証券投資論（20/21） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　証券投資（現代ポートフォリオ理論）をコンパクトに学ぶべく、比較的最近に発刊され薄めの本である

証券投資理論 (Minervaファイナンス講座)

作者:八木恭子,澤木勝茂
ミネルヴァ書房

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を参考に学んでいく。

8.　オプション評価理論
- 8.5　転換社債
  - 8.5.1　価格の分解
  - 8.5.2　離散時間モデル

前回：

https://power-of-awareness.com/entry/2022/05/11/050000power-of-awareness.com

8.　オプション評価理論

　企業が資金調達のために発行するオプションや展開社債などの金融派生商品に対する評価方法を概説する。

8.5　転換社債

　転換社債(convertible bond)は、予め決められた期間内に予め定められた価格で発行企業の株式に転換する権利が付与された社債である。そのため株価が上昇した場合には株式に転換して売却することで利益が得られるのに加え、株価が下落した際には社債のまま保有してクーポンと償還額面価額を受け取ることができる社債である。
　この転換社債は普通社債にオプションを組み込んだ仕組債（エキゾティック・オプション）と見なすことができる。
　転換社債が株式へ転換される際、株式に希薄化が起こる。それを考慮するために本節ではリスク中立確率測度の下で、企業価値が幾何 $\mathrm{Brown}$ 運動

$\begin{aligned} dX_t=(r-\delta)X_t dt+\sigma X_t d\tilde{Z}(t) \end{aligned}$

に従うと仮定する。ここで $\delta,\sigma$ はそれぞれ企業価値に対する連続的な配当率およびボラティリティである。
　時刻 $t$ での企業価値が $X_t$ の転換社債の層価値を $V_{\mathrm{cb}}(X_t,t)$ とする。その企業価値は転換社債と株式 $S_t$ との和からなるとする。すなわち

$\begin{aligned} X_t=V_{\mathrm{cb}}(X_t,t)+S_t \end{aligned}$

である。転換社債は満期 $T$ を持ち、 $T$ における額面総額を $F$ とする。時刻 $t$ で投資家が転換したときの価値は $z X_t$ である。ここで $z\in(0,1)$ は転換の際に受け取る企業価値に対する転換率である（これが希薄化をもたらす因子である。）。企業の償還価格を $F$ とするとき、満期前の時刻 $t\lt T$ で企業が償還したとき、企業は投資家に $\max\{zX_t,F\}$ を支払う。
　そのとき時刻 $t$ での償還条項付転換社債の価格は

$\begin{aligned} V_{\mathrm{cb}}(x,t)=\displaystyle{\inf_{\tau_f\in\mathcal{T}_{t,T}}\sup_{\tau_i\in\mathcal{T}_{t,T}}J_{\mathrm{cb}}^{t,x}(\tau_f,\tau_i)}=\displaystyle{\sup_{\tau_i\in\mathcal{T}_{t,T}}\inf_{\tau_f\in\mathcal{T}_{t,T}}J_{\mathrm{cb}}^{t,x}(\tau_f,\tau_i)} \end{aligned}$

で与えられる。ここで

$\begin{aligned} J_{\mathrm{cb}}^{t,x}(\tau_f,\tau_i)=&E_{t}^{x}\left[e^{-r(\tau_f-t)}\max\{zX_{\tau_f},F\}\boldsymbol{1}_{\tau_f\lt \tau_i\lt T}\right.\\ &\left.+e^{-r(\tau_i-t)}zX_{\tau_i}\boldsymbol{1}_{\tau_i\lt \tau_f\lt T}+e^{-r(T-t)}\min\{zX_{T},F\}\boldsymbol{1}_{\tau_f=\tau_i=T}\right] \end{aligned}$

である。また転換社債の最適償還時刻および最適転換時刻

$\begin{aligned} \tau_{f,t}^{\mathrm{cb}}&=\displaystyle{\inf\left\{\tau_f\in[t,T)|V_{\mathrm{cb}}(X_{\tau_f},\tau_f)=\max\{zX_{\tau_f},F\}\right\}\land T},\\ \tau_{i,t}^{\mathrm{cb}}&=\displaystyle{\inf\left\{\tau_i\in[t,T)|V_{\mathrm{cb}}(X_{\tau_i},\tau_i)=zX_{\tau_i},F\}\right\}\land T} \end{aligned}$

はそれぞれ転換社債の価値と償還もしくは転換したときの価値が等しくなる最小到達時刻で与えられる。

8.5.1　価格の分解

　比較のため、まずは償還条項の無い転換社債価格を考える。
　償還条項の無い転換社債価格を $\bar{V}_{\mathrm{cb}}(x,t)$ とするとき

$\begin{aligned} \bar{V}_{\mathrm{cb}}(x,t)=B(x,t)+V_{\mathrm{ec}}(zx,t;B(x,t) )+\bar{p}_{\mathrm{cb}}(x,t) \end{aligned}$

