「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。

MENU

金融工学でのモンテカルロ法(12/N):リスク・パラメータの算出(1)

 金融工学におけるシミュレーションについて学んでいく。テキストとして以下を使う。今回はP.99-103まで。

7. Monte Carlo法を用いたオプション・リスクの計算

7.1 Black-Scholesモデルにおけるリスク・パラメータ

 Black-Scholesモデルを前提とすればヨーロピアン・コール・オプションのリスク・パラメータは以下の通りとなる*1

パラメータ
計算式
デルタ\Delta \displaystyle{\frac{\partial c}{\partial S_0}}=\Phi(d)
ガンマ\Gamma \displaystyle{\frac{\partial ^2c}{\partial S_0^2}}=\displaystyle{\frac{\phi(d-\sigma\sqrt{T})}{S_0\sigma\sqrt{T}}}
カッパ\kappa \displaystyle{\frac{\partial c}{\partial \sigma}}=\sqrt{T}S_0\phi(d)
ロー\rho \displaystyle{\frac{\partial c}{\partial r}}=KTe^{-rT}\Phi(d-\sigma\sqrt{T})
シータ\theta \displaystyle{\frac{\partial c}{\partial T}}=-\displaystyle{\frac{\sigma S_0 \phi(d)}{2\sqrt{T}}}-rKe^{-rT}\Phi(d-\sigma\sqrt{T})

7.2 差分商による近似

 デルタの近似を例として差分商による近似を考える。

 Monte Carlo法によるヨーロピアン・コール・オプション価格の近似解を


\begin{aligned}
\hat{c}(S_0)&=\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}C_i},\\
C_i&=e^{-rT}\max\{S_{i,T}-K,0\}
\end{aligned}

とする。
 株価パスの初期値S_0の微笑変化値をhとすると、Monte Carlo法における差分商デルタ\hat{\Delta}は、以下のように初期値S_0hだけずらした2回のMonte Carlo法


\begin{aligned}
\hat{\Delta}&=\displaystyle{\frac{\hat{c}(S_0+h)-\hat{c}(S_0)}{h}}\\
&=\displaystyle{\frac{\left\{\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{M}C_i(S_{0}+h)}\right\}-\left\{\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{M}C_i(S_0)}\right\}}{h}}
\end{aligned}

により算出できる。

(1) あるiについて\boldsymbol{\xi}_i=(\xi_{i1},\cdots,\xi_{iM}),\ \xi_{ik}\sim N(0,1), i.i.dを発生させる。
(2) 株価サンプルパス
\begin{aligned}\boldsymbol{S}_i=(S_{i1},\cdots,S_{iM}),\end{aligned}
\begin{aligned}\ S_{ij}=S_{i(j-1)}+rS_{i(j=1)}\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}S_{i(j-1)}\xi_{ij}\end{aligned}
を発生させる。
(3) i=1,\cdots,Nに対して(1)および(2)を繰り返し
\begin{aligned}\hat{c}(S_0)=\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}C_{i}}\end{aligned}
を算出する。
(4) あるiについて\boldsymbol{\xi}_iとは独立な{\boldsymbol{\xi}_i}^{\prime}=({\xi_{i1}}^{\prime},\cdots,{\xi_{iM}}^{\prime}),\ {\xi_{ik}}^{\prime}\sim N(0,1), i.i.dを生成する。
(5) {\boldsymbol{\xi}_i}^{\prime}を用いて株価サンプルパス
\begin{aligned}\boldsymbol{S}^{\prime}_i=(S_{i1},\cdots,S^{\prime}_{iM}),\end{aligned}
\begin{aligned}\ S^{\prime}_{ij}=S^{\prime}_{i(j-1)}+rS^{\prime}_{i(j=1)}\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}S^{\prime}_{i(j-1)}\xi_{ij}\end{aligned}
を発生させる。ただし初期値をS_0+hとする。
(6) i=1,\cdots,Nに対して(4)および(5)を繰り返しオプション価格\hat{c}(S_0+h)を算出する。
(7) 差分商デルタ
\begin{aligned}\hat{\Delta}=\displaystyle{\frac{\hat{c}(S_0+h)-\hat{c}(S_0)}{h}}\end{aligned}
を計算する。

 カッパ、ロー、シータについても同様に計算すればよい。ただしガンマは中心差分


\begin{aligned}
\hat{\Gamma}=\displaystyle{\frac{\hat{c}(S_0+h)-2\hat{c}(S_0)+\hat{c}(S_0-h)}{h^2}}
\end{aligned}

を計算する。

7.3 最適な微小変化量

 Monte Carlo法で差分商近似を求める場合、hを小さくするとMonte Carlo法の誤差分散をより顕在化してしまう。パスの発生数Nを一定とすると、「差分商近似による解析的誤差」と「Monte Carlo法における誤差分散」にはhに関するトレードオフが存在し、最適な微小変化量h^{*}が存在する。
 理論価格cをもつヨーロピアン・コール・オプションのデルタ\Deltaについて考える。理論価格のMonte Carlo法による推定値を\hat{c}とし、Monte Carlo法による差分商デルタ\hat{\Delta}


\begin{aligned}
\hat{\Delta}&=\displaystyle{\frac{\left\{\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{M}C_i(S_{0}+h)}\right\}-\left\{\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{M}C_i(S_0)}\right\}}{h}}
\end{aligned}

