本気で学ぶ統計学(11/31) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　統計学を真剣に学ぶ人のために、個人的にまとめているノートを公開する。
　底本として

新装改訂版現代数理統計学

作者:彰通, 竹村
学術図書出版社

Amazon

を用いる。

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前回
3.　代表的な一次元確率分布
- 3.2　連続型確率分布
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参考文献

3.　代表的な一次元確率分布

　有名な1次元確率分布を紹介する。代表値の値や特徴的な性質についても同様に述べることとする。全体に共通して利用できる公式を導出しておく。すなわち

$\begin{aligned} V[X]=E[X^2]-\{E[X]\}^2 \end{aligned}$

が成り立つ。

3.2　連続型確率分布

　連続な確率変数 $X$ の従う分布について各種統計量を導出する

3.2.12　対数正規分布

　確率変数 $X$ の確率密度関数が

$\begin{aligned} f_X(x)=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}x}\exp\left\{-\displaystyle{\frac{(\log x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right\}}\boldsymbol{1}_{[0,\infty)}(x) \end{aligned}$

と書けるとき確率変数Xは対数正規分布 $LN(\mu,\sigma^2)$ に従うという。また確率変数 $Y$ が正規分布に従うとき $Z=e^{Y}$ は対数正規分布に従う。

密度関数の性質を満たすことの確認

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{\infty}f_X(x)}dx=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{0}^{\infty}x^{-1}\exp\left\{-\displaystyle{\frac{(\log x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\right\}dx} \end{aligned}$

を得る。ここで $\sqrt{2\sigma^2}y+\mu=\log x$ とおくと $x=e^{\sqrt{2\sigma^2}y+\mu},dx=\sqrt{2\sigma^2}e^{\sqrt{2\sigma^2}y+\mu}dy$ である。
$x:0\rightarrow\infty$ のとき $y:0\rightarrow\infty$ であり

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{\infty}f_X(x)}dx&=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{0}^{\infty}e^{-(\sqrt{2\sigma^2}y+\mu)}e^{-y^2}\cdot\left(\sqrt{2\sigma^2}e^{\sqrt{2\sigma^2}y+\mu}\right)}dy\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{\infty}e^{-y^2}}dy \end{aligned}$

が得られる。 $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-y^2}}dy=I$ とおくと $e^{-y^2}\gt0$ だから $I\gt0$ であり、

$\begin{aligned} I^2&=\left(\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-x^2}}dx\right)\left(\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-y^2}}dy\right)\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}dx\int_{0}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)}}dy \end{aligned}$

が成り立つ。ここで $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta,\$ $r\gt0,0\leq\theta\lt2\pi$ とおくと、ヤコビ行列 $J$ は

$\begin{aligned} J&=\displaystyle{\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)}}\\ &=\begin{bmatrix} \displaystyle{\frac{\partial x}{\partial r}}&\displaystyle{\frac{\partial x}{\partial\theta}}\\ \displaystyle{\frac{\partial y}{\partial r}}&\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial\theta}} \end{bmatrix} &=\begin{bmatrix} \cos\theta&-r\sin\theta\\ \sin\theta&r\cos\theta \end{bmatrix} \end{aligned}$

である。したがって

$\begin{aligned} I^2&=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}dr\int_{0}^{2\pi}d\theta e^{-r^2}\begin{vmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{vmatrix}}\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{\infty}re^{-r^2}}dr\\ &=2\pi\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\left(-\displaystyle{\frac{1}{2}}\right)(-r^2)^{\prime}e^{-r^2}}dr\\ &=\pi\left[e^{-r^2}\right]_{\infty}^{0}=\pi\\ \therefore\ I&=\sqrt{\pi} \end{aligned}$

が成り立つ。以上から

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{\infty}f_X(x)}dx=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{\pi}}}\cdot\sqrt{\pi}=1 \end{aligned}$

である。

平均： $\exp\left(\mu+\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)$

　 $Y\sim N(\mu,\sigma^2)$ について $X=e^{Y}$ とおくと、

$\begin{aligned} E[X]&=\displaystyle{e^{y}f_Y(y)}dy\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left\{-\displaystyle{\frac{(y-\mu)^2}{2\sigma^2}}+y\right\}}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left\{-\displaystyle{\frac{1}{2\sigma^2}}(y-\mu-\sigma^2)^2+\mu+\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right\}}dy\\ \end{aligned}$

