やりなおしの数学・微分積分篇（38/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

理工系のための微分積分〈2〉

作者:武, 鈴木,良弘, 柴田,和永, 田中,義雄, 山田
内田老鶴圃

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今日のまとめ
8.　多変数関数の積分
- 8.10　ガンマ関数
  - 8.10.1　ガンマ関数およびベータ関数の基本的性質
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今日のまとめ

積分
$\begin{aligned}\Gamma(s)=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx},x\gt0\end{aligned}$
をガンマ関数という。また積分
$\begin{aligned}B(p,q)=\displaystyle{\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}}dx,p.q\gt0\end{aligned}$
をベータ関数という。

8.　多変数関数の積分

8.10　ガンマ関数

　積分

$\begin{aligned} \Gamma(s)=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx},x\gt0 \end{aligned}$

をガンマ関数という。また積分

$\begin{aligned} B(p,q)=\displaystyle{\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}}dx,p.q\gt0 \end{aligned}$

をベータ関数という。

8.10.1　ガンマ関数およびベータ関数の基本的性質

ガンマ関数およびベータ関数の基本的性質　ガンマ関数およびベータ関数

$\begin{aligned} \Gamma(s)&=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx},x\gt0,\\ B(p,q)&=\displaystyle{\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}}dx,p.q\gt0 \end{aligned}$

について以下が成り立つ：

$\Gamma(1)=1$

$\Gamma(s+1)=s\Gamma(s),s\gt0$

$\Gamma(n)=(n-1)!\ n\in\mathbb{N}$

$B(p,q)=\displaystyle{\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}}$

$\Gamma\left(\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)=\sqrt{\pi}$

( $\because$ 　1つ目および2つ目は定義に則り計算することで

$\begin{aligned} \Gamma(1)=&\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x}}dx=\displaystyle{\lim_{\varepsilon\rightarrow\infty}\left[-e^{-x}\right]_0^{\varepsilon}}=1,\\ \Gamma(s+1)=&\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\left(-e^{-x}\right)^{\prime}x^{s}}dx=\left[-e^{-x}x^{s}\right]_{0}^{\infty}+s\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\left(-e^{-x}\right)^{\prime}x^{s-1}}dx\\=&s\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\left(-e^{-x}\right)^{\prime}x^{s-1}}dx=s\Gamma(s). \end{aligned}$

である。3つ目は2つ目の性質を逐次的に適用し、最後に1つ目の性質より

$\begin{aligned} \Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots=(n-1)!\Gamma(1)=(n-1)! \end{aligned}$

である。4つ目の性質は、 $x=s^2$ とおくと $dx=2sds$ で $x:0\rightarrow$ のとき $s:0\rightarrow\infty$ であるから

$\begin{aligned} \Gamma(p)\Gamma(q)&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}4\int_{0}^{n}e^{-s^2}s^{2p-1}ds\int_{0}^{n}e^{-t^2}t^{2q-1}dt}\\ &=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\iint_{L_n}e^{-(s^2+t^2)}s^{2p-1}t^{2q-1}dsdt} \end{aligned}$

を得る。ここで $L_n=\{(s,t)|0\leq s\leq n,0\leq t\leq n\}$ とおいた。
　いま $K_n=\{(s^2+t^2\leq n^2|x,y\geq0)\}$ とおくと、 $\{K_n\}_{n=1,2,\cdots},\{L_n\}_{n=1,2,\cdots}$ がいずれも第一象限の近似列であるから

$\begin{aligned} \Gamma(p)\Gamma(q)&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\iint_{L_n}e^{-(s^2+t^2)}s^{2p-1}t^{2q-1}dsdt}\\ &=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\iint_{K_n}e^{-(s^2+t^2)}s^{2p-1}t^{2q-1}dsdt} \end{aligned}$

である。ここで $s=r\cos\theta,t=r\sin\theta,0\lt r\leq n,\theta\in[0,\displaystyle{\frac{\pi}{2}})$ とおけばそのヤコビアンは

$\begin{aligned} \left|\displaystyle{\frac{\partial (s,t)}{\partial (r,\theta)}}\right|&=\begin{vmatrix}\displaystyle{\frac{\partial s}{\partial r}}&\displaystyle{\frac{\partial s}{\partial \theta}}\\\displaystyle{\frac{\partial t}{\partial r}}&\displaystyle{\frac{\partial t}{\partial \theta}}\end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{vmatrix}\\ &=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r \end{aligned}$

であるから、 $dsdt=rdrd\theta$ を得る。したがって

$\begin{aligned} \Gamma(p)\Gamma(q)&=\displaystyle{4\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{n}re^{-r^2}(r\cos\theta)^{2p-1}(r\sin\theta)^{2q-1}drd\theta}\\ &=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{n}r^{2(p+q)-1}e^{-r^2}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta drd\theta}\\ &=\displaystyle{\left(2\int_{0}^{\infty}r^{2(p+q)-1}e^{-r^2}dr\right)\left(2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta d\theta\right)} \end{aligned}$

を得る。ここでベータ関数 $B(p,q)$ において $x=\cos^2\theta$ とおけば $dx=-2\cos\theta\sin\theta d\theta$ であり $x:0\rightarrow1$ のとき $\theta:\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\rightarrow0$ であるから

$\begin{aligned} B(p,q)&=\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}{\cos\theta}^{2(p-1)}(1-\cos^2\theta)^{q-1}}(-2\cos\theta\sin\theta d\theta)\\ &=2\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos\theta}^{2p-1}{\sin\theta}^{2q-1}} d\theta \end{aligned}$

であるから、 $\Gamma(p)\Gamma(q)$ は別のガンマ関数とベータ関数の積、すなわち

$\begin{aligned} &\Gamma(p)\Gamma(q)=\Gamma(p+q)B(p,q)\\ \Leftrightarrow\ \ &B(p,q)=\displaystyle{\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}} \end{aligned}$

を得る。
　最後は、4つ目の性質において $p=q=\displaystyle{\frac{1}{2}}$ とおけば

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)^2}{\Gamma(1)}}&=B\left(\displaystyle{\frac{1}{2}},\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)\\ &=2\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}d\theta\\ &=\pi \end{aligned}$