やりなおしの数学・微分積分篇（39/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
8.　多変数関数の積分
- 8.10　ガンマ関数
  - 8.10.2　ガンマ関数およびベータ関数の性質
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今日のまとめ

積分
$\begin{aligned}\Gamma(s)=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx},x\gt0\end{aligned}$
をガンマ関数という。また積分
$\begin{aligned}B(p,q)=\displaystyle{\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}}dx,p.q\gt0\end{aligned}$
をベータ関数という。

8.　多変数関数の積分

8.10　ガンマ関数

　積分

$\begin{aligned} \Gamma(s)=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx},x\gt0 \end{aligned}$

をガンマ関数という。また積分

$\begin{aligned} B(p,q)=\displaystyle{\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}}dx,p.q\gt0 \end{aligned}$

をベータ関数という。
　ガンマ関数において $x=t^2$ とおくと $dx=2tdt$ で $x:0\rightarrow$ のとき $t:0\rightarrow\infty$ であるから、変換後に $t$ をさらに $x$ と書き換えることで

$\begin{aligned} \Gamma(s)=2\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}x^{2s-1}}dx \end{aligned}$

を得る。
　ベータ関数 $B(p,q)$ において $x=\cos^2\theta$ とおけば $dx=-2\cos\theta\sin\theta d\theta$ であり $x:0\rightarrow1$ のとき $\theta:\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\rightarrow0$ であるから

$\begin{aligned} B(p,q)&=\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}{\cos\theta}^{2(p-1)}(1-\cos^2\theta)^{q-1}}(-2\cos\theta\sin\theta d\theta)\\ &=2\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos\theta}^{2p-1}{\sin\theta}^{2q-1}} d\theta \end{aligned}$

である。

8.10.2　ガンマ関数およびベータ関数の性質

　以降、ガンマ関数の計算結果を導く。
　まず

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^p\theta\sin^q\theta d\theta}&=\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2\cdot\frac{p+1}{2}-1}\theta\sin^{2\cdot\frac{q+1}{2}-1}\theta d\theta}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{2}B\left(\frac{p+1}{2},\frac{q+1}{2}\right)}\\ &=\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{p+1}{2}}\right)\Gamma\left(\displaystyle{\frac{q+1}{2}}\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{p+q}{2}}+1\right)}} \end{aligned}$

である。
　次に

$\begin{aligned} \Gamma(s)=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{n}x^{s-1}\left(1-\displaystyle{\frac{x}{n}}\right)^n}dx \end{aligned}$

が成り立つ。実際 $x\gt0$ に対して

$\begin{aligned} \varphi_n(x)=\begin{cases} \left(1-\displaystyle{\frac{x}{n}}\right)^n,&0\leq x\leq n,\\ 0,&x\gt n \end{cases} \end{aligned}$

とおくと $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_n(x)}=e^{-x}$ である。また関数列 $\{\varphi_n(x)\}_{n=1,2,\cdots}$ は単調増加列である。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{n}x^{s-1}\left(1-\displaystyle{\frac{x}{n}}\right)^n}dx&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{n}x^{s-1}\varphi_n(x)}dx\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{n}\lim_{n\rightarrow\infty}x^{s-1}\varphi_n(x)}dx\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{}-x}dx \end{aligned}$

を得る。
　さらにGaussの公式

$\begin{aligned} \Gamma(s)=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^s n!}{s(s+1)\cdots(s+n)}} \end{aligned}$

が成り立つ。実際、直前の積分において $x=nt$ とおくと $dx=n dt$

$\begin{aligned} \Gamma(s)&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{n}(nt)^{s-1}\left(1-\displaystyle{\frac{nt}{n}}\right)^n}n dt\\ &=n^{s}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{n}t^{s-1}\left(1-t\right)^n}dt\\ &=n^{s}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}B(s,n+1)}\\ &=n^{s}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\Gamma(s)\Gamma(n+1)}{\Gamma(s+n+1)}}\\ &=n^{s}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\Gamma(s)n!}{(n+s)(n+s-1)\cdots s\Gamma(s)}}\\ &=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{s}n!}{s(s+1)\cdots(s+n)}} \end{aligned}$

である。
　次にWeierstraussの無限乗数表示

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{1}{\Gamma(s)}}=e^{\gamma s}s\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\displaystyle{\frac{s}{n}}\right)}e^{-\frac{s}{n}} \end{aligned}$

が成り立つ。ここで

$\begin{aligned} \gamma:=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\log n\right)} \end{aligned}$

で定義され $\mathrm{Euler}$ の定数と呼ばれる。
　実際 $\mathrm{Gauss}$ の公式から

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{1}{\Gamma(s)}}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{s(s+1)\cdots(s+n)}{n^s n!}} \end{aligned}$

を得る。このとき

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{s(s+1)\cdots(s+n)}{n^s n!}}&=e^{-s\log n}s\left(1+\displaystyle{\frac{s}{1}}\right)\left(1+\displaystyle{\frac{s}{2}}\right)\cdots\left(1+\displaystyle{\frac{s}{n}}\right)\\ &=\exp\left\{s\left(1+\displaystyle{\frac{1}{2}}+\cdots+\displaystyle{\frac{1}{n}}-\log n\right)\right\}s\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}\left(1+\displaystyle{\frac{s}{k}}\right)e^{-\frac{s}{k}}} \end{aligned}$