統計学のための線形代数（022/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

統計学のための線形代数

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4.　行列の因数分解と行列ノルム
- 4.4　正方行列の対角化
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4.　行列の因数分解と行列ノルム

4.4　正方行列の対角化

　スペクトル分解の定理を応用すると、適切に選ばれた直交行列を用いることですべての対称行列が対角行列に変換することができることが導かれる。これを一般的な正方行列に拡張することを考えたい。

行列の相似　 $m$ 次正方行列 $A,B$ は、 $A=CBC^{-1}$ を満たすような正則行列 $C$ が存在するとき、 $A,B$ は相似であるという。

固有値の基本性質から、相似な行列 $A,B$ の固有値は等しい。しかし逆、すなわち固有値の等しい行列同士が相似だとは限らない。

　既述のとおり、スペクトル分解の定理よりすべての対称行列は対角行列に変換できる。しかしこれと同じことがすべての正方行列に言えるわけではない。対角行列 $\Lambda$ の対角成分が $A$ の固有値でそれに対応する固有ベクトルが $X$ の列であるならば、 $AX=X\Lambda$ は恒等式 $X^{-1}AX=\Lambda$ を導く。これが成り立つのは $X$ が正則である場合である。これはすなわち $m$ 次正方行列の対角かは $m$ 個の固有ベクトルが存在するかに依存する。したがって以下が得られる。

$\mathrm{rank}$ が次数に等しい行列の対角化　 $m$ 次正方行列 $A$ がそれぞれ異なる固有値 $\lambda_1,\cdots,\lambda_m$ を持つと仮定する。また $\lambda_1,\cdots,\lambda_m$ それぞれに対応する固有ベクトルを $\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_m$ とおく。このとき、 $\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_m)$ および $X=(\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_m)$ として、

$\begin{aligned} X^{-1}AX=\Lambda \end{aligned}$

が成り立つ。

ただしこれは必要条件ではない。すなわち重複する固有度を持つ非対称行列には対角行列に相似なものもある。そこで行列が対角か可能であるための必要十分条件を考える。

対角化可能条件　 $h$ 個の異なる $\mu_1,\cdots,\mu_h$ を含む固有値 $\lambda_1,\cdots,\lambda_m(h\leq m)$ を満たし、それぞれの重複度 $r_1+r_2+\cdots+r_h=m$ を持つような $m$ 次正方行列について、

$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A-\mu_iI)=m-r_i,i=1,2,\cdots,h \end{aligned}$

が成り立つことは $A$ が対角化可能であることの必要十分条件である。

( $\because$ 　 $A$ が対角化可能であると仮定する。このとき $X^{-1}AX=\Lambda$ が成り立つ。ここで $\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_m)$ およびこれらの固有値に対応する固有ベクトルを $\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_m$ とすれば、 $X=(\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_m)$ である。このとき

$\begin{aligned} \mathrm{A-\mu_i I}&=\mathrm{X\Lambda X^{-1}-\mu_i I}\\ &=\mathrm{X(\Lambda-\mu_i I)X^{-1}}\\ &=\mathrm{\Lambda-\mu_i I} \end{aligned}$

が得られる。いま $\mu_i$ は重複度 $r_i$ を持つため、対角行列 $\Lambda-\mu_i I$ はちょうど $m-r_i$ 個の非零対角成分を持つ。これは $\mathrm{A-\mu_iI}=m-r_i$ と同値である。
　逆に $i=1,\cdots,h$ に対して $\mathrm{rank}(A-\mu_iI)=m-r_i$ だと仮定する。このとき行列 $A-\mu_iI$ の核の次元が $m-(m-r_i)=r_i$ であることを意味するため、

$\begin{aligned} (A-\mu_iI)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \end{aligned}$

を満たすような $r_i$ 個の線形独立なベクトル $\boldsymbol{x}$ が得られる。このような $\boldsymbol{x}$ は固有値 $\mu_i$ に対応する $A$ の固有ベクトルに他ならない。したがって固有値 $\mu_i$ に対応する $r_i$ 個の線形独立な固有ベクトルの集合が得られる。このような異なる固有値に対応する固有ベクトルは線形独立であるから、 $A$ の任意の $m$ 個の固有ベクトルの集合もまた、各 $i$ に対して $\mu_i$ に対応する $r_i$ 個の線形独立な固有ベクトルを持ち、それらは線形独立である。したがって $A$ は対角化可能である。以上で題意は示された。　 $\blacksquare$ )

より一般的な対角化可能条件　 $m$ 次正方行列 $A$ について、 $A$ が対角化可能ならば、 $A$ の階数は $A$ の零でない固有値の数に等しい。

例
　 $A,B,C$ をそれぞれ以下で与えられる $2$ 次正方行列だとする。

$\begin{aligned} A=\begin{bmatrix}1&1\\4&1\end{bmatrix},\ B=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix},\ C=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix} \end{aligned}$

　 $A$ の特性方程式は $(\lambda-1)^2-4=\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1)=0$ であるから、固有値は $\lambda=3,-1$ であり、したがって $A$ は対角化可能である。これら2つの固有値に対応する固有ベクトルは $\boldsymbol{x}_1=(1,2)^{\prime},\boldsymbol{x}_2=(1,-2)^{\prime}$ である。以上から $A$ を対角化したものは

$\begin{aligned} \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&1\\4&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&1\\2&-2\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3&0\\0&-1\end{bmatrix} \end{aligned}$

で与えられる。 $A$ の階数は $2$ で、これは $A$ の非零固有値の数と等しい。
　次に $B$ の固有方程式は $\lambda^2=0$ で重複度 $2$ の固有値 $\lambda=0$ を持つ。 $\mathrm{rank}(B-\lambda I)=\mathrm{rank}(B)=1=m-r$ であるから、 $B$ は2つの線形独立な固有ベクトルを持たない。方程式 $B\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x}$ は $\boldsymbol{x}$ に対してただ1つの線形独立な解を持つ。したがって $B$ は対角化可能ではない。また $B$ の階数は $1$ である。
　最後に $C$ の固有方程式は $(1-\lambda)^2=0$ であるから、重複度 $2$ の固有値 $\lambda=1$ を持つ。この行列は $\mathrm{rank}(C-\lambda I)=\mathrm{rank}(C-I)=1=m-r$ であるため、対角化可能ではない。しかし $C$ は対角化可能でないもののその階数は $2$ である。

階数の階数と核の次元　 $m$ 次正方行列 $A$ について、 $A$ の固有値が $0$ のときにそれに対応する固有空間の次元を $k$ とする( $A$ の固有値が $0$ でない場合、 $k=0$ とする)。このとき

$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A)=m-k \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　過去に示した定理より、

$\begin{aligned} \mathrm{rank}(A)=m-\dim(N(A)) \end{aligned}$

が成り立つ。ここで $N(A)$ は] $A$ の核である。定義から、 $A$ の核は $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ を満たすような $\boldsymbol{x}$ のことで、これは固有値 $0$ に対応する固有ベクトル全体の集合に他ならないから、題意が得られた。　 $\blacksquare$ )

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