金融工学でのモンテカルロ法(22/23)：アメリカン・オプションの評価(7)確率的メッシュによる挟みうち法

　金融工学におけるシミュレーションについて学んでいく。テキストとして以下を使う。今回はP.144-152まで。

モンテカルロ法の金融工学への応用 (シリーズ現代金融工学)

作者:祥二, 湯前,輝好, 鈴木
朝倉書店

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8.　アメリカン・オプションのMonte Carlo法による評価
- 8.8　確率的メッシュによる挟みうち法
次回

8.　アメリカン・オプションのMonte Carlo法による評価

　アメリカン・オプションの価格は、有限差分法またはツリー法によるのが一般的であった。しかし $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法でも計算できるようになってきた。

8.8　確率的メッシュによる挟みうち法

　 $\mathrm{Broadie}$ $\mathrm{and}$ $\mathrm{Glasserman}$ は確率的メッシュを用いたアメリカン・オプションの評価方法を提唱した。これは他方法に比較して誤差が大きいものの、アルゴリズムが単純で資産数および行使機会数を充分に増やすことが出来る点がメリットである。
　本方法では、正のバイアスを持つメッシュ統計量および負のバイアスを持つパス推定量を算出し、解の代替となる点推定値と解の信頼区間を得る。

8.8.1　確率的メッシュ

　確率的メッシュはメッシュ点をランダムに与える。
　時点を $0$ から満期 $T$ までで

$\begin{aligned} t_j,\ j=0,\cdots,M,\ M\Delta t=T \end{aligned}$

と離散化し、時点 $t_j$ における株価を

$\begin{aligned} S_j,\ j=0,\cdots,M \end{aligned}$

とする。また状態 $(t_j,S_j)$ におけるオプション価格を $P(t_j,S_j)$ とする。
　いま状態 $(t_j,S_j)$ において、時点 $t_{j+1}$ の株価 $S_{j+1}$ が条件付き確率密度 $f(t_j,S_jS_{j+1})$ に従うとき、任意の確率密度関数 $g(t_{j+1},\cdot)$ に対して

$\begin{aligned} P(t_j,x)&=e^{-r(t_{j+1}-t_j)}E[P(t_{j+1},S_{j+1})|S_j=x],\\ &=e^{-r(t_{j+1}-t_j)}\displaystyle{\int P(t_{j+1},u)f(t_j,x,u)du},\\ &=e^{-r(t_{j+1}-t_j)}\displaystyle{\int P(t_{j+1},u)\frac{f(t_j,x,u)}{g(t_{j+1},u)}g(t_{j+1},u)du},\\ &=e^{-r(t_{j+1}-t_j)}E\left[P(t_{j+1},X_{j+1})\frac{f(t_j,x,X_{j+1})}{g(t_{j+1},X_{j+1})}\right] \end{aligned}$

が成り立つ。ここで $X_{j+1}$ は確率密度関数 $g(t_{j+1},\cdot)$ に従う確率変数である。
　最後の式は任意の点 $x$ から確率密度関数 $g(t_{j+1},\cdot)$ により点 $X_{j+1}$ を発生させた $\mathrm{Monte}$ $\mathrm{Carlo}$ 法において各点の重みを

$\begin{aligned} \frac{f(t_j,x,X_{j+1})}{g(t_{j+1},X_{j+1})} \end{aligned}$

で定義しなおす測度変換と解釈できる。
　ここで点 $x$ を別の点 $x^{\prime}$ に置き換えた場合を考えると、確率密度関数 $g(t_{j+1},\cdot)$ として $x$ に依存しないものを選択しておけば、別の点 $x^{\prime}$ からスタートする $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法でも点 $x$ から始まる $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法で使用した点列 $X_{j+1}$ を再利用できる。更に $x$ 自体任意であったから、 $x$ はその前の時点 $t_{j-1}$ から確率密度関数 $g(t_{j+1},\cdot)$ により発生させてもよい。以上から、時点 $t_j$ のメッシュ点 $S_j(i),i=1,\cdots,b$ を確率密度関数 $g(t_{j+1},\cdot)$ により発生させて、点 $(t_j,S_j(i))$ から点 $(t_{j+1},S_{j+1}(k))$ への枝の重みを

$\begin{aligned} \pi_j(i,k)=\displaystyle{\frac{f(t_j,S_j(i),S_{j+1}(k))}{g(t_{j+1},S_{j+1}(k))}} \end{aligned}$

で定義する確率的メッシュが構成される。
　ここで重要なのが

各時点のメッシュ点を前の時点の状態に依存しない密度関数により与える
メッシュ点間の枝の重みを
$\begin{aligned}\pi_j(i,k)=\displaystyle{\frac{f(t_j,S_j(i),S_{j+1}(k))}{g(t_{j+1},S_{j+1}(k))}}\end{aligned}$
により計算する

