やりなおしの数学・微分積分篇（69/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
11.　陰関数定理と逆写像定理
- 11.3　陰関数定理

今日のまとめ

陰関数定理を示す。

11.　陰関数定理と逆写像定理

11.3　陰関数定理

　開集合 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^2$ および $C^1$ 級関数 $f:\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}$ に対して、 $(x_0,y_0)\in\mathit{\Omega}$ において

$\begin{aligned} f(x_0,y_0)&=0,\\ f_y(x_0,y_0)&\gt0 \end{aligned}$

が成立すると仮定する。このとき陰関数定理を証明する。

陰関数定理　 $\mathit{\Omega}\subset\mathbb{R}^2$ を空でない開集合、また $f(x,y):\mathit{\Omega}\rightarrow\mathbb{R}$ を $C^1$ 級関数とする。 $(x_0,y_0)\in\mathit{\Omega}$ が

$\begin{aligned} f(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)\neq0 \end{aligned}$

を満たすならば、 $\delta,\rho\gt0$ が存在して以下が成り立つ。

$\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]\subset\mathit{\Omega}$
${}^{\forall}x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)\left({}^{!\exists}y\in(y_0-\rho,y_0+\rho)\right)\ \mathrm{s.t.}\ f(x,y)=0$ 。このとき $y=\varphi(x)$ と書くと、 $f(x,y)=0$ を満たすような $(x,y)$ は $\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\times\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)$ の中でグラフ $y=\varphi(x)$ の形にかけ、特に $\varphi(x_0)=y_0$ が成り立つ。
$\varphi:\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)\times\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)$ は $C^1$ 級であり、
$\begin{aligned}\varphi^{\prime}(x)=-\displaystyle{\frac{f_x(x,\varphi(x) )}{f_y(x,\varphi(x) )}}\end{aligned}$
が成り立つ。
$f(x,y)$ が $C^l,l\geq1$ ならば $\varphi(x)$ も $C^l$ 級である。

( $\because$ 　まず $(x_0,y_0)$ の近傍 $\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]$ ( $\delta\gt0$ $\rho\gt0$ )の取り方について、 $\delta,\rho\gt0$ を以下が成立するように小さく取ることができる。

$\begin{aligned} \left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]&\subset\mathit{\Omega},\\ f_y(x,y)&\gt0,\ (x,y)\in \left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right],\\ f(x,y_0-\rho)&\lt0,\ (x,y)\in \left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\\ f(x,y_0+\rho)&\gt0,\ (x,y)\in \left[x_0-\delta,x_0+\delta\right] \end{aligned}$

実際、 $f_y(x_0,y_0)\gt0$ と $f_y(x,y)$ の連続性から、 $f_y(x,y)$ は $(x_0,y_0)$ の小さな近傍において正であるから、その近傍に $\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]$ ]が含まれるように $\delta,\rho\gt0$ を十分に小さく選べば

$\begin{aligned} \left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]&\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]\subset\mathit{\Omega},\\ f_y(x,y)&\gt0,\ (x,y)\in \left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right] \end{aligned}$

が成り立つ。次に $f_y(x,y)\gt0,\ (x,y)\in \left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right]$ により $y\mapsto f(x_0,y)$ は $[y_0-\rho,y_0+\rho]$ において狭義単調増加であるから、 $f(x_0,y_0)=0$ を踏まえると

$\begin{aligned} f(x,y_0-\rho)&\lt0,\\ f(x,y_0+\rho)&\gt0 \end{aligned}$

を得る。 $f(x,y)$ の連続性から、 $(x_0,y_0+\rho)$ ないし $(x_0,y_0-\rho)$ の近傍で $f(x,y)$ は正ないし負であるから、 $\delta^{\prime}\in(0,\delta]$ を小さく取れば

$\begin{aligned} f(x,y_0-\rho)&\lt0,\ (x,y)\in \left[x_0-\delta^{\prime},x_0+\delta^{\prime}\right]\\ f(x,y_0+\rho)&\gt0,\ (x,y)\in \left[x_0-\delta^{\prime},x_0+\delta^{\prime}\right] \end{aligned}$

が得られる。したがって $\delta^{\prime}$ を $\delta$ に置き換えればよい。

　次に各 $x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)$ に対して $f(x,y)=0$ を満たすような $y\in\left(y_0-\rho,y_0+\rho\right)$ が一意に存在することを示す。前段における $\delta,\rho\gt0$ の選び方から、各 $x\in\left(x_0-\delta,x_0+\delta\right)$ に対して関数 $y\mapsto f(x,y);$ $[y_0-\rho,y_0+\rho]\rightarrow\mathbb{R}$ は狭義単調増加であり、 $y=y_0+\rho$ においてこの関数は正で、 $y=y_0-\rho$ では負である。したがって中間値の定理から、 $f(x,y)=0$ を満たすような $y\in(y_0-\rho,y_0+\rho)$ が一意に存在する。

　前段で存在を示した $y$ を $y=\varphi(x)$ とするとき、 $\varphi:(x_0-\delta,x_0+\delta)\rightarrow$ $(y_0-\rho,y_0+\rho)$ は連続であることを示す。これを示すには、

