統計学のための線形代数（028/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

統計学のための線形代数

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を基により高等な線形代数を学ぶ。

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4.　行列の因数分解と行列ノルム
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4.　行列の因数分解と行列ノルム

4.8　行列ノルム

スペクトル半径　 $m$ 次正方行列 $A$ の固有値を $\lambda_1,\cdots,\lambda_m$ とする。このとき

$\begin{aligned} \rho(A)=\displaystyle{\max_{1\leq i\leq m}|\lambda_i|} \end{aligned}$

を $A$ のスペクトル半径という。

　スペクトル半径 $\rho(A)$ も $A$ の大きさに関するある種の情報を与えるものの、それ自体は行列ノルムではない。たとえば

$\begin{aligned} A=\begin{bmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{bmatrix} \end{aligned}$

を考える。 $A$ の固有値は

$\begin{aligned} |A-\lambda I|=\lambda^2=0 \end{aligned}$

より $\lambda=0$ (重複)であるから、 $A$ が零行列でないにもかかわらず、 $\rho(A)=0$ である。これは行列ノルムの定義における条件 $\|A\|=0\Leftrightarrow A=O$ を満たさない。
　このようにスペクトル半径は行列ノルムにはなり得ないものの、任意の行列ノルムの下限になる。

行列ノルムとスペクトル半径　 $m$ 次正方行列 $A$ に対する任意の行列ノルム $\|A\|$ について、

$\begin{aligned} \rho(A)\leq\|A\| \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　 $A$ の固有値 $\lambda_0$ のうち、 $|\lambda_0|=\rho(A)$ を満たすようなものを $\lambda$ とおく。この固有値に対応する固有ベクトルを $\boldsymbol{x}$ とすれば、

$\begin{aligned} A\boldsymbol{x}=\lambda\boldsymbol{x} \end{aligned}$

を満たす。このとき $\boldsymbol{x}\boldsymbol{1}^{\prime}$ は上式に右側から $\boldsymbol{1}^{\prime}$ を掛けることで

$\begin{aligned} A\boldsymbol{x}\boldsymbol{1}^{\prime}=\lambda\boldsymbol{x}\boldsymbol{1}^{\prime} \end{aligned}$

が得られる。以上から、行列ノルムの条件を用いることで

$\begin{aligned} \rho(A)\|\boldsymbol{x}\boldsymbol{1}^{\prime}\|&=|\lambda|\|\boldsymbol{x}\boldsymbol{1}^{\prime}\|=\|\lambda\boldsymbol{x}\boldsymbol{1}^{\prime}\|\\ &=\|A\boldsymbol{x}\boldsymbol{1}^{\prime}\|\\ &\leq\|A\|\|\boldsymbol{x}\boldsymbol{1}^{\prime}\| \end{aligned}$

が得られ、両辺を $\|\boldsymbol{x}\boldsymbol{1}^{\prime}\|$ で割ることで

$\begin{aligned} \rho(A)\leq\|A\| \end{aligned}$

を得る。　 $\blacksquare$ )

　また行列ノルムとスペクトル半径には別の関係を持つ。

スペクトル半径に等しい行列ノルムの存在　任意の $m$ 次正方行列 $A$ と任意のスカラー $\varepsilon\gt0$ について、

$\begin{aligned} \|A\|_{A,\varepsilon}-\rho(A)\lt\varepsilon \end{aligned}$

を満たすような行列ノルム $\|A\|_{A,\varepsilon}$ が存在する。

( $\because$ 　 $A=XTX^{*}$ を $A$ の $\mathrm{Schur}$ 分解とする。このとき $X$ は $\mathrm{Unitary}$ 行列である。また $T$ は上三角行列で、その対角要素には $A$ の固有値 $\lambda_1,$ $\cdots,$ $\lambda_m$ が配置されている。
　任意のスカラー $c\gt0$ について行列 $D_c=\mathrm{diag}(c,c^2,\cdots,c^m)$ を定義し、上三角行列 $D_CTD_C^{-1}$ の対角成分もまた $\lambda_1,$ $\cdots,$ $\lambda_m$ である。上三角行列 $D_CTD_C^{-1}$ の $i$ 番目の列和は

$\begin{aligned} \lambda_i+\displaystyle{\sum_{j=1}^{i-1}c^{0(i-j)}t_{ji}} \end{aligned}$