やりなおしの数学・微分積分篇（73/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
11.　陰関数定理と逆写像定理

今日のまとめ

陰関数定理の一般形を証明する準備をすべく、正則な行列全体の集合を考え、縮小写像を定義します。

11.　陰関数定理と逆写像定理

11.4.　ベクトル値写像

　陰関数定理の一般形を扱うべく、ベクトル値写像を導入する。

11.4.3　正則な行列全体の集合

　正則な行列全体の集合を考えよう。

正則な行列全体の集合　正則な $n$ 次正方行列全体の集合 $M(n,n)$ に対して、

$\begin{aligned} GL_n=\left\{A\in M(n,n)\left|\right.Aは正則\right\} \end{aligned}$

とおく。このとき以下が成立する。

$A\in GL_n$ とする。このとき ${}^{\forall}\!B\in M(n,n)$ について
$\begin{aligned}\left|B-A\right|_{M(n,n)}\lt\left|A^{-1}\right|^{-1}_{M(n,n)}\Rightarrow B\in GL_{n}\end{aligned}$
である。特に $GL_n$ は $M(n,n)$ は開集合である。
写像 $GL_n\rightarrow M(n,n),A\mapsto A^{-1}$ は $C^{\infty}$ 級である。

( $\because$ 　まずは特殊な場合である

$\begin{aligned} \left|B-A\right|_{M(n,n)}\lt1\Rightarrow B\in GL_n \end{aligned}$

を示す。 $B\in GL_n$ を示すには、 $B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ $\Rightarrow$ $\boldsymbol{x}=$ $\boldsymbol{0}$ を示せばよい。
　 $B\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ と仮定する。このとき $\boldsymbol{x}=(I-B)\boldsymbol{x}$ であるから、

$\begin{aligned} \left|\boldsymbol{x}\right|\leq\left|B\right|_{M(n,n)}\left|\boldsymbol{x}\right| \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $\left|B\right|_{M(n,n)}\lt1$ ならば、 $\boldsymbol{x}=$ $\boldsymbol{0}$ である。
　次に、一般に $A\in GL_n,$ $\left|B-A\right|_{M(n,n)}$ $\lt$ $\left|A^{-1}\right|_{M(n,n)}^{-1}$ であると仮定する。このとき

$\begin{aligned} B=A+(B-A)=A\left(I-A^{-1}(B-A)\right) \end{aligned}$

であり、

$\begin{aligned} \left|I-\left(I-A^{-1}(B-A)\right)\right|_{M(n,n)}=\left|A^{-1}(B-A)\right|_{M(n,n)}\leq\left|A^{-1}\right|_{M(n,n)}\left|B-A\right|_{M(n,n)}\lt1 \end{aligned}$

が成り立つ。上の特殊例と同様の議論から、 $I+A^{-1}(B-A)$ は逆行列を持ち、これはすなわち $B$ も逆行列を持つことを意味し、したがって $B\in GL_n$ が成立する。
　次に $GL_n\rightarrow M(n,n);A\mapsto A^{-1}$ が $C^{\infty}$ 級写像であることを示すべく、 $A^{-1}$ の各成分が $A=\left[a_{ij}\right]$ の $C^{\infty}$ 級写像であることを示せばよい。しかしこれは $A^{-1}$ の $(i,j)$ 成分が、 $a_{ij}$ の余因子を $\Delta_{ji}$ として、 $\displaystyle{\frac{\Delta_{ji}}{\det A}}$ であることから明らかである。　 $\blacksquare$ )

11.5　縮小写像の原理

　陰関数定理の別証明を与えるべく、まずは縮小写像の原理を、限定した形で導入する。
　 $A\subset\mathbb{R}^n,$ $A\neq\emptyset$ に対して、写像 $T:A\rightarrow\mathbb{R}^n$ を考える。

$\begin{aligned} T(\boldsymbol{x}_0)=\boldsymbol{x}_0 \end{aligned}$

を満たすような $\boldsymbol{x}_0\in A$ を $T$ の不動点と呼ぶ。

縮小写像の定義　写像 $T:A\rightarrow\mathbb{R}^n$ について、

$\begin{aligned} {}^{\exists}\!\rho\in\left[0,1\right)\left({}^{\forall}\!\boldsymbol{x},{}^{\forall}\!\boldsymbol{y}\in A\left(\left|T(\boldsymbol{x})-T(\boldsymbol{y})\right|\leq\rho\left|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{y}\right|\right)\right) \end{aligned}$

