8. 多変数関数の積分
8.10 ガンマ関数
をガンマ関数という。また積分
をベータ関数という。
8.10.1 ガンマ関数およびベータ関数の基本的性質
ガンマ関数およびベータ関数の基本的性質 ガンマ関数およびベータ関数
について以下が成り立つ:
である。3つ目は2つ目の性質を逐次的に適用し、最後に1つ目の性質より
である。4つ目の性質は、とおくと
で
のとき
であるから
を得る。ここでとおいた。
いまとおくと、
がいずれも第一象限の近似列であるから
である。ここでとおけばそのヤコビアンは
であるから、を得る。したがって
を得る。ここでベータ関数において
とおけば
であり
のとき
であるから
であるから、は別のガンマ関数とベータ関数の積、すなわち
を得る。
最後は、4つ目の性質においてとおけば