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やりなおしの数学・微分積分篇(038/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 積分
    \begin{aligned}\Gamma(s)=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx},x\gt0\end{aligned}
    をガンマ関数という。また積分
    \begin{aligned}B(p,q)=\displaystyle{\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}}dx,p.q\gt0\end{aligned}
    をベータ関数という。

8. 多変数関数の積分

 

8.10 ガンマ関数

 積分


\begin{aligned}
\Gamma(s)=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx},x\gt0
\end{aligned}

ガンマ関数という。また積分


\begin{aligned}
B(p,q)=\displaystyle{\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}}dx,p.q\gt0
\end{aligned}

ベータ関数という。
 ガンマ関数においてx=t^2とおくとdx=2tdtx:0\rightarrowのときt:0\rightarrow\inftyであるから、変換後にtをさらにxと書き換えることで


\begin{aligned}
\Gamma(s)=2\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}x^{2s-1}}dx
\end{aligned}

を得る。
 ベータ関数B(p,q)においてx=\cos^2\thetaとおけばdx=-2\cos\theta\sin\theta d\thetaでありx:0\rightarrow1のとき\theta:\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\rightarrow0であるから


\begin{aligned}
B(p,q)&=\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}{\cos\theta}^{2(p-1)}(1-\cos^2\theta)^{q-1}}(-2\cos\theta\sin\theta d\theta)\\
&=2\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos\theta}^{2p-1}{\sin\theta}^{2q-1}} d\theta
\end{aligned}

である。

8.10.2 ガンマ関数およびベータ関数の性質

 以降、ガンマ関数の計算結果を導く。
 まず


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^p\theta\sin^q\theta d\theta}&=\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2\cdot\frac{p+1}{2}-1}\theta\sin^{2\cdot\frac{q+1}{2}-1}\theta d\theta}\\
&=\displaystyle{\frac{1}{2}B\left(\frac{p+1}{2},\frac{q+1}{2}\right)}\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{p+1}{2}}\right)\Gamma\left(\displaystyle{\frac{q+1}{2}}\right)}{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{p+q}{2}}+1\right)}}
\end{aligned}

である。
 次に


\begin{aligned}
\Gamma(s)=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{n}x^{s-1}\left(1-\displaystyle{\frac{x}{n}}\right)^n}dx
\end{aligned}

が成り立つ。実際x\gt0に対して


\begin{aligned}
\varphi_n(x)=\begin{cases}
\left(1-\displaystyle{\frac{x}{n}}\right)^n,&0\leq x\leq n,\\
0,&x\gt n
\end{cases}
\end{aligned}

とおくと\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\varphi_n(x)}=e^{-x}である。また関数列\{\varphi_n(x)\}_{n=1,2,\cdots}は単調増加列である。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{n}x^{s-1}\left(1-\displaystyle{\frac{x}{n}}\right)^n}dx&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{n}x^{s-1}\varphi_n(x)}dx\\
&=\displaystyle{\int_{0}^{n}\lim_{n\rightarrow\infty}x^{s-1}\varphi_n(x)}dx\\
&=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x^{s-1}e^{}-x}dx
\end{aligned}

を得る。
 さらにGaussの公式


\begin{aligned}
\Gamma(s)=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^s n!}{s(s+1)\cdots(s+n)}}
\end{aligned}

が成り立つ。実際、直前の積分においてx=ntとおくとdx=n dt


\begin{aligned}
\Gamma(s)&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{n}(nt)^{s-1}\left(1-\displaystyle{\frac{nt}{n}}\right)^n}n dt\\
&=n^{s}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\int_0^{n}t^{s-1}\left(1-t\right)^n}dt\\
&=n^{s}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}B(s,n+1)}\\
&=n^{s}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\Gamma(s)\Gamma(n+1)}{\Gamma(s+n+1)}}\\
&=n^{s}\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\Gamma(s)n!}{(n+s)(n+s-1)\cdots s\Gamma(s)}}\\
&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^{s}n!}{s(s+1)\cdots(s+n)}}
\end{aligned}

である。
 次にWeierstraussの無限乗数表示


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{1}{\Gamma(s)}}=e^{\gamma s}s\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+\displaystyle{\frac{s}{n}}\right)}e^{-\frac{s}{n}}
\end{aligned}

が成り立つ。ここで


\begin{aligned}
\gamma:=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\log n\right)}
\end{aligned}

で定義され\mathrm{Euler}の定数と呼ばれる。
 実際\mathrm{Gauss}の公式から


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{1}{\Gamma(s)}}=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{s(s+1)\cdots(s+n)}{n^s n!}}
\end{aligned}

を得る。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{s(s+1)\cdots(s+n)}{n^s n!}}&=e^{-s\log n}s\left(1+\displaystyle{\frac{s}{1}}\right)\left(1+\displaystyle{\frac{s}{2}}\right)\cdots\left(1+\displaystyle{\frac{s}{n}}\right)\\
&=\exp\left\{s\left(1+\displaystyle{\frac{1}{2}}+\cdots+\displaystyle{\frac{1}{n}}-\log n\right)\right\}s\displaystyle{\prod_{k=1}^{n}\left(1+\displaystyle{\frac{s}{k}}\right)e^{-\frac{s}{k}}}
\end{aligned}

であるから、n\rightarrow\inftyとして示すべき式を得た。

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