ことである。

8.8.2　メッシュ推定量とパス推定量

　満期を $t_M$ 、ペイオフ関数を $h(t_j,S_j)$ とすると、メッシュ推定量 $\hat{Q}(t_j,S_j(i))$ は漸化式

$\begin{aligned} \hat{Q}(t_M,S_M(i))&=h(t_M,S_M(i)),\ i=1,\cdots,b,\\ \hat{Q}(t_j,S_j(i))&=\max\left[h(t_j,S_j(i)),\displaystyle{\frac{1}{b}\sum_{k=1}^{b}\hat{Q}(j+1,S_{j+1}(k))\pi_{j}(i,k)} \right] \end{aligned}$

で定義され、後進的に解くことで最終的な解 $\hat{Q}:=\hat{Q}(0,S_0)$ を得る。これは確率的メッシュ状における自然なオプション価格推定量であろう。
　このメッシュ推定量の計算負荷は資産数 $n$ 、行使機会数 $M$ 、各時点でのメッシュ点個数 $b$ に対して、各点に $b$ 個の枝を持つメッシュ点は全体で $nbM$ 個ある。したがってメッシュ推定量の計算負荷は $O(nb^2M)$ である。

　次に確率的メッシュ内に新たな点列

$\begin{aligned} S_1^p(i),S_2^p(i),\cdots,S_M^p(i),\ i=1,\cdots,n_p \end{aligned}$

を発生させる。これをパス・ポイント列と呼ぶことにする。これは $S_t$ の本来の確率密度関数 $f$ から発生させればよい。このとき行使時点を

$\begin{aligned} \hat{\tau}(i)=\min\{t_j|h(t,S_j^p(i))\geq \hat{Q}(t,S_j^p(i))\} \end{aligned}$

により定め、パス推定量を

$\begin{aligned} \hat{q}=\displaystyle{\frac{1}{n_p}\sum_{i=1}^{n_p}h(\hat{\tau}(i),S_{\hat{\tau}(i)}(i))} \end{aligned}$

で定義する。ただし $n_p$ 回は1つの確率的メッシュ内で発生させたパス・ポイント列の数である。
　このパス推定量の計算負荷はメッシュ点は予め与えてあるため、パス・ポイントからメッシュ・ポイントへの重みが新たに必要になる。全部で $nMn_p$ 個のパス・ポイントがあり、各パス・ポイントに $b$ 個の枝がある。したがってパス推定量の計算負荷は $O(nbMn_p)$ である。

8.8.3　点推定量と信頼区間

　 $\mathrm{Broadie}$ $\mathrm{and}$ $\mathrm{Glasserman}$ はメッシュ推定量とパス推定量が $b\rightarrow\infty$ のとき真の値に収束することを示している。 $b$ を増やすのは難しいため、点推定値と信頼区間を構成する。
　第 $i$ 回目の確率的メッシュによるメッシュ推定量 $\hat{Q}^{i}$ およびパス推定量 $\hat{q}^{i}$ とし、メッシュ構築回数を $N$ とすれば、それぞれの平均値は

$\begin{aligned} \hat{Q}=\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\hat{Q}^{i}},\ \hat{q}=\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\hat{q}^{i}} \end{aligned}$

であり、点推定値はこれらを用いて

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\bar{Q}+\bar{q}}{2}} \end{aligned}$

で表される。
　また信頼区間は

$\begin{aligned} \left[\bar{q}-z_{\alpha/2}\displaystyle{\frac{\sigma(\hat{q})}{\sqrt{N}}},\ \ \bar{Q}+z_{\alpha/2}\displaystyle{\frac{\sigma(\hat{Q})}{\sqrt{N}}}\right] \end{aligned}$

8.8.4　アルゴリズム

確率的メッシュによる挟みうち法

(1)	時点 $t_0$ から $S(t)$ 本来の密度関数 $f$ により $b$ セットのパスを発生させる。時点 $t_j$ における $b$ 個の株価をメッシュ点 $\begin{aligned}S_j(i),i=1,\cdots,b\end{aligned}$ とする。
(2)	メッシュ推定量を漸化式 $\begin{aligned}\hat{Q}(t_M,S_M(i))&=h(t_M,S_M(i)),i=1,\cdots,b,\\\hat{Q}(t_j,S_j(i))&=\max\left[h(t_j,S_j(i)),\displaystyle{\frac{1}{b}\sum_{k=1}^{b}\hat{Q}(j+1.S_{j+1}(k))\pi_{j}(i,k)}\right]\end{aligned}$ により、またパス推定量を $\begin{aligned}\hat{q}=\displaystyle{\frac{1}{n_p}\sum_{i=1}^{n_p}h(\hat{\tau}(i),S_{\hat{\tau}(i)}(i))}\end{aligned}$ により推定する。
(3)	(1)と(2)を繰り返すことで点推定値 $\begin{aligned}\displaystyle{\frac{\bar{q}+\bar{Q}}{2}}\end{aligned}$ および信頼区間 $\begin{aligned}\left[\bar{q}-z_{\alpha/2}\displaystyle{\frac{\sigma(\hat{q})}{\sqrt{N}}},\bar{Q}+z_{\alpha/2}\displaystyle{\frac{\sigma(\hat{Q})}{\sqrt{N}}}\right]\end{aligned}$ を計算する。