今日のまとめ
- 陰関数定理を示す。
11. 陰関数定理と逆写像定理
11.3 陰関数定理
開集合および
級関数
に対して、
において
が成立すると仮定する。このとき陰関数定理を証明する。
陰関数定理
を満たすならば、が存在して以下が成り立つ。
。このとき
と書くと、
を満たすような
は
の中でグラフ
の形にかけ、特に
が成り立つ。
は
級であり、
が成り立つ。が
ならば
も
級である。
実際、と
の連続性から、
は
の小さな近傍において正であるから、その近傍に
]が含まれるように
を十分に小さく選べば
が成り立つ。次ににより
は
において狭義単調増加であるから、
を踏まえると
を得る。の連続性から、
ないし
の近傍で
は正ないし負であるから、
を小さく取れば
が得られる。したがってを
に置き換えればよい。
次に各に対して
を満たすような
が一意に存在することを示す。前段における
の選び方から、各
に対して関数
は狭義単調増加であり、
においてこの関数は正で、
では負である。したがって中間値の定理から、
を満たすような
が一意に存在する。
前段で存在を示したを
とするとき、
は連続であることを示す。これを示すには、
を示せばよい。を
を満たすように取る。このときにより
が成り立つことに注意する。最初の議論を繰り返すことで
を満たすようなを選ぶことができる。したがって各
に対して
を満たすような
が存在し、この
は
に他ならないから示すべき命題は正しく、
は連続である。
更に写像が
級であることを示す。
とし、
とおく。であるから平均値の定理を用いることで
が成り立つ。ここで
に注意すると
を得る。であることおよび前段で示した連続性より、
が従うことに注意すれば、
が成立することが分かる。これはが
で微分可能であり
が成立することを意味する。は任意であり
の連続性から上式の右辺の連続性も得られるから
も連続である。したがって
は
級である。
最後にを
級とすれば
も
級であることを示す。まず
を
級だと仮定する。前段で示した命題から、
は
級であるから
の右辺は級である。したがって
は
級である。
が
のときも同様の議論を繰り返せばよい。
以上より、陰関数定理は示された。 )