統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書
を基により高等な線形代数を学ぶ。
4. 行列の因数分解と行列ノルム
4.8 行列ノルム
ベクトルの系列の極限や行列の系列の極限が興味の対象となる場合がある。各について、
の
番目の成分が
となるにしたがって
の
番目の成分に収束するならば、すなわち各
について
になるにしたがって
となるならば、ベクトル系列
は
の
番目の成分に収束する。同様に
となるにつれて
の各成分が対応する
の成分に収束するならば、
次正方行列の数列
は
次正方行列
に収束する。一方で系列の収束の概念は特定のノルムの視点から捉えることができる。そこでベクトルノルム
でこの議論を捕らえると、
となるにしたがって
となるならば、
は
に収束する。
以下の定理は、この議論においてどのノルムを選択するかが重要でないことを示している。
ノルムの収束性 任意の
これらから以下の系を得る。
ノルムの収束性(系) 任意の
他方で固定された次正方行列
に対して定義される
について、この列が零行列に収束するための十分条件が以下で与えられる。
冪行列の列の収束性 任意の
を得る。仮定から
が成り立つから、ノルム
について
が成立する。このとき上で言及した系からは行列ノルム
に関してもに収束する。これは
において各
について
であることを示している。
)
またの零行列
への収束と
のスペクトル半径の大きさの関係も以下のように示すことができる。
(
逆に
スペクトル半径と行列ノルム
が成立する。
が得られる。したがってに対して、すべての
に対して
を満たすような整数
の存在を証明すればよい。
これはに対して
あるいは同等に
を満たすような整数が存在することを示すとの同値である。ここで
である。
一方で
であるから、は、前の定理から直ちに成り立つ。
)