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金融工学でのモンテカルロ法(15/23)：リスク・パラメータの算出(3)

統計学 金融・ファイナンス IT・プログラミング

　金融工学におけるシミュレーションについて学んでいく。テキストとして以下を使う。今回はP.109-111まで。

モンテカルロ法の金融工学への応用 (シリーズ 現代金融工学)

モンテカルロ法の金融工学への応用 (シリーズ 現代金融工学)

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7.　Monte Carlo法を用いたオプション・リスクの計算

7.5　密度関数を微分する方法

　原資産価格の満期における分布が陽に分かっているならば、バイアスのないリスク・パラメータをオプション価格と同時に算出できる。またこの方法はペイオフの形に依存しないため、デジタル・オプションやバリア・オプションも利用可能である。
　コールオプションを例に考える。原資産価格が

\begin{aligned} \displaystyle{\frac{dS(t)}{S(t)}}=r dt+\sigma dZ(t),\ S(0)=S_0 \end{aligned}

に従うとするとき、満期において株価S(T)は確率密度

\begin{aligned} g(x)=\displaystyle{\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi T}}}e^{-\frac{z^2}{2}},\ z=\displaystyle{\frac{\log{\left(\displaystyle{\frac{x}{S_0}}\right)}-\left(r-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)T}{\sigma\sqrt{T}}} \end{aligned}

に従う。すると、ヨーロピアン・コール・オプション価格cは

\begin{aligned} c=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-rT}\max[x-K,0]g(x)dx} \end{aligned}

と表現できる。
　確率密度関数g(\cdot)はS_0に関して滑らかな関数であるから、微分と積分の順序が交換できる。その結果、

\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial c}{\partial S_0}}=&\displaystyle{\frac{\partial}{\partial S_0}}\left(\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-rT}\max[x-K,0]g(x)dx}\right)\\ =&\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-rT}\max[x-K,0]\left(\displaystyle{\frac{\partial g(x)}{\partial S_0}}\right)dx}\\ =&\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-rT}\max[x-K,0]\left(\displaystyle{\frac{\partial \log{g(x)}}{\partial S_0}}\right)g(x)dx}\\ =&E\left[e^{-rT}\max[x-K,0]\left(\displaystyle{\frac{\partial \log{g(x)}}{\partial S_0}}\right)\right] \end{aligned}

が成り立つ。ここで

\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial \log{g(x)}}{\partial S_0}}=&\displaystyle{\frac{\partial}{\partial S_0}}\left\{-\displaystyle{\frac{z^2}{2}}-\log(x\sigma\sqrt{2\pi T})\right\}\\ =&-z\cdot\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial S_0}}\\ =&z\cdot\displaystyle{\frac{1}{\sigma\sqrt{T}}}\displaystyle{\frac{1}{S_0}}\\ =&\displaystyle{\frac{\log{\left(\displaystyle{\frac{x}{S_0}}\right)}-\left(r-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)T}{S_0 \sigma^2T}} \end{aligned}

であるから、

\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial c}{\partial S_0}}=&E\left[e^{-rT}\max[x-K,0]\left(\displaystyle{\frac{\partial \log{g(x)}}{\partial S_0}}\right)\right]\\ =&E\left[e^{-rT}\max[x-K,0]\displaystyle{\frac{\log{\left(\displaystyle{\frac{x}{S_0}}\right)}-\left(r-\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)T}{S_0 \sigma^2T}}\right] \end{aligned}

となるので、これで\mathrm{Monte\ Carlo}法により算出すればよい。

(1) あるiに対して株価サンプルパス\boldsymbol{S}_{i}を生成する。
(2) 満期の株価をx_i=S_{iM}として
\begin{aligned}Y_i=e^{-rT}\max\{x_i-K,0\}\displaystyle{\frac{\partial \log[g(x_i)]}{\partial S_0}}\end{aligned}
を計算する。
(3) i=2,\cdots,Nについて(1)～(2)を繰り返して
\begin{aligned}\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}Y_i}\end{aligned}
によりデルタを計算する。

7.6　Monte Carlo法によるリスク・パラメータ計算方法のまとめ

手法
特徴
差分商近似(標準的方法) ・リスク・パラメータを増やすたびにシミュレーションをやり直す必要がある。
・差分商近似の解析的誤差がパス数Nを増やしても小さくならず、リスク・パラメータにバイアスがある。
・ペイオフ関数に依存しない。
差分商近似
(共通の乱数セットを用いる方法)		 ・リスク・パラメータを増やすたびにシミュレーションをやり直す必要はない。
・差分商近似の解析的誤差がパス数Nを増やしても小さくならず、リスク・パラメータにバイアスがある。
・ペイオフ関数に依存して一部オプションには活用できない。
サンプル・ペイオフの
微分方法		 ・リスク・パラメータを増やすたびにシミュレーションをやり直す必要はない。
・差分商近似の解析的誤差を考慮する必要が無い。
・ペイオフ関数に依存して一部オプションには活用できない。
・サンプル・ペイオフの微分が陽に求められ、ペイオフ関数がなめらかであるという条件が必要である。
密度関数を微分する方法 ・リスク・パラメータを増やすたびにシミュレーションをやり直す必要はない。
・差分商近似の解析的誤差を考慮する必要が無い。
・ペイオフ関数に依存しない。
・原資産価格の満期における密度関数が陽に既知であり、これが滑らかであることが必要である。

次回

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