で定義する。
 株価の初期値をS_0とし、


\begin{aligned}
c^{\prime}(S_0)=\displaystyle{\frac{\partial c}{\partial S_0}},\ c^{\prime\prime}(S_0)=\displaystyle{\frac{\partial^2 c}{{\partial S_0}^2}}
\end{aligned}

とすると、Taylor展開から


\begin{aligned}
c(S_0+h)=c(S_0)+c^{\prime}(S_0)h+\displaystyle{\frac{1}{2}}c^{\prime\prime}(S_0)h^2+o(h^2)
\end{aligned}

が成り立つ。したがって解析的差分商デルタは


\begin{aligned}
\Delta=\displaystyle{\frac{c(S_0+h)-c(S_0)}{h}-\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h}
\end{aligned}

と表現できる。ここで


\begin{aligned}
\hat{c}(S_0)=c(S_0)+\varepsilon_0,\ \hat{c}(S_0+h)=c(S_0+h)+\varepsilon_1,\\
V[\varepsilon_0]=V[\varepsilon_1]=\nu^2,\ Cov[\varepsilon_0,\varepsilon_1]=\nu^2\rho
\end{aligned}

とおき、V[\hat{\Delta}]を考える。


\begin{aligned}
E\left[\hat{\Delta}\right]=c^{\prime}(S_0)
\end{aligned}

であり、


\begin{aligned}
\Delta=c^{\prime}(S_0)=\displaystyle{\frac{c(S_0+h)-c(S_0)}{h}-\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h}
\end{aligned}

を代入することで


\begin{aligned}
V[\hat{\Delta}]=&E\left[\left(\displaystyle{\frac{\hat{c}(S_0+h)-\hat{c}(S_0)}{h}}-c^{\prime}(S_0)\right)^2\right]\\
=&E\left[\left(\displaystyle{\frac{\hat{c}(S_0+h)-\hat{c}(S_0)}{h}}-\displaystyle{\frac{c(S_0+h)-c(S_0)}{h}+\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h}\right)^2\right]\\
=&E\left[\left(\displaystyle{\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_0}{h}+\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h}\right)^2\right]\\
=&E\left[\left(\displaystyle{\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_0}{h}}\right)^2\right]+Cov\left[\displaystyle{\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_0}{h},c^{\prime\prime}(S_0)h}\right]+E\left[\left(\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h\right)^2\right]\\
=&V\left[\frac{\varepsilon_1}{h}\right]-2Cov\left[\frac{\varepsilon_1}{h},\frac{\varepsilon_0}{h}\right]+V\left[\frac{\varepsilon_0}{h}\right]+\left(\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h\right)^2\\
=&\displaystyle{\frac{\nu^2}{h^2}}-2\displaystyle{\frac{\nu^2\rho}{h^2}}+\displaystyle{\frac{\nu^2}{h^2}}+\left(\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h\right)^2\\
=&\left(\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h\right)^2+\displaystyle{\frac{2\nu^2(1-\rho)}{h^2}}
\end{aligned}

が成り立つ。


\begin{aligned}
V[\hat{\Delta}]=&\left(\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h\right)^2+\displaystyle{\frac{2\nu^2(1-\rho)}{h^2}}\\
=&\left(\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h+\displaystyle{\frac{\sqrt{2\nu^2(1-\rho)}}{h}}\right)^2-|c^{\prime\prime}(S_0)|\sqrt{2\nu^2(1-\rho)}\\
=&\left(\frac{c^{\prime\prime}(S_0)h+\displaystyle{\frac{\sqrt{8\nu^2(1-\rho)}}{h}}}{2}\right)^2-|c^{\prime\prime}(S_0)|\sqrt{2\nu^2(1-\rho)}
\end{aligned}

ここで最右辺第1項について相加相乗平均の関係から


\begin{aligned}
\left(\frac{c^{\prime\prime}(S_0)h+\displaystyle{\frac{\sqrt{8\nu^2(1-\rho)}}{h}}}{2}\right)^2\geq|c^{\prime\prime}(S_0)|\sqrt{8\nu^2(1-\rho)}
\end{aligned}

が成り立つ。等号が成り立つのは、


\begin{aligned}
&\ \left(\frac{c^{\prime\prime}(S_0)h+\displaystyle{\frac{\sqrt{8\nu^2(1-\rho)}}{h}}}{2}\right)^2=|c^{\prime\prime}(S_0)|\sqrt{8\nu^2(1-\rho)}\\
\Leftrightarrow&\ c^{\prime\prime}(S_0)h^2-4|c^{\prime\prime}(S_0)|\sqrt{8\nu^2(1-\rho)}h+\sqrt{8\nu^2(1-\rho)}=0\\
\Leftrightarrow&\ h=\displaystyle{\frac{8\nu^2(1-\rho)}{c^{\prime\prime}(S_0)}}^{-\frac{1}{4}}
\end{aligned}

のときである。
 これは\hat{\Delta}の分散が、差分商近似による解析誤差とMonte Carlo法による誤差分散に分離できることを意味している。

  • 最適なh^{*}を知るにはc^{\prime\prime}(S_0), \nu,\rhoが必要である。
  • h^{*}N^{-\frac{1}{4}}のオーダーで小さくなる。
  • \rho1に近いと分散は大きく減りやすい。
  • サンプル数Nを増やして\nuを小さくしても差分商近似の解析的誤差は減らない。
プライバシーポリシー お問い合わせ