金融工学におけるシミュレーションについて学んでいく。テキストとして以下を使う。今回はP.99-103まで。
7. Monte Carlo法を用いたオプション・リスクの計算
7.1 Black-Scholesモデルにおけるリスク・パラメータ
-
モデルを前提とすればヨーロピアン・コール・オプションのリスク・パラメータは以下の通りとなる*1:
パラメータ |
計算式 |
デルタ |
|
ガンマ |
|
カッパ |
|
ロー |
|
シータ |
7.2 差分商による近似
デルタの近似を例として差分商による近似を考える。
法によるヨーロピアン・コール・オプション価格の近似解を
とする。
株価パスの初期値の微笑変化値を
とすると、
法における差分商デルタ
は、以下のように初期値
を
だけずらした2回の
法
により算出できる。
(1) | ある |
(2) | 株価サンプルパス |
(3) | |
(4) | ある |
(5) | |
(6) | |
(7) | 差分商デルタ |
カッパ、ロー、シータについても同様に計算すればよい。ただしガンマは中心差分
を計算する。
7.3 最適な微小変化量
法で差分商近似を求める場合、
を小さくすると
法の誤差分散をより顕在化してしまう。パスの発生数
を一定とすると、「差分商近似による解析的誤差」と「
法における誤差分散」には
に関するトレードオフが存在し、最適な微小変化量
が存在する。
理論価格をもつヨーロピアン・コール・オプションのデルタ
について考える。理論価格の
法による推定値を
とし、
法による差分商デルタ
を
で定義する。
株価の初期値をとし、
とすると、展開から
が成り立つ。したがって解析的差分商デルタは
と表現できる。ここで
とおき、を考える。
であり、
を代入することで
が成り立つ。
ここで最右辺第1項について相加相乗平均の関係から
が成り立つ。等号が成り立つのは、
のときである。
これはの分散が、差分商近似による解析誤差と
法による誤差分散に分離できることを意味している。
- 最適な
を知るには
が必要である。
は
のオーダーで小さくなる。
が
に近いと分散は大きく減りやすい。
- サンプル数
を増やして
を小さくしても差分商近似の解析的誤差は減らない。