である。 $y-\mu-\sigma^2=t$ とおくと $dy=dt$ であり、 $y:-\infty\rightarrow\infty$ のときに $t:-\infty\rightarrow\infty$ である。したがって

$\begin{aligned} E[X]&=\displaystyle{\exp\left(\mu+\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}}dt \end{aligned}$

である。右辺の積分部分はGauss積分に他ならず、正規分布の場合と同様の手順で $\sqrt{2\pi\sigma^2}$ であるから、

$\begin{aligned} E[X]&=\displaystyle{\exp\left(\mu+\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right)\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\sqrt{2\pi\sigma^2}}\\ &=\exp\left(\mu+\displaystyle{\frac{\sigma^2}{2}}\right) \end{aligned}$

を得る。

分散： $(e^{\sigma^2}-1)e^{2\mu+\sigma^2}$

$\begin{aligned} V[X]&=E[X^2]-\{E[X]\}^2\\ &=E[X^2]-exp\left(2\mu*\sigma^2\right) \end{aligned}$

である。 $E[X^2]=E[e^{2Y}]$ は平均の場合と同様に計算することで

$\begin{aligned} E[X^2]&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x^2\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}x}\exp\left\{-\displaystyle{\frac{1}{2}\left(\frac{\log x-\mu}{\sigma}\right)^2}\right\}}\\ &=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\displaystyle{\frac{1}{2\sigma^2}}\{t^2-2(\mu+2\sigma^2)t+\mu^2\}\right\} }\\ &=e^{2\mu+2\sigma^2}\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left\{-\displaystyle{\frac{1}{2}}\left(\frac{s-\mu}{\sigma}\right)^2\right\}}ds\\ &=e^{2\mu+2\sigma^2} \end{aligned}$

を得る。したがって

$\begin{aligned} V[X]=e^{2\mu+2\sigma^2}-e^{2\mu*\sigma^2}=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1) \end{aligned}$

である。

3.2.13　ワイブル分布

　確率変数 $X$ の確率密度関数が

$\begin{aligned} f_X(x)=\displaystyle{\frac{bx^{b-1}}{a^b}\exp\left\{-\left(\displaystyle{\frac{x}{a}}\right)^b\right\}}\boldsymbol{1}_{\left[0,\infty\right.)}(x) \end{aligned}$

に従うとき、 $X$ はワイブル分布 $W(a,b)$ に従うという。

密度関数の性質を満たすことの確認

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)}dx=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{bx^{b-1}}{a^b}\exp\left\{-\left(\displaystyle{\frac{x}{a}}\right)^b\right\}}dx\\ \end{aligned}$

である。ここで

$\begin{aligned} \left(\displaystyle{\frac{x}{a}}\right)^b=t \end{aligned}$

とおくと $x=at^{\frac{1}{b}}$ であり、 $dx=\displaystyle{\frac{a}{b}}t^{\frac{1}{b}}dt$ であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)}dx&=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{bx^{b-1}}{a^b}\exp\left\{-\left(\displaystyle{\frac{x}{a}}\right)^b\right\}}dx\\ &=\displaystyle{\frac{b}{a}\int_{0}^{\infty}t^{1-\frac{1}{b}} e^{-t}}\displaystyle{\frac{a}{b}}t^{\frac{1}{b}}dt\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}t^{1} e^{-t}}dt \end{aligned}$

を得る。これはガンマ関数 $\Gamma(2)$ に他ならず、その値は $1$ である。

平均： $a\Gamma\left(\displaystyle{\frac{b+1}{b}}\right)$

$\begin{aligned} E[X]=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x\frac{bx^{b-1}}{a^b}\exp\left\{-\left(\displaystyle{\frac{x}{a}}\right)^b\right\}}dx\\ \end{aligned}$

である。ここで

$\begin{aligned} \left(\displaystyle{\frac{x}{a}}\right)^b=t \end{aligned}$

とおくと $x=at^{\frac{1}{b}}$ であり、 $dx=\displaystyle{\frac{a}{b}}t^{\frac{1}{b}}dt$ であるから、

$\begin{aligned} E[X]=\displaystyle{a\int_{0}^{\infty}t^{\frac{b+1}{b}-1}e^{-t}}dt \end{aligned}$

