長期投資の理論と実践（21/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　投資理論を以下の書籍

長期投資の理論と実践: パーソナル・ファイナンスと資産運用

作者:安達智彦,池田昌幸
東京大学出版会

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をベースに学ぶこととする。

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今回のまとめ
10.　多期間における最適消費と最適投資の意思決定
- 10.1　多期間モデルの一般的性質
  - 10.1.3　価値関数
  - 10.1.4　価値関数の定義と最適ポートフォリオ
次回

今回のまとめ

多期間の消費と投資に関わる意思決定問題では、価値関数という概念を用いて、最適な消費と貯蓄の決定および最適ポートフォリオ選択を分析する。

時点 $t$ における価値関数は、その時点における富を所与として、消費とポートフォリオを最適に決定した上で、時点 $t$ に続く将来における消費とポートフォリオをすべて最適に決定した場合に得られる、最大化された生涯効用の時点 $t$ における価値を表す。

リターンベクトル
$\begin{aligned}\tilde{\boldsymbol{r}}_{t+1}=\tilde{\boldsymbol{r}}_{t+1}\left(\tilde{\boldsymbol{X}}_{t+1}\right)=\begin{bmatrix}\tilde{r}_{f,t+1}\left(\tilde{\boldsymbol{X}}_{t+1}\right)\\\tilde{r}_{1,t+1}\left(\tilde{\boldsymbol{X}}_{t+1}\right)\\\vdots\\\tilde{r}_{n,t+1}\left(\tilde{\boldsymbol{X}}_{t+1}\right)\end{bmatrix}\end{aligned}$
の下で価値関数 $J$ を
$\begin{aligned}J\left(W_t,\boldsymbol{X}_t,\boldsymbol{t}_t,t\right)=\displaystyle{\max_{C_s,\omega_i,s}E_t\left[\sum_{s=t}^{T-1}u\left(\tilde{C}_s,s\right)+B\left(\tilde{W}_T,T\right)\right]}\end{aligned}$
で定義する。

10.　多期間における最適消費と最適投資の意思決定

　多期間における効用関数として冪型もしくはその特殊ケースとしての対数型の1期間効用関数に基づく多期間の期待効用関数を考えなければ、最適投資比率は最適消費と独立には決定できない。したがって異なる状態間および異なる時点間のリスク回避を分断した再帰的効用関数においても、両者を独立に決定することは困難であると考えられてきた。
　しかし $\mathrm{Epstein}$ - $\mathrm{Zin}$ 効用と対数正規分布に従う収益の仮定の下で、線形対数近似を用いることで多期間における最適消費と最適投資の近似解析解を求めることができるようになった。

10.1　多期間モデルの一般的性質

10.1.3　価値関数

　多期間の消費と投資に関わる意思決定問題では、価値関数*1という概念を用いて、最適な消費と貯蓄の決定および最適ポートフォリオ選択を分析する。時点 $t$ における価値関数は、その時点における富を所与として、消費とポートフォリオを最適に決定した上で、時点 $t$ に続く将来における消費とポートフォリオをすべて最適に決定した場合に得られる、最大化された生涯効用の時点 $t$ における価値を表す。
　価値関数を定義すべく、まず状態変数ベクトル $\boldsymbol{X}_t=\begin{bmatrix}X_{1,t},&\cdots,&X_{k,t}\end{bmatrix}$ を定義する。これは投資機会集合を記述し、無リスク資産を含むすべての金融資産の投資リターンの変動をもたらす経済変数等の要因をベクトル表示したものである。ここではベクトルが $k$ 個の要因から構成されると仮定している。ここでは $\boldsymbol{X}_t$ の各成分は各期の無リスク資産に変動を与え、リスク資産の期待リターンと分散のみならず、リスク資産投資リターンの確率分布自体に影響を及ぼし得ると想定している。ここでは $\boldsymbol{X}_t$ はその時点の情報集合に含まれる実数のベクトルではあるが、これらの実現値がすべて観測可能であると仮定する。