で分解される。ここで $B(x,t)$ は条件が対応する普通社債の価格、 $V_{\mathrm{ec}}(zx,t;B(x,t) )$ は行使対象が $z$ 単位の企業価値で権利行使価格が社債 $B(x,t)$ のヨーロピアン・コール・オプションの価格で、 $\bar{p}_{\mathrm{cb}}(x,t)$ は早期転換プレミアム

$\begin{aligned} \bar{p}_{\mathrm{cb}}(x,t)=E_{t}^{x}\left[\displaystyle{\int_{t}^{T}e^{-r(u-t)}\delta X_u\boldsymbol{1}_{\{X_u\geq\bar{x}_{u}^{\mathrm{cb}}\}}du}\right] \end{aligned}$

であり、 $\{\bar{x}_{t}^{\mathrm{cb}};0\leq t\lt T\}$ は企業価値に対する投資家の最適転換境界である。連続的な配当率 $\delta=0$ ならば早期転換プレミアムは $\bar{p}_{\mathrm{cb}}(x,t)=0$ である。
　同様に償還条項付転換社債の価格は

$\begin{aligned} V_{\mathrm{cb}}(x,t)=B(x,t)+V_{\mathrm{ec}}(zx,t;B(x,t) )+p_{\mathrm{cb}}(x,t)-d_{\mathrm{cd}}(x,t) \end{aligned}$

へ分解できる。ここで $p_{\mathrm{cb}}(x,t)\geq0,d_{\mathrm{cd}}(x,t)\geq0$ はそれぞれ早期転換プレミアムおよび早期償還割引額

$\begin{aligned} p_{\mathrm{cb}}(x,t)&=E_{t}^{x}\left[\displaystyle{\int_{t}^{T}e^{-r(u-t)}\delta X_u\boldsymbol{1}_{\{X_u\geq x_{u}^{\mathrm{cb}}\}} }du\right],\\ d_{\mathrm{cd}}(x,t)&=E_{t}^{x}\left[\displaystyle{\int_{t}^{T}e^{-r(u-t)}}\left(\displaystyle{\frac{\partial V_{\mathrm{cb}}}{\partial s}}(x_{u}^{\mathrm{cb}}+,u)- \displaystyle{\frac{\partial V_{\mathrm{cb}}}{\partial s}}(x_{u}^{\mathrm{cb}}-,u) \right)dL_{u}^{x}(x_{u}^{\mathrm{cb}})\right] \end{aligned}$

であり、 $\{x_{t}^{\mathrm{cb}};0\leq t\lt T\}$ は企業価値に対する投資家の最適な転換境界 $\{x_{u}^{\mathrm{cb},i};0\leq t\lt T\}$ および企業の最適な償還境界 $\{x_{u}^{\mathrm{cb},f};0\leq t\lt T\}$ との各時刻 $t$ における最小値 $x_{t}^{\mathrm{cb}}=\min\{x_{t}^{\mathrm{cb},i},x_{t}^{\mathrm{cb},f}\}$ である。

8.5.2　離散時間モデル

　離散時間 $k$ における償還条項付転換社債の価格 $V_{\mathrm{cb}}^{N}(k)$ は

$\begin{aligned} V_{\mathrm{cb}}^{N}(k)=\displaystyle{\inf_{\tau_{f}\in\mathcal{T}_{k,N}^{N}}\sup_{\tau_{i}\in\mathcal{T}_{k,N}^{N}}J_{\mathrm{cb}}^{k}(\tau_f,\tau_i)}=\displaystyle{\sup_{\tau_{i}\in\mathcal{T}_{k,N}^{N}}\inf_{\tau_{f}\in\mathcal{T}_{k,N}^{N}}J_{\mathrm{cb}}^{k}(\tau_f,\tau_i)} \end{aligned}$

で与えられる。ここで

$\begin{aligned} J_{\mathrm{cb}}^{k}(\tau_f,\tau_i)=E_{k}\left[\right.&e^{-r(\tau_f-k)}\max\{zX_{\tau_f},F\}\boldsymbol{1}_{\tau_f\lt \tau_i\lt N}\\&+ e^{-r(\tau_i-k)}zX_{\tau_i}\boldsymbol{1}_{\tau_i\lt \tau_f\lt N}\\&+ \left.e^{-r(N-k)}\min\{X_N,\max\{zX_N,F\}\}\boldsymbol{1}_{\tau_f=\tau_i=N}\right] \end{aligned}$

である。動的計画法の最適性原理より、 $V_{\mathrm{cb}}^{N}(k)$ は $k=N$ のとき

$\begin{aligned} V_{\mathrm{cb}}^{N}(N)=\displaystyle{\min\{X_N,\max\{zX_N,F\}\}} \end{aligned}$

であり、 $k=N-1,N-2,\cdots,1,0$ のとき

$\begin{aligned} V_{\mathrm{cb}}^{N}(k)=\displaystyle{\max\left\{zX_k,\min\left\{F,E_{k}\left[e^{-r\Delta t}V_{\mathrm{cb}}^{N}(k+1)\right]\right\}\right\}} \end{aligned}$