であるが、上式右辺の積分部分はガンマ関数に他ならない。したがって

$\begin{aligned} E[X]=a\Gamma\left(\displaystyle{\frac{b+1}{b}}\right) \end{aligned}$

を得る。

分散： $a^2\left(\Gamma\left(\displaystyle{\frac{b+2}{b}}\right)-\left[\Gamma\left(\displaystyle{\frac{b+1}{b}}\right)\right]^2\right)$

$\begin{aligned} V[X]&=E[X^2]-\{E[X]\}^2\\ &=E[X^2]-\left[\Gamma\left(\displaystyle{\frac{b+1}{b}}\right)\right]^2 \end{aligned}$

である。また

$\begin{aligned} E[X^2]&=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x^2\frac{bx^{b-1}}{a^b}\exp\left\{-\left(\displaystyle{\frac{x}{a}}\right)^b\right\}}dx\\ &=a^2\displaystyle{\int_{0}^{\infty}t^{\frac{2}{b}}e^{-t}}dt\\ &=a^2\displaystyle{\int_{0}^{\infty}t^{\frac{b+2}{b}-1}e^{-t}}dt\\ &=a^2\Gamma\left(\displaystyle{\frac{b+2}{b}}\right) \end{aligned}$

であるから

$\begin{aligned} a^2\left(\Gamma\left(\displaystyle{\frac{b+2}{b}}\right)-\left[\Gamma\left(\displaystyle{\frac{b+1}{b}}\right)\right]^2\right) \end{aligned}$

を得る。

3.2.14　二重指数分布

　確率変数 $X$ の確率密度関数が

$\begin{aligned} f_X(x)=\displaystyle{\frac{1}{2b}\exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)} \end{aligned}$

であるとき、 $X$ は二重指数分布（Laplace分布） $\mathrm{Laplace(\mu,b)}$ に従うという。

密度関数の性質を満たすことの確認

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)}dx&=\displaystyle{\frac{1}{2b}\int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)}dx\\ &=\displaystyle{\frac{1}{2b}\left\{\int_{-\infty}^{\mu}\exp\left(\frac{x-\mu}{b}\right)dx+\int_{\mu}^{\infty}\exp\left(-\frac{x-\mu}{b}\right)dx\right\}} \end{aligned}$

であり、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{-\infty}^{\mu}\exp\left(\frac{x-\mu}{b}\right)dx}&=b\left[\exp\left(\frac{x-\mu}{b}\right)\right]_{-\infty}^{\mu}=b,\\ \displaystyle{\int_{\mu}^{\infty}\exp\left(-\frac{x-\mu}{b}\right)dx}&=-b\left[\exp\left(\frac{\mu-x}{b}\right)\right]_{\mu}^{\infty}=b \end{aligned}$

を代入することで

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)}dx=1 \end{aligned}$

を得る。

平均： $\mu$

$\begin{aligned} E[X]&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x\frac{1}{2b}\exp\left(-\displaystyle{\frac{|x-\mu|}{b}}\right)}dx\\ &=\displaystyle{\int_{\mu}^{\infty}x\frac{1}{2b}\exp\left(-\displaystyle{\frac{x-\mu}{b}}\right)}dx- \displaystyle{\int_{-\infty}^{\mu}x\frac{1}{2b}\exp\left(-\displaystyle{\frac{x-\mu}{b}}\right)}dx\\ &=\displaystyle{\frac{1}{2}\left\{e^{-\frac{\mu}{b}}\int_{-\infty}^{\mu}\frac{x}{b}\exp\left(\displaystyle{\frac{x}{b}}\right)dx+e^{\frac{\mu}{b}}\int_{\mu}^{\infty}\frac{x}{b}\exp\left(-\displaystyle{\frac{x}{b}}\right)dx\right\}} \end{aligned}$