が成り立つとき、 $T$ は縮小写像であるという。

縮小写像の原理　閉集合 $\bar{\mathit{\Omega}}\subset\mathbb{R}^n,$ $\bar{\mathit{\Omega}}\neq\emptyset$ および縮小写像 $T:$ $\bar{\mathit{\Omega}}$ $\rightarrow$ $\bar{\mathit{\Omega}}$ を考える。このとき $T$ は一意な不動点を持つ。

11.6　陰関数定理(一般形)と逆写像定理

　これから一般形の陰関数定理を示すべく、以下の記号を導入する。まず

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}&=(x_1,\cdots,x_m),\\ \boldsymbol{y}&=(y_1,\cdots,y_n),\\ (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})&=(x_1,\cdots,x_m,y_1,\cdots,y_n) \end{aligned}$

とする。また $\boldsymbol{f}_i:\boldsymbol{\mathit{\Omega}}\rightarrow\mathbb{R},$ $i=1,$ $\cdots,$ $n,$ $\mathit{\Omega}$ $\subset$ $\mathbb{R}^{m+n}$ に対して、

$\begin{aligned} \boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\begin{bmatrix}\boldsymbol{f}_1\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ \vdots\\ \boldsymbol{f}_n\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\end{bmatrix} \end{aligned}$

とおき、そのそれぞれ $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ に関する微分を

$\begin{aligned} D_{\boldsymbol{x}}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)&=\begin{bmatrix} \displaystyle{\frac{\partial \boldsymbol{f}_1}{\partial x_1}}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial \boldsymbol{f}_1}{\partial x_m}}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \displaystyle{\frac{\partial \boldsymbol{f}_n}{\partial x_1}}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial \boldsymbol{f}_n}{\partial x_m}}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \end{bmatrix},\\ D_{\boldsymbol{y}}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)&=\begin{bmatrix} \displaystyle{\frac{\partial \boldsymbol{f}_1}{\partial y_1}}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial \boldsymbol{f}_1}{\partial y_n}}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \displaystyle{\frac{\partial \boldsymbol{f}_n}{\partial y_1}}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)&\cdots&\displaystyle{\frac{\partial \boldsymbol{f}_n}{\partial y_n}}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right) \end{bmatrix} \end{aligned}$

とする。このとき陰関数定理の仮定をこれらの記号を用いると、

$\begin{aligned} \boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0\right)=\boldsymbol{0},\ \det D_{\boldsymbol{y}}\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0\right)\neq0 \end{aligned}$

と書ける。また求めるものは $(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0)$ の近傍において $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{0}$ を満たす $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ のグラフ表示 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{x})$ である。

　陰関数定理の一般形を示すには、 $(\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}_0)=(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0})$ に対して証明すればよい。実際、

$\begin{aligned} \boldsymbol{g}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})&=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}+\boldsymbol{y}_0),\\ \boldsymbol{g}&:\mathit{\Omega}^{\prime}\rightarrow\mathbb{R}^n,\\ \mathit{\Omega}^{\prime}&=\left\{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})\left|\right.(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{y}+\boldsymbol{y}_0)\in\mathit{\Omega}\right\} \end{aligned}$

を改めて $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ と置き直せばよい。
　陰関数定理を示すべく、

$\begin{aligned} (\boldsymbol{0},\boldsymbol{0})\in\mathit{\Omega},\ \boldsymbol{f}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0})=\boldsymbol{0},\ \det D_{\boldsymbol{y}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0})\neq0 \end{aligned}$

と仮定する。縮小写像の原理を用いるべく、 $\boldsymbol{T}:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}^n$ を

$\begin{aligned} \boldsymbol{T}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}-\left(D_{\boldsymbol{y}}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0})\right)^{-1}\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) \end{aligned}$

で定義すれば、 $\boldsymbol{T}$ は $C^{1}$ 級であり、仮定から、

$\begin{aligned} \boldsymbol{T}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0})&=\boldsymbol{0},\\ D_{\boldsymbol{y}}\boldsymbol{T}(\boldsymbol{0},\boldsymbol{0})&=O,\\ \boldsymbol{T}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})&=\boldsymbol{y}\Leftrightarrow\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\boldsymbol{0} \end{aligned}$

が成り立つ。3つ目の命題から、 $\boldsymbol{x}$ をパラメータと見たときに写像 $\boldsymbol{y}\mapsto\boldsymbol{T}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ の不動点の一意性と存在が論点になる。
　以下、 $r\gt0$ に対して $B_{\mathbb{R}^n}(\boldsymbol{0},r),\bar{B}_{\mathbb{R}^n}(\boldsymbol{0},r)$ を簡便のために $B_{\mathbb{R}^n}(r),$ $\bar{B}_{\mathbb{R}^n}(r)$ と書くものとする。