$\begin{aligned} {}^{\forall}s_0\in(x_0-\delta,x_0+\delta),{}^{\forall}\varepsilon\gt0\left({}^{\exists}\eta\gt0\ \mathrm{s.t.}\ \left|x-s_0\right|\lt\eta\Rightarrow\left|\varphi(x)-\varphi(s_0)\right|\lt\varepsilon\right) \end{aligned}$

を示せばよい。 $\varepsilon\gt0$ を

$\begin{aligned} y_0-\rho\lt\varphi(s_0)-\varepsilon\lt\varphi(s_0)+\varepsilon\lt y_0+\rho \end{aligned}$

を満たすように取る。このとき $f(s_0,\varphi(s_0))=0$ により

$\begin{aligned} f(s_0,\varphi(s_0)+\varepsilon)\gt0,\ f(s_0,\varphi(s_0)-\varepsilon)\lt0 \end{aligned}$

が成り立つことに注意する。最初の議論を繰り返すことで

$\begin{aligned} \left[s_0-\eta,s_-0+\eta\right]\times\left[\varphi(s_0)-\varepsilon,\varphi(s_0)+\varepsilon\right]&\subset\left[x_0-\delta,x_0+\delta\right]\times\left[y_0-\rho,y_0+\rho\right],\\ f(x,\varphi(s_0)+\varepsilon)&\gt0,\ \ x\in\left[s_0-\eta,s_0+\eta\right],\\ f(x,\varphi(s_0)-\varepsilon)&\lt0,\ \ x\in\left[s_0-\eta,s_0+\eta\right] \end{aligned}$

を満たすような $\eta\gt0$ を選ぶことができる。したがって各 $x\in(s_0-\eta,s_0+\eta)$ に対して $f(x,y)=0$ を満たすような $y\in(\varphi(s_0)-\varepsilon,\varphi(s_0)+\varepsilon)$ が存在し、この $y$ は $\varphi(x)$ に他ならないから示すべき命題は正しく、 $\varphi(x)$ は連続である。

　更に写像 $\varphi(x):(x_0-\delta,x_0+\delta)\rightarrow(y_0-\rho,y_0+\rho)$ が $C^1$ 級であることを示す。 $s_0,s_0+h\in(x_0-\delta,x_0+\delta)$ とし、

$\begin{aligned} k(h)&=\varphi(s_0+h)-\varphi(s_0),\\ g(t)&=f(s_0+th,\varphi(s_0)+tk(h)):[0,1]\rightarrow\mathbb{R} \end{aligned}$

とおく。 $g(0)=g(1)=0$ であるから平均値の定理を用いることで

$\begin{aligned} {}^{\exists}\theta\in(0,1)\ \mathrm{s.t.}\ g^{\prime}(\theta)=0 \end{aligned}$

が成り立つ。ここで

$\begin{aligned} g^{\prime}(t)=f_x(s_0+th,\varphi(s_0)+tk(h))h+f_y(s_0+th,\varphi(s_0)tk(h))k(h) \end{aligned}$

に注意すると

$\begin{aligned} f_x(s_0+\theta h,\varphi(s_0)+\theta k(h))h+f_y(s_0+\theta h,\varphi(s_0)+\theta k(h))k(h)=0 \end{aligned}$

を得る。 $f_y(s_0,\varphi(s_0))\gt0$ であることおよび前段で示した連続性より、 $k(h)\rightarrow0(h\rightarrow0)$ が従うことに注意すれば、

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{h\rightarrow0}\frac{k(h)}{h}}=-\displaystyle{\frac{f_x(s_0,\varphi(s_0))}{f_y(s_0,\varphi(s_0))}} \end{aligned}$

が成立することが分かる。これは $\varphi(x)$ が $x=s_0$ で微分可能であり

$\begin{aligned} \varphi^{\prime}(x)=-\displaystyle{\frac{f_x(x,\varphi(x))}{f_y(x,\varphi(x))}} \end{aligned}$

が成立することを意味する。 $s_0$ は任意であり $\varphi(x)$ の連続性から上式の右辺の連続性も得られるから $\varphi^{\prime}(x)$ も連続である。したがって $\varphi(x)$ は $C^1$ 級である。

　最後に $f(x,y)$ を $C^l$ 級とすれば $\varphi(x)$ も $C^l$ 級であることを示す。まず $f(x,y)$ を $C^2$ 級だと仮定する。前段で示した命題から、 $\varphi(x)$ は $C^1$ 級であるから

$\begin{aligned} \varphi^{\prime}(x)=-\displaystyle{\frac{f_x(x,\varphi(x))}{f_y(x,\varphi(x))}} \end{aligned}$

の右辺は $C^1$ 級である。したがって $\varphi(x)$ は $C^2$ 級である。 $f(x,y)$ が $C^l,l=3,4,\cdots$ のときも同様の議論を繰り返せばよい。

　以上より、陰関数定理は示された。　 $\blacksquare$ )

今日のまとめ

11. 陰関数定理と逆写像定理

11.3 陰関数定理

11.　陰関数定理と逆写像定理

11.3　陰関数定理