である。最右辺の各積分は $y=\displaystyle{\frac{x}{b}}$ とおけば、 $x=by, dx=bdy$ および $x:-\infty\rightarrow\mu,$ $x:\mu\rightarrow\infty$ のとき $y:-\infty\rightarrow\displaystyle{\frac{\mu}{b}},\displaystyle{\frac{\mu}{b}}\rightarrow\infty$ であるから、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{-\infty}^{\mu}\frac{x}{b}\exp\left(\displaystyle{\frac{x}{b}}\right)}dx&=b\displaystyle{\int_{-\infty}^{\frac{\mu}{b}}y e^{y}}dy\\ &=b\left\{\left[te^y\right]_{-\infty}^{\frac{\mu}{b}}-\displaystyle{\int_{-\infty}^{\frac{\mu}{b}}e^{y}}dy\right\}\\ &=\displaystyle{\mu e^{\frac{\mu}{b}}}-b[e^y]_{-\infty}^{\frac{\mu}{b}}\\ &=(\mu-b)e^{\frac{\mu}{b}},\\ \displaystyle{\int_{\mu}^{\infty}\frac{x}{b}\exp\left(-\displaystyle{\frac{x}{b}}\right)}dx&=b\displaystyle{\int_{\frac{\mu}{b}}^{\infty}y e^{-y}}dy\\ &=b\left\{\left[-te^{-y}\right]_{\frac{\mu}{b}}^{\infty}+\displaystyle{\int_{\frac{\mu}{b}}^{\infty}e^{-y}}dy\right\}\\ &=\mu e^{-\frac{\mu}{b}}+b\left[-e^{-y}\right]_{\frac{\mu}{b}}^{\infty}\\ &=(\mu+b) e^{-\frac{\mu}{b}} \end{aligned}$

である。これらを代入することで

$\begin{aligned} E[X]&=\displaystyle{\frac{1}{2}\left\{e^{-\frac{\mu}{b}}\int_{-\infty}^{\mu}\frac{x}{b}\exp\left(\displaystyle{\frac{x}{b}}\right)dx+e^{\frac{\mu}{b}}\int_{\mu}^{\infty}\frac{x}{b}\exp\left(-\displaystyle{\frac{x}{b}}\right)dx\right\}}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{2}}\left\{(\mu-b)+(\mu+b)\right\}\\ &=\mu \end{aligned}$

が成り立つ。

分散： $2b^2$

$\begin{aligned} V[X]&=E[X^2]-\{E[X]\}^2\\ &=E[X^2]-\mu^2 \end{aligned}$

であり、

$\begin{aligned} E[X^2]&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x^2\frac{1}{2b}\exp\left(-\displaystyle{\frac{|x-\mu|}{b}}\right)}dx\\ &=\displaystyle{\int_{\mu}^{\infty}x^2\frac{1}{2b}\exp\left(-\displaystyle{\frac{x-\mu}{b}}\right)}dx- \displaystyle{\int_{-\infty}^{\mu}x^2\frac{1}{2b}\exp\left(-\displaystyle{\frac{x-\mu}{b}}\right)}dx\\ &=\displaystyle{\frac{b}{2}\left\{e^{-\frac{\mu}{b}}\int_{-\infty}^{\mu}\left(\frac{x}{b}\right)^2\exp\left(\displaystyle{\frac{x}{b}}\right)dx+e^{\frac{\mu}{b}}\int_{\mu}^{\infty}\left(\frac{x}{b}\right)^2\exp\left(-\displaystyle{\frac{x}{b}}\right)dx\right\}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{-\infty}^{\mu}\left(\frac{x}{b}\right)^2\exp\left(\displaystyle{\frac{x}{b}}\right)}dx&= b\displaystyle{\int_{-\infty}^{\frac{\mu}{b}}y^2e^{y}}dy\\ &=b\left[y^2e^{y}\right]_{-\infty}^{\frac{\mu}{b}}-2b\displaystyle{\int_{-\infty}^{\frac{\mu}{b}}ye^{y}}dy\\ &=\displaystyle{\frac{\mu^2}{b}e^{\frac{\mu}{b}}}-2b(\mu-b)e^{\frac{\mu}{b}}\\ \displaystyle{\int_{\mu}^{\infty}\left(\frac{x}{b}\right)^2\exp\left(-\displaystyle{\frac{x}{b}}\right)}dx&= b\displaystyle{\int_{\frac{\mu}{b}}^{\infty}y^2e^{-y}}dy\\ &=b\left[-y^2e^{-y}\right]_{\frac{\mu}{b}}^{\infty}+2b\displaystyle{\int_{\frac{\mu}{b}}^{\infty}ye^{-y}}dy\\ &=\displaystyle{\frac{\mu^2}{b}e^{-\frac{\mu}{b}}}+2b(\mu+b)e^{-\frac{\mu}{b}}\\ \end{aligned}$

