金融工学でのモンテカルロ法(13/23)：リスク・パラメータの算出(1) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　金融工学におけるシミュレーションについて学んでいく。テキストとして以下を使う。今回はP.99-103まで。

モンテカルロ法の金融工学への応用 (シリーズ現代金融工学)

作者:祥二, 湯前,輝好, 鈴木
朝倉書店

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7.　Monte Carlo法を用いたオプション・リスクの計算
次回

7.　Monte Carlo法を用いたオプション・リスクの計算

7.1　Black-Scholesモデルにおけるリスク・パラメータ

　 $\mathrm{Black}$ - $\mathrm{Scholes}$ モデルを前提とすればヨーロピアン・コール・オプションのリスク・パラメータは以下の通りとなる*1：

パラメータ	計算式
デルタ $\Delta$	$\displaystyle{\frac{\partial c}{\partial S_0}}=\Phi(d)$
ガンマ $\Gamma$	$\displaystyle{\frac{\partial ^2c}{\partial S_0^2}}=\displaystyle{\frac{\phi(d-\sigma\sqrt{T})}{S_0\sigma\sqrt{T}}}$
カッパ $\kappa$	$\displaystyle{\frac{\partial c}{\partial \sigma}}=\sqrt{T}S_0\phi(d)$
ロー $\rho$	$\displaystyle{\frac{\partial c}{\partial r}}=KTe^{-rT}\Phi(d-\sigma\sqrt{T})$
シータ $\theta$	$\displaystyle{\frac{\partial c}{\partial T}}=-\displaystyle{\frac{\sigma S_0 \phi(d)}{2\sqrt{T}}}-rKe^{-rT}\Phi(d-\sigma\sqrt{T})$

7.2　差分商による近似

　デルタの近似を例として差分商による近似を考える。

　 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法によるヨーロピアン・コール・オプション価格の近似解を

$\begin{aligned} \hat{c}(S_0)&=\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}C_i},\\ C_i&=e^{-rT}\max\{S_{i,T}-K,0\} \end{aligned}$

とする。
　株価パスの初期値 $S_0$ の微笑変化値を $h$ とすると、 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法における差分商デルタ $\hat{\Delta}$ は、以下のように初期値 $S_0$ を $h$ だけずらした2回の $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法

$\begin{aligned} \hat{\Delta}&=\displaystyle{\frac{\hat{c}(S_0+h)-\hat{c}(S_0)}{h}}\\ &=\displaystyle{\frac{\left\{\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{M}C_i(S_{0}+h)}\right\}-\left\{\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{M}C_i(S_0)}\right\}}{h}} \end{aligned}$

により算出できる。

(1)	ある $i$ について $\boldsymbol{\xi}_i=(\xi_{i1},\cdots,\xi_{iM}),\ \xi_{ik}\sim N(0,1), i.i.d$ を発生させる。
(2)	株価サンプルパス $\begin{aligned}\boldsymbol{S}_i=(S_{i1},\cdots,S_{iM}),\end{aligned}$ $\begin{aligned}\ S_{ij}=S_{i(j-1)}+rS_{i(j=1)}\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}S_{i(j-1)}\xi_{ij}\end{aligned}$ を発生させる。
(3)	$i=1,\cdots,N$ に対して(1)および(2)を繰り返し $\begin{aligned}\hat{c}(S_0)=\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}C_{i}}\end{aligned}$ を算出する。
(4)	ある $i$ について $\boldsymbol{\xi}_i$ とは独立な ${\boldsymbol{\xi}_i}^{\prime}=({\xi_{i1}}^{\prime},\cdots,{\xi_{iM}}^{\prime}),\ {\xi_{ik}}^{\prime}\sim N(0,1), i.i.d$ を生成する。
(5)	${\boldsymbol{\xi}_i}^{\prime}$ を用いて株価サンプルパス $\begin{aligned}\boldsymbol{S}^{\prime}_i=(S_{i1},\cdots,S^{\prime}_{iM}),\end{aligned}$ $\begin{aligned}\ S^{\prime}_{ij}=S^{\prime}_{i(j-1)}+rS^{\prime}_{i(j=1)}\Delta t+\sigma\sqrt{\Delta t}S^{\prime}_{i(j-1)}\xi_{ij}\end{aligned}$ を発生させる。ただし初期値を $S_0+h$ とする。
(6)	$i=1,\cdots,N$ に対して(4)および(5)を繰り返しオプション価格 $\hat{c}(S_0+h)$ を算出する。
(7)	差分商デルタ $\begin{aligned}\hat{\Delta}=\displaystyle{\frac{\hat{c}(S_0+h)-\hat{c}(S_0)}{h}}\end{aligned}$ を計算する。

　カッパ、ロー、シータについても同様に計算すればよい。ただしガンマは中心差分

$\begin{aligned} \hat{\Gamma}=\displaystyle{\frac{\hat{c}(S_0+h)-2\hat{c}(S_0)+\hat{c}(S_0-h)}{h^2}} \end{aligned}$

を計算する。

7.3　最適な微小変化量

　 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法で差分商近似を求める場合、 $h$ を小さくすると $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法の誤差分散をより顕在化してしまう。パスの発生数 $N$ を一定とすると、「差分商近似による解析的誤差」と「 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法における誤差分散」には $h$ に関するトレードオフが存在し、最適な微小変化量 $h^{*}$ が存在する。
　理論価格 $c$ をもつヨーロピアン・コール・オプションのデルタ $\Delta$ について考える。理論価格の $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法による推定値を $\hat{c}$ とし、 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法による差分商デルタ $\hat{\Delta}$ を

