{T-1}^{*}\right)\left\{\sum_{i=1}^{n}\omega_{i,T-1}^{*}\left(\tilde{r}_{i,T}-r_{f,T-1}\right)+\left(1+r_{f,T^1}\right)\right\}\right]\\ =&\left(1-\displaystyle{\frac{\partial C_{T-1}^{*}}{\partial W_{T-1}}}\right)\left(1+\tilde{r}_{p,T}^{*}\right)+I_{T-1}\left\{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial \omega_{i,T-1}^{*}}{\partial W_{T-1}}\left(\tilde{r}_{i,T}-r_{f,T-1}\right)}\right\} \end{aligned}$

である。これを代入すると、

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial J}{\partial W_{T-1}}}=&\displaystyle{\frac{\partial u\left(C_{T-1}^{*},T-1\right)}{\partial C_{T-1}^{*}}}\displaystyle{\frac{\partial C_{T-1}^{*}}{\partial W_{T-1}}}+ E_{T-1}\left[\displaystyle{\frac{\partial B\left(\tilde{W}_T,T\right)}{\partial \tilde{W}_T}}\displaystyle{\frac{\partial \tilde{W}_{T}}{\partial W_{T-1}}}\right]\\ =&\displaystyle{\frac{\partial u\left(C_{T-1}^{*},T-1\right)}{\partial C_{T-1}^{*}}}\displaystyle{\frac{\partial C_{T-1}^{*}}{\partial W_{T-1}}}+E_{T-1}\left[\displaystyle{\frac{\partial B\left(\tilde{W}_T,T\right)}{\partial \tilde{W}_T}}\left[\left(1-\displaystyle{\frac{\partial C_{T-1}^{*}}{\partial W_{T-1}}}\right)\left(1+\tilde{r}_{p,T}^{*}\right)\right.\right.\\ &\left.\left.+I_{T-1}\left\{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial \omega_{i,T-1}^{*}}{\partial W_{T-1}}\left(\tilde{r}_{i,T}-r_{f,T-1}\right)}\right\}\right]\right]\\ =&\displaystyle{\frac{\partial C_{T-1}^{*}}{\partial W_{T-1}}}\left\{u_C\left(C_{T-1}^{*},T-1\right)-E_{T-1}\left[B_{W}\left(\tilde{W}_T,T\right)\left(1+\tilde{r}_{p,T}^{*}\right)\right]\right\}\\ &+I_{T-1}\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\left\{\frac{\partial\omega_{i,T-1}^{*}}{\partial W_{T-1}}E_{T-1}\left[B_W\left(\tilde{W}_T,T\right)\left(\tilde{r}_{i,T}-r_{f,T-1}\right)\right]\right\}}\\ &+E_{T-1}\left[B_W\left(\tilde{W}_{T},T\right)\left(1+\tilde{r}_{p,T}^{*}\right)\right]\\ =&E_{T-1}\left[B_W\left(\tilde{W}_{T},T\right)\left(1+\tilde{r}_{p,T}^{*}\right)\right] \end{aligned}$

を得る。最後から2つ目の等式は、第1項は富の増加が最適消費に及ぼす間接的効果を、第2項は最適投資に及ぼす間接的効果を表す。
　このように消費および投資に関する最適化条件が成立する下では、価値関数 $J\left(W_{T-1},\boldsymbol{X}_{T-1},\boldsymbol{r}_{T-1},T-1\right)$ の富 $W_{T-1}$ による偏微分は、選択変数である消費 $C_{T-1}^{*}$ と投資ウェイト $\omega_{i,T-1}^{*}$ については、これらがまるで富 $W_{T-1}$ に依存しない変数であるかのように扱い、形式的に遺産関数を $W_{T-1}$ で偏微分した結果と一致する。

今回のまとめ

10. 多期間における最適消費と最適投資の意思決定

10.2 時点T-1における最適消費と最適投資の決定：一般的ケース

10.2.3 最適消費と最適投資の条件式の解釈

10.2.4 包絡線条件

10.　多期間における最適消費と最適投資の意思決定

10.2　時点T-1における最適消費と最適投資の決定：一般的ケース

10.2.3　最適消費と最適投資の条件式の解釈

10.2.4　包絡線条件