を得る。これらを代入することで

$\begin{aligned} E[X^2]&=\displaystyle{\frac{b}{2}\left\{ e^{-\frac{\mu}{b}}\left( \frac{\mu^2}{b}e^{\frac{\mu}{b}}-2b(\mu-b)e^{\frac{\mu}{b}}\right)+ e^{\frac{\mu}{b}}\left( \frac{\mu^2}{b}e^{-\frac{\mu}{b}}+2b(\mu+b)e^{-\frac{\mu}{b}}\right) \right\} }\\ &=\displaystyle{\frac{1}{2}\left\{\mu^2-2b(\mu-b)+\mu^2+2b(\mu+b)\right\}}\\ &=\mu^2+2b^2 \end{aligned}$

である。したがって

$\begin{aligned} V[X]&=E[X^2]-\mu^2\\ &=\mu^2+2b^2-\mu^2\\ &=2b^2 \end{aligned}$

を得る。

3.2.15　パレート分布

　確率変数 $X$ の確率密度関数が

$\begin{aligned} f_X(x)=\displaystyle{\frac{\beta\alpha^{\beta}}{x^{\beta+1}}}\boldsymbol{1}_{[\alpha,\infty)}(x),\ \alpha\gt0,\beta\gt0 \end{aligned}$

であるとき、 $X$ はパレート分布 $\mathrm{Par}(\alpha,\beta)$ に従うという。

密度関数の性質を満たすことの確認

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)}dx&=\displaystyle{\beta\alpha^{\beta}\int_{\alpha}^{\infty}x^{-\beta-1}}dx\\ &=\beta\alpha^{\beta}\left[-\displaystyle{\frac{x^{-\beta}}{\beta}}\right]_{\alpha}^{\infty}\\ &=\beta\alpha^{\beta}\displaystyle{\frac{\alpha^{-\beta}}{\beta}}\\ &=1 \end{aligned}$

である。

平均： $\displaystyle{\frac{\beta\alpha}{\beta-1}}(\beta\gt1),\infty(\beta\leq1)$

$\begin{aligned} E[X]&=\displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}x\frac{\beta\alpha^{\beta}}{x^{\beta+1}}}dx\\ &=\beta\alpha^{\beta}\displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}x^{-\beta}}dx\\ &=\beta\alpha^{\beta}\left[\displaystyle{\frac{x^{-(\beta-1)}}{\beta-1}}\right]_{\alpha}^{\infty}\\ &=\begin{cases} \displaystyle{\frac{\beta\alpha}{\beta-1}},&\beta\gt1,\\ \infty,&\beta\leq1 \end{cases} \end{aligned}$

分散： $\displaystyle{\frac{\beta\alpha^2}{(\beta-1)^2(\beta-2)}}(\beta\gt2),\infty(\beta\leq2)$

$\begin{aligned} V[X]&=E[X^2]-\{E[X]\}^2\\ &=\displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}x^2\frac{\beta\alpha^{\beta}}{x^{\beta+1}}}dx-\{E[X]\}^2\\ &=\beta\alpha^{\beta}\displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}x^{-\beta+1}}dx-\{E[X]\}^2\\ \end{aligned}$

である。最右辺第1項の積分について $\beta\neq2$ と仮定すれば

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}x^{-\beta+1}}dx&=\left[-\displaystyle{\frac{x^{-\beta+2}}{\beta-2}}\right]_{\alpha}^{\infty}\\ &=\left[-\displaystyle{\frac{x^{-\beta+2}}{\beta-2}}\right]_{\alpha}^{\infty}\\ &=\begin{cases} \displaystyle{\frac{\alpha^{-\beta+2}}{\beta-2}},&\beta\gt2,\\ \infty,&\beta\lt2 \end{cases} \end{aligned}$

を得る。仮定とまとめることで

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}x^{-\beta+1}}dx&=\left[\displaystyle{\frac{x^{-\beta+2}}{\beta-2}}\right]_{\alpha}^{\infty}\\ &=\begin{cases} \displaystyle{\frac{\alpha^{-\beta+2}}{\beta-2}},&\beta\gt2,\\ \infty,&\beta\leq2 \end{cases} \end{aligned}$

を得る。期待値の結果を踏まえれば

$\begin{aligned} \{E[X]\}^2&=\begin{cases} \displaystyle{\frac{\beta^2\alpha^2}{(\beta-1)^2}},&\beta\gt1,\\ \infty,&\beta\leq1 \end{cases} \end{aligned}$

