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やりなおしの数学・微分積分篇(69/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 陰関数定理を示す。

11. 陰関数定理と逆写像定理

11.3 陰関数定理

 開集合\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^2およびC^1級関数f:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}に対して、(x_0,y_0)\in\mathit{\Omega}において


\begin{aligned}
f(x_0,y_0)&=0,\\
f_y(x_0,y_0)&\gt0
\end{aligned}

が成立すると仮定する。このとき陰関数定理を証明する。


陰関数定理 \mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^2を空でない開集合、またf(x,y):\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}C^1級関数とする。(x_0,y_0)\in\mathit{\Omega}


\begin{aligned}
f(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)\neq0
\end{aligned}

を満たすならば、\delta,\rho\gt0が存在して以下が成り立つ。

  • \left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]\subset\mathit{\Omega}
  • {}^{\forall}x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\left({}^{!\exists}y\in(y_0-\rho,y_0+\rho)\right)\ \mathrm{s.t.}\ f(x,y)=0。このときy=\varphi(x)と書くと、f(x,y)=0を満たすような(x,y)\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\times\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)の中でグラフy=\varphi(x)の形にかけ、特に\varphi(x_0)=y_0が成り立つ。
  • \varphi:\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\times\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)C^1級であり、

    \begin{aligned}\varphi^{\prime}(x)=-\displaystyle{\frac{f_x(x,\varphi(x) )}{f_y(x,\varphi(x) )}}\end{aligned}

    が成り立つ。
  • f(x,y)C^l,l\geq1ならば\varphi(x)C^l級である。

(\because まず(x_0,y_0)の近傍\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right](\delta\gt0\rho\gt0)の取り方について、\delta,\rho\gt0を以下が成立するように小さく取ることができる。


\begin{aligned}
\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]&\subset\mathit{\Omega},\\
f_y(x,y)&\gt0,\ (x,y)\in \left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right],\\
f(x,y_0-\rho)&\lt0,\ (x,y)\in \left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\\
f(x,y_0+\rho)&\gt0,\ (x,y)\in \left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]
\end{aligned}

実際、f_y(x_0,y_0)\gt0f_y(x,y)の連続性から、f_y(x,y)(x_0,y_0)の小さな近傍において正であるから、その近傍に\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]]が含まれるように\delta,\rho\gt0を十分に小さく選べば


\begin{aligned}
\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]&\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]\subset\mathit{\Omega},\\
f_y(x,y)&\gt0,\ (x,y)\in \left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]
\end{aligned}

が成り立つ。次にf_y(x,y)\gt0,\ (x,y)\in \left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]によりy\mapsto f(x_0,y)[y_0-\rho,y_0+\rho]において狭義単調増加であるから、f(x_0,y_0)=0を踏まえると


\begin{aligned}
f(x,y_0-\rho)&\lt0,\\
f(x,y_0+\rho)&\gt0
\end{aligned}

を得る。f(x,y)の連続性から、(x_0,y_0+\rho)ないし(x_0,y_0-\rho)の近傍でf(x,y)は正ないし負であるから、\delta^{\prime}\in(0,\delta]を小さく取れば


\begin{aligned}
f(x,y_0-\rho)&\lt0,\ (x,y)\in \left[x_0-\delta^{\prime},x_0+\delta^{\prime}\right]\\
f(x,y_0+\rho)&\gt0,\ (x,y)\in \left[x_0-\delta^{\prime},x_0+\delta^{\prime}\right]
\end{aligned}

が得られる。したがって\delta^{\prime}\deltaに置き換えればよい。


 次に各x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)に対してf(x,y)=0を満たすようなy\in\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)が一意に存在することを示す。前段における\delta,\rho\gt0の選び方から、各x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)に対して関数y\mapsto f(x,y);[y_0-\rho,y_0+\rho]\rightarrow\mathbb{R}は狭義単調増加であり、y=y_0+\rhoにおいてこの関数は正で、y=y_0-\rhoでは負である。したがって中間値の定理から、f(x,y)=0を満たすようなy\in(y_0-\rho,y_0+\rho)が一意に存在する。