　価値関数を定義するとき、状態変数ベクトルの各成分は $\mathrm{Markov}$ 過程であると仮定する。すなわち時点 $t$ における情報の下での $\tilde{\boldsymbol{X}}_{t+1}$ の条件分布が、時点 $t$ における実現値 $\boldsymbol{X}_t$ のみの条件付き確率分布となるような確率過程であり、それより前の実現値の情報は影響しない。
　次に投資対象となる資産の投資リターンについて、まず多期間モデルにおける投資家は、第 $t$ 期期初の時点 $t$ にどの世の中の状態が実現したかを確認した上で、ポートフォリオを構築すると考える。このとき投資可能な $n$ 銘柄ののリスク資産の投資リターン $\tilde{r}_{t,t+1},i\in\{1,\cdots,n\}$ は1時点将来である時点 $t+1$ において実現する世の中の状態に応じてその実現値が定まると考えるため、確率変数となる。

　一方で、第 $t$ 期中のリスクフリーレート $r_{f,t}$ は、時点 $t$ において実現した世の中の状態に応じて定まっており、時点 $t+1$ においても確定値 $r_{f,t}$ である。したがって多期間モデルでは区間 $(t,t+1]$ では確定値である一方で、 $t+1$ 期になるとその期初時点 $t+1$ の直後には新しい1期間リスクフリーレートが区間 $(t+1,t+2]$ について定まるため、第 $t$ 期においては次期のリスクフリーレートは確率変数 $\tilde{r}_{f,t}$ として認識される。したがって第 $t$ 期期初において利用可能な金融資産は、時点 $t+1$ に投資リターンが実現する $n$ 銘柄のリスク資産と、第 $t$ 期間中は確定値で与えられる無リスク資産を合わせて $n+1$ 種類存在することになる。そこで

$\begin{aligned} \tilde{\boldsymbol{r}}_{t+1}=\begin{bmatrix}\tilde{r}_{f,t+1}\\\tilde{r}_{1,t+1}\\\vdots\\\tilde{r}_{n,t+1}\end{bmatrix} \end{aligned}$

を導入する。多期間ではすべての資産の投資リターンが状態変数に依存して変動するから、 $\mathrm{Markov}$ 性の仮定から、

$\begin{aligned} \tilde{\boldsymbol{r}}_{t+1}=\tilde{\boldsymbol{r}}_{t+1}\left(\tilde{\boldsymbol{X}}_{t+1}\right)=\begin{bmatrix}\tilde{r}_{f,t+1}\left(\tilde{\boldsymbol{X}}_{t+1}\right)\\\tilde{r}_{1,t+1}\left(\tilde{\boldsymbol{X}}_{t+1}\right)\\\vdots\\\tilde{r}_{n,t+1}\left(\tilde{\boldsymbol{X}}_{t+1}\right)\end{bmatrix} \end{aligned}$

と表現できるこのリターンベクトルは、 $\boldsymbol{r}_{t}=\boldsymbol{r}_{t}\left(\boldsymbol{X}_{t}\right)$ のみに依存する。

10.1.4　価値関数の定義と最適ポートフォリオ

　以上の仮定をおくと、価値関数を定めるパラメータは時点 $t$ における状態変数ベクトル $\boldsymbol{X}_t$ と無リスク資産およびリスク資産の投資リターン実現値 $\boldsymbol{r}_t$ 、更には富の水準 $W_t$ に時点 $t$ であり、価値関数 $J$ は

$\begin{aligned} J\left(W_t,\boldsymbol{X}_t,\boldsymbol{r}_t,t\right)=\displaystyle{\max_{C_s,\omega_i,s}E_t\left[\sum_{s=t}^{T-1}u\left(\tilde{C}_s,s\right)+B\left(\tilde{W}_T,T\right)\right]} \end{aligned}$

で定義される。ここで演算子 $E_t\left[\cdot\right]$ は時点 $t$ における情報の下での条件付き期待値を表す。最大化における変数 $C_s,\omega_i,s$ は選択変数である。
　この問題を考えるに当たっては、時点 $T-1$ における最適な消費と最適ポートフォリオの決定方法から考えることにする。なぜならば、消費者が翌時点で死去するため、1期間モデルとして議論できるからである。