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コンピュテーショナル・ファイナンス(その02/X)

 古典的名著

を基に「コンピュテーショナル・ファイナンス」を学んでいきます。

2. ツリーモデルによるオプションの評価

 ツリーモデルを用いたデリバティブ評価の理論的背景と具体的なアルゴリズムを照会する。

2.1 二項モデルによるオプションの評価

2.1.1 通貨を原資産とした1期間2項モデル

 1期間の2項モデルを考える。国内の連続複利でのリスクフリーレートをr_d、対象となる外国のリスクフリーレートをr_fとする。ここで両者とも一定であると仮定する。現時点における外国通貨1単位当たりの価値をSとする。1期間後に通貨価値が上昇した場合にuS、下落した場合にはdSになるとする。時間間隔を\Delta tとおく。
 このとき無裁定性を確保するために、


\begin{aligned}
d\lt e^{(r_d-r_f)\Delta t}\lt u
\end{aligned}

が成立しなければならない。

 1期間モデルにおけるコール・オプションの評価を考える。通貨価値の上昇・下落確率はそれぞれq,\ 1-q,\ 0\lt q\lt1であるとする。翌期間における上昇時・下落時の同オプションの価値をそれぞれC_u,C_dとし、もしこの翌時点がオプション満期であれば


\begin{aligned}
C_u&=\max[uS-K,0]\\
C_d&=\max[dS-K,0]
\end{aligned}

である。同時に自国通貨の借入を行なうとし、この時の国内金利r_d,\ 借入金額をBとすると、同翌期間の返済額は-e^{-r_d\Delta t}Bである。
 いま\Delta単位だけ外国通貨を買い持ちすると、1期間後におけるポジションの価値は


\begin{aligned}
\Delta u(Se^{r_f \Delta t})\\
\Delta d(Se^{r_f \Delta t})
\end{aligned}

である。
 以上から、ネット・ポジション\Delta S-Bの翌時点における価値は


\begin{aligned}
\Delta uSe^{r_f \Delta t}-e^{r_d \Delta t}B\\
\Delta dSe^{r_f \Delta t}-e^{r_d \Delta t}B
\end{aligned}

である。このポートフォリオコールオプションと同じリターンになるように複製するには、


{\displaystyle 
\begin{eqnarray}
 \left\{
    \begin{array}{l}
       C_u=-e^{r_d\Delta t}B+\Delta uSe^{r_f \Delta t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots(1),\\
       C_d=-e^{r_d\Delta t}B+\Delta dSe^{r_f \Delta t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots(2)
    \end{array}
  \right.
\end{eqnarray}
}

を満たすような\Delta,\ Bを求めればよい。
 (1)-(2)より


\begin{aligned}
&C_u-C_d=\Delta (u-d)Se^{r_f \Delta t}\\
\therefore&\ \ \Delta=\left(\displaystyle{\frac{C_u-C_d}{u-d}}\right)\displaystyle{\frac{1}{Se^{r_f \Delta t}}}
\end{aligned}

 \Deltaを(1)に代入して


\begin{aligned}
&C_u=-e^{r_d\Delta t}B+\left(\displaystyle{\frac{C_u-C_d}{u-d}}\right)u\\
\Leftrightarrow&e^{r_d\Delta t}B=-C_u+\left(\displaystyle{\frac{C_u-C_d}{u-d}}\right)u\\
\Leftrightarrow&B=e^{-r_d\Delta t} \left(\displaystyle{\frac{dC_u-uC_d}{u-d}}\right)
\end{aligned}

以上の仮定からコールオプションと複製ポートフォリオが等価であるから


\begin{aligned}
C&=\Delta S-B\\
&=\left(\displaystyle{\frac{C_u-C_d}{u-d}}\right)\displaystyle{\frac{1}{Se^{r_f \Delta t}}} S-e^{-r_d\Delta t} \left(\displaystyle{\frac{dC_u-uC_d}{u-d}}\right)\\
&=e^{-r_f \Delta t}\left(\displaystyle{\frac{C_u-C_d}{u-d}}\right)-e^{-r_d\Delta t} \left(\displaystyle{\frac{dC_u-uC_d}{u-d}}\right)\\
&=e^{-r_d\Delta t} \left\{e^{(r_d-r_f) \Delta t}\left(\displaystyle{\frac{C_u-C_d}{u-d}}\right)-\left(\displaystyle{\frac{dC_u-uC_d}{u-d}}\right)\right\}\\
&=e^{-r_d\Delta t} \left\{\left(\displaystyle{\frac{e^{(r_d-r_f) \Delta t}-d}{u-d}}C_u\right)+\left(\displaystyle{\frac{u-e^{(r_d-r_f) \Delta t}}{u-d}}C_d\right)\right\}\\
&=e^{-r_d\Delta t} \left(pC_u+(1-p)C_d\right),\ \\
p&\equiv \displaystyle{\frac{e^{(r_d-r_f) \Delta t}-d}{u-d}}
\end{aligned}

である。このpは新たな確率と見なすことができる。
 さてここまでの議論には上昇(下落)確率qが登場しない。更に投資家の効用も明示的に存在しない。したがってリスク中立的な投資家のみが存在する世界を仮定しても差し支えない。実際にリスク中立性を仮定すれば、通貨の期待変動率はe^{(r_d-r_f)\Delta t}であるから


\begin{aligned}
E[\tilde{S}_{t+\Delta t}]=quS+(1-q)dS=e^{(r_d-r_f)\Delta t}S
\end{aligned}

が成立する。これを解くことで


\begin{aligned}
q =\displaystyle{\frac{e^{(r_d-r_f)\Delta t}-d}{(u-d)S}}
\end{aligned}

となり、pに一致する。この意味で、pのことをリスク中立確率と呼ぶ。
 以上から次の時点におけるコールオプションの価値C_u,C_dが分かれば、その時点におけるリスク中立確率pを用いて期待値を計算し、それを国内金利を用いて現在価値に割り引くことで現在時点におけるオプション価値Cを計算することが出来る。C_u,C_d,pを計算するためにはu,dを決定しなければならない。

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