統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書
を基により高等な線形代数を学ぶ。
4. 行列の因数分解と行列ノルム
4.8 行列ノルム
スペクトル半径もの大きさに関するある種の情報を与えるものの、それ自体は行列ノルムではない。たとえば
を考える。の固有値は
より(重複)であるから、が零行列でないにもかかわらず、である。これは行列ノルムの定義における条件を満たさない。
このようにスペクトル半径は行列ノルムにはなり得ないものの、任意の行列ノルムの下限になる。
行列ノルムとスペクトル半径 次正方行列に対する任意の行列ノルムについて、
が成り立つ。
を満たす。このときは上式に右側からを掛けることで
が得られる。以上から、行列ノルムの条件を用いることで
が得られ、両辺をで割ることで
を得る。 )
また行列ノルムとスペクトル半径には別の関係を持つ。
( をの分解とする。このときは行列である。または上三角行列で、その対角要素にはの固有値が配置されている。
任意のスカラーについて行列を定義し、上三角行列の対角成分もまたである。上三角行列の番目の列和は
で与えられるから、充分に大きなを取ることで、各について
を満たす。この場合、であるから、
でなければならない。ここでは最大列和行列ノルムである。任意の次正方行列について
でを定義する。このとき
が成り立ち、前回示した定理からこれもまた行列ノルムである。 )