 前段で存在を示したyy=\varphi(x)とするとき、\varphi:(x_0-\delta,x_0+\delta)\rightarrow(y_0-\rho,y_0+\rho)は連続であることを示す。これを示すには、


\begin{aligned}
{}^{\forall}s_0\in(x_0-\delta,x_0+\delta),{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}\eta\gt0\ \mathrm{s.t.}\ \left|x-s_0\right|\lt\eta\Rightarrow\left|\varphi(x)-\varphi(s_0)\right|\lt\varepsilon\right)
\end{aligned}

を示せばよい。\varepsilon\gt0


\begin{aligned}
y_0-\rho\lt\varphi(s_0)-\varepsilon\lt\varphi(s_0)+\varepsilon\lt y_0+\rho
\end{aligned}

を満たすように取る。このときf(s_0,\varphi(s_0))=0により


\begin{aligned}
f(s_0,\varphi(s_0)+\varepsilon)\gt0,\ f(s_0,\varphi(s_0)-\varepsilon)\lt0
\end{aligned}

が成り立つことに注意する。最初の議論を繰り返すことで


\begin{aligned}
\left[s_0-\eta,s_-0+\eta\right]\times\left[\varphi(s_0)-\varepsilon,\varphi(s_0)+\varepsilon\right]&\subset\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right],\\
f(x,\varphi(s_0)+\varepsilon)&\gt0,\ \ x\in\left[s_0-\eta,s_0+\eta\right],\\
f(x,\varphi(s_0)-\varepsilon)&\lt0,\ \ x\in\left[s_0-\eta,s_0+\eta\right]
\end{aligned}

を満たすような\eta\gt0を選ぶことができる。したがって各x\in(s_0-\eta,s_0+\eta)に対してf(x,y)=0を満たすようなy\in(\varphi(s_0)-\varepsilon,\varphi(s_0)+\varepsilon)が存在し、このy\varphi(x)に他ならないから示すべき命題は正しく、\varphi(x)は連続である。

 更に写像\varphi(x):(x_0-\delta,x_0+\delta)\rightarrow(y_0-\rho,y_0+\rho)C^1級であることを示す。s_0,s_0+h\in(x_0-\delta,x_0+\delta)とし、


\begin{aligned}
k(h)&=\varphi(s_0+h)-\varphi(s_0),\\
g(t)&=f(s_0+th,\varphi(s_0)+tk(h)):[0,1]\rightarrow\mathbb{R}
\end{aligned}

とおく。g(0)=g(1)=0であるから平均値の定理を用いることで


\begin{aligned}
{}^{\exists}\theta\in(0,1)\ \mathrm{s.t.}\ g^{\prime}(\theta)=0
\end{aligned}

が成り立つ。ここで


\begin{aligned}
g^{\prime}(t)=f_x(s_0+th,\varphi(s_0)+tk(h))h+f_y(s_0+th,\varphi(s_0)tk(h))k(h)
\end{aligned}

に注意すると


\begin{aligned}
f_x(s_0+\theta h,\varphi(s_0)+\theta k(h))h+f_y(s_0+\theta h,\varphi(s_0)+\theta k(h))k(h)=0
\end{aligned}

を得る。f_y(s_0,\varphi(s_0))\gt0であることおよび前段で示した連続性より、k(h)\rightarrow0(h\rightarrow0)が従うことに注意すれば、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{h\rightarrow0}\frac{k(h)}{h}}=-\displaystyle{\frac{f_x(s_0,\varphi(s_0))}{f_y(s_0,\varphi(s_0))}}
\end{aligned}

が成立することが分かる。これは\varphi(x)x=s_0微分可能であり


\begin{aligned}
\varphi^{\prime}(x)=-\displaystyle{\frac{f_x(x,\varphi(x))}{f_y(x,\varphi(x))}}
\end{aligned}

が成立することを意味する。s_0は任意であり\varphi(x)の連続性から上式の右辺の連続性も得られるから\varphi^{\prime}(x)も連続である。したがって\varphi(x)C^1級である。

 最後にf(x,y)C^l級とすれば\varphi(x)C^l級であることを示す。まずf(x,y)C^2級だと仮定する。前段で示した命題から、\varphi(x)C^1級であるから


\begin{aligned}
\varphi^{\prime}(x)=-\displaystyle{\frac{f_x(x,\varphi(x))}{f_y(x,\varphi(x))}}
\end{aligned}

の右辺はC^1級である。したがって\varphi(x)C^2級である。f(x,y)C^l,l=3,4,\cdotsのときも同様の議論を繰り返せばよい。

 以上より、陰関数定理は示された。 \blacksquare)

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