投資理論を以下の書籍
をベースに学ぶこととする。
今回のまとめ
8. プライシング・カーネルの考え方
1期間モデルの枠組みにおいて最適ポートフォリオを構築し期末に最適な消費を行うという前提で、投資対象としての金融資産価格と最適消費はプライシング・カーネルという概念で関係づけることができる。
8.1 プライシング・カーネルとは
投資機会集合として種類のリスク資産および
種類の無リスク資産があると仮定する。またリスク資産のリターンを
としリスクフリー・レートを
とおく。
1期間モデルを前提として、時点において投資可能な資金として正の初期富
を持つ投資家の最適投資行動を考える。この投資家は期末時点
において
とその運用結果を合算した期末財
のすべてを消費する。
各資産への投資ウェイトをとすれば、このポートフォリオのリターンは、便宜上、
として
である。
この投資家の効用関数をとすれば、期末富
をすべて消費するから、期待効用最大化問題は
と定式化できる。これは典型的な線形制約下の最適問題であるから、の未定乗数法を用いることとして
として
を定義する。これをについて偏微分して
が導かれる。
ここで資産の時点
における価格を
とし、その資産が期末にもたらすキャッシュフローを配当および元本を含めて
とすれば、
であるから、
が得られる。上式は無リスク資産にも成り立つから、無リスク資産単位への投資は、
として
を導く。これを代入することでを消去して
で、さらにとおいて
を得る。この式は消費理論において方程式と呼ばれているが、資産評価の基本方程式とも呼ばれている。この
は常に正値を取り将来キャッシュフローをその現在価値に対応させる役割を担い、プライシング・カーネル(確率的割引ファクター)と呼ばれる。
プライシング・カーネルの関数形は、
プライシング・カーネル
ここまでの議論はある1人の消費者個人に関する期待効用最大化問題に対する解である。この消費者を市場価格を自ら定めるような消費者(代表的経済主体)として選択すれば、プライシング・カーネルは市場における金融資産価格を与えることになる。