「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。

MENU

やりなおしの数学・微分積分篇(037/X)

 以下の書籍を参考に、改めて微分積分を復習していく。

今日のまとめ

  • 積分
    \begin{aligned}\Gamma(s)=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx},x\gt0\end{aligned}
    をガンマ関数という。また積分
    \begin{aligned}B(p,q)=\displaystyle{\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}}dx,p.q\gt0\end{aligned}
    をベータ関数という。

8. 多変数関数の積分

 

8.10 ガンマ関数

 積分


\begin{aligned}
\Gamma(s)=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx},x\gt0
\end{aligned}

ガンマ関数という。また積分


\begin{aligned}
B(p,q)=\displaystyle{\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}}dx,p.q\gt0
\end{aligned}

ベータ関数という。

8.10.1 ガンマ関数およびベータ関数の基本的性質


ガンマ関数およびベータ関数の基本的性質 ガンマ関数およびベータ関数

\begin{aligned}
\Gamma(s)&=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{s-1}dx},x\gt0,\\
B(p,q)&=\displaystyle{\int_0^1 x^{p-1}(1-x)^{q-1}}dx,p.q\gt0
\end{aligned}

について以下が成り立つ:

  • \Gamma(1)=1
  • \Gamma(s+1)=s\Gamma(s),s\gt0
  • \Gamma(n)=(n-1)!\ n\in\mathbb{N}
  • B(p,q)=\displaystyle{\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}}
  • \Gamma\left(\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)=\sqrt{\pi}

(\because 1つ目および2つ目は定義に則り計算することで

\begin{aligned}
\Gamma(1)=&\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x}}dx=\displaystyle{\lim_{\varepsilon\rightarrow\infty}\left[-e^{-x}\right]_0^{\varepsilon}}=1,\\
\Gamma(s+1)=&\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\left(-e^{-x}\right)^{\prime}x^{s}}dx=\left[-e^{-x}x^{s}\right]_{0}^{\infty}+s\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\left(-e^{-x}\right)^{\prime}x^{s-1}}dx\\=&s\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\left(-e^{-x}\right)^{\prime}x^{s-1}}dx=s\Gamma(s).
\end{aligned}

である。3つ目は2つ目の性質を逐次的に適用し、最後に1つ目の性質より


\begin{aligned}
\Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots=(n-1)!\Gamma(1)=(n-1)!
\end{aligned}

である。4つ目の性質は、x=s^2とおくとdx=2sdsx:0\rightarrowのときs:0\rightarrow\inftyであるから


\begin{aligned}
\Gamma(p)\Gamma(q)&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}4\int_{0}^{n}e^{-s^2}s^{2p-1}ds\int_{0}^{n}e^{-t^2}t^{2q-1}dt}\\
&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\iint_{L_n}e^{-(s^2+t^2)}s^{2p-1}t^{2q-1}dsdt}
\end{aligned}

を得る。ここでL_n=\{(s,t)|0\leq s\leq n,0\leq t\leq n\}とおいた。
 いまK_n=\{(s^2+t^2\leq n^2|x,y\geq0)\}とおくと、\{K_n\}_{n=1,2,\cdots},\{L_n\}_{n=1,2,\cdots}がいずれも第一象限の近似列であるから


\begin{aligned}
\Gamma(p)\Gamma(q)&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\iint_{L_n}e^{-(s^2+t^2)}s^{2p-1}t^{2q-1}dsdt}\\
&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\iint_{K_n}e^{-(s^2+t^2)}s^{2p-1}t^{2q-1}dsdt}
\end{aligned}

である。ここでs=r\cos\theta,t=r\sin\theta,0\lt r\leq n,\theta\in[0,\displaystyle{\frac{\pi}{2}})とおけばそのヤコビアン


\begin{aligned}
\left|\displaystyle{\frac{\partial (s,t)}{\partial (r,\theta)}}\right|&=\begin{vmatrix}\displaystyle{\frac{\partial s}{\partial r}}&\displaystyle{\frac{\partial s}{\partial \theta}}\\\displaystyle{\frac{\partial t}{\partial r}}&\displaystyle{\frac{\partial t}{\partial \theta}}\end{vmatrix}\\
&=\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{vmatrix}\\
&=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r
\end{aligned}

であるから、dsdt=rdrd\thetaを得る。したがって


\begin{aligned}
\Gamma(p)\Gamma(q)&=\displaystyle{4\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{n}re^{-r^2}(r\cos\theta)^{2p-1}(r\sin\theta)^{2q-1}drd\theta}\\
&=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{n}r^{2(p+q)-1}e^{-r^2}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta drd\theta}\\
&=\displaystyle{\left(2\int_{0}^{\infty}r^{2(p+q)-1}e^{-r^2}dr\right)\left(2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta d\theta\right)}
\end{aligned}

を得る。ここでベータ関数B(p,q)においてx=\cos^2\thetaとおけばdx=-2\cos\theta\sin\theta d\thetaでありx:0\rightarrow1のとき\theta:\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\rightarrow0であるから


\begin{aligned}
B(p,q)&=\displaystyle{\int_{\frac{\pi}{2}}^{0}{\cos\theta}^{2(p-1)}(1-\cos^2\theta)^{q-1}}(-2\cos\theta\sin\theta d\theta)\\
&=2\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\cos\theta}^{2p-1}{\sin\theta}^{2q-1}} d\theta
\end{aligned}

であるから、\Gamma(p)\Gamma(q)は別のガンマ関数とベータ関数の積、すなわち


\begin{aligned}
&\Gamma(p)\Gamma(q)=\Gamma(p+q)B(p,q)\\
\Leftrightarrow\ \ &B(p,q)=\displaystyle{\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}}
\end{aligned}

を得る。
 最後は、4つ目の性質においてp=q=\displaystyle{\frac{1}{2}}とおけば


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)^2}{\Gamma(1)}}&=B\left(\displaystyle{\frac{1}{2}},\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)\\
&=2\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}}d\theta\\
&=\pi
\end{aligned}

であり、被積分関数積分区間で非負であるから、\Gamma\left(\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)=\sqrt{\pi}である。 \blacksquare)

プライバシーポリシー お問い合わせ