$\begin{aligned} \hat{\Delta}&=\displaystyle{\frac{\left\{\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{M}C_i(S_{0}+h)}\right\}-\left\{\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{M}C_i(S_0)}\right\}}{h}} \end{aligned}$

で定義する。
　株価の初期値を $S_0$ とし、

$\begin{aligned} c^{\prime}(S_0)=\displaystyle{\frac{\partial c}{\partial S_0}},\ c^{\prime\prime}(S_0)=\displaystyle{\frac{\partial^2 c}{{\partial S_0}^2}} \end{aligned}$

とすると、 $\mathrm{Taylor}$ 展開から

$\begin{aligned} c(S_0+h)=c(S_0)+c^{\prime}(S_0)h+\displaystyle{\frac{1}{2}}c^{\prime\prime}(S_0)h^2+o(h^2) \end{aligned}$

が成り立つ。したがって解析的差分商デルタは

$\begin{aligned} \Delta=\displaystyle{\frac{c(S_0+h)-c(S_0)}{h}-\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h} \end{aligned}$

と表現できる。ここで

$\begin{aligned} \hat{c}(S_0)=c(S_0)+\varepsilon_0,\ \hat{c}(S_0+h)=c(S_0+h)+\varepsilon_1,\\ V[\varepsilon_0]=V[\varepsilon_1]=\nu^2,\ Cov[\varepsilon_0,\varepsilon_1]=\nu^2\rho \end{aligned}$

とおき、 $V[\hat{\Delta}]$ を考える。

$\begin{aligned} E\left[\hat{\Delta}\right]=c^{\prime}(S_0) \end{aligned}$

であり、

$\begin{aligned} \Delta=c^{\prime}(S_0)=\displaystyle{\frac{c(S_0+h)-c(S_0)}{h}-\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h} \end{aligned}$

を代入することで

$\begin{aligned} V[\hat{\Delta}]=&E\left[\left(\displaystyle{\frac{\hat{c}(S_0+h)-\hat{c}(S_0)}{h}}-c^{\prime}(S_0)\right)^2\right]\\ =&E\left[\left(\displaystyle{\frac{\hat{c}(S_0+h)-\hat{c}(S_0)}{h}}-\displaystyle{\frac{c(S_0+h)-c(S_0)}{h}+\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h}\right)^2\right]\\ =&E\left[\left(\displaystyle{\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_0}{h}+\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h}\right)^2\right]\\ =&E\left[\left(\displaystyle{\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_0}{h}}\right)^2\right]+Cov\left[\displaystyle{\frac{\varepsilon_1-\varepsilon_0}{h},c^{\prime\prime}(S_0)h}\right]+E\left[\left(\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h\right)^2\right]\\ =&V\left[\frac{\varepsilon_1}{h}\right]-2Cov\left[\frac{\varepsilon_1}{h},\frac{\varepsilon_0}{h}\right]+V\left[\frac{\varepsilon_0}{h}\right]+\left(\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h\right)^2\\ =&\displaystyle{\frac{\nu^2}{h^2}}-2\displaystyle{\frac{\nu^2\rho}{h^2}}+\displaystyle{\frac{\nu^2}{h^2}}+\left(\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h\right)^2\\ =&\left(\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h\right)^2+\displaystyle{\frac{2\nu^2(1-\rho)}{h^2}} \end{aligned}$

が成り立つ。

$\begin{aligned} V[\hat{\Delta}]=&\left(\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h\right)^2+\displaystyle{\frac{2\nu^2(1-\rho)}{h^2}}\\ =&\left(\frac{1}{2}c^{\prime\prime}(S_0)h+\displaystyle{\frac{\sqrt{2\nu^2(1-\rho)}}{h}}\right)^2-|c^{\prime\prime}(S_0)|\sqrt{2\nu^2(1-\rho)}\\ =&\left(\frac{c^{\prime\prime}(S_0)h+\displaystyle{\frac{\sqrt{8\nu^2(1-\rho)}}{h}}}{2}\right)^2-|c^{\prime\prime}(S_0)|\sqrt{2\nu^2(1-\rho)} \end{aligned}$

ここで最右辺第1項について相加相乗平均の関係から

$\begin{aligned} \left(\frac{c^{\prime\prime}(S_0)h+\displaystyle{\frac{\sqrt{8\nu^2(1-\rho)}}{h}}}{2}\right)^2\geq|c^{\prime\prime}(S_0)|\sqrt{8\nu^2(1-\rho)} \end{aligned}$

が成り立つ。等号が成り立つのは、

$\begin{aligned} &\ \left(\frac{c^{\prime\prime}(S_0)h+\displaystyle{\frac{\sqrt{8\nu^2(1-\rho)}}{h}}}{2}\right)^2=|c^{\prime\prime}(S_0)|\sqrt{8\nu^2(1-\rho)}\\ \Leftrightarrow&\ c^{\prime\prime}(S_0)h^2-4|c^{\prime\prime}(S_0)|\sqrt{8\nu^2(1-\rho)}h+\sqrt{8\nu^2(1-\rho)}=0\\ \Leftrightarrow&\ h=\displaystyle{\frac{8\nu^2(1-\rho)}{c^{\prime\prime}(S_0)}}^{-\frac{1}{4}} \end{aligned}$