であることから、まとめると

$\begin{aligned} V[X]&=E[X^2]-\{E[X]\}^2\\ &=\beta\alpha^{\beta}\displaystyle{\int_{\alpha}^{\infty}x^{-\beta+1}}dx-\{E[X]\}^2\\ &=\begin{cases} \displaystyle{\frac{\beta\alpha^2}{(\beta-2)(\beta-1)^2}},&\beta\gt2,\\ \infty,&1\lt\beta\leq2,\\ 不定(定義できない),&\beta\leq1 \end{cases} \end{aligned}$

を得る。

3.2.15　グンベル分布

　確率変数 $X$ の確率密度関数が

$\begin{aligned} f_X(x)=\displaystyle{\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}}\exp\left\{-\exp\left(-\displaystyle{\frac{x-\mu}{\theta}}\right)\right\} \end{aligned}$

であるとき、 $X$ はグンベル分布 $\mathrm{Gb}(\mu,\theta)$ に従うという*1。

密度関数の性質を満たすことの確認

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)}dx&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}e^{-e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}}}dx\\ \end{aligned}$

である。ここで $z=e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}$ とおけば $x=\mu-\theta\log z$ であり $dx=-\displaystyle{\frac{\theta}{z}}dz$ を得る。また $x:-\infty\rightarrow\infty$ のとき $z:\infty\rightarrow0$ であるから

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)}dx&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}e^{-e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}}}dx\\ &=\frac{1}{\theta}\displaystyle{\int_{0}^{\infty}z e^{-z}}dx\\ &=\frac{1}{\theta}\left(\left[-z e^{-z}\right]_{\infty}^{0}+\displaystyle{\int_{\infty}^{0}e^{-z}}dx\right)\\ &=1 \end{aligned}$

である。

平均： $E[X]=\mu+\gamma\theta$ ( $\gamma$ は $\mathrm{Euler}$ の定数)

$\begin{aligned} E[X]&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)}dx\\ &=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}e^{-e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}}}dx\\ \end{aligned}$

$\begin{aligned} E[X]&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}e^{-e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}}}dx\\ &=\displaystyle{\int_{\infty}^{0}(\mu-\theta\log z)\frac{z}{\theta}e^{-z}\left(-\displaystyle{\frac{\theta}{z}}dz\right)}\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}(\mu-\theta\log z)\frac{\theta}{z}\frac{z}{\theta}e^{-z}}dz\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}(\mu-\theta\log z)e^{-z}}dz\\ &=\mu\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-z}}dz-\theta\displaystyle{\int_{0}^{\infty}(\log z)e^{-z}}dz\\ &=\mu-\theta\displaystyle{\int_{0}^{\infty}(\log z)e^{-z}}dz\\ \end{aligned}$

を得る。ここで

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{\infty}(\log z)e^{-z}}dz=-\gamma\in\mathbb{R} \end{aligned}$

とある定数（ $\mathrm{Euler}$ の定数）になることが知られている。したがって

$\begin{aligned} E[X]=\mu+\gamma\theta \end{aligned}$

を得る。

分散： $\displaystyle{\frac{\theta^2\pi^2}{6}}$

$\begin{aligned} V[X]&=E[X^2]-\{E[X]\}^2\\ &=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x^2\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}e^{-e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}}}dx-(\mu+\gamma\theta)^2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} V[X]&=E[X^2]-\{E[X]\}^2\\ &=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x^2\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}e^{-e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}}}dx-(\mu+\gamma\theta)^2\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}(\mu-\theta\log z)^2\frac{1}{\theta}ze^{-z}\frac{\theta}{z}}dz-(\mu+\gamma\theta)^2\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}(\mu-\theta\log z)^2e^{-z}}dz-(\mu+\gamma\theta)^2\\ &=\mu^2\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-z}}dz-2\mu\theta\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\log ze^{-z}}dz+\theta^2\displaystyle{\int_{0}^{\infty}(\log z)^2e^{-z}}dz-(\mu+\gamma\theta)^2\\ &=\mu^2+2\mu\theta\gamma+\theta^2\displaystyle{\int_{0}^{\infty}(\log z)^2e^{-z}}dz-(\mu+\gamma\theta)^2\\ &=\theta^2\left(\displaystyle{\int_{0}^{\infty}(\log z)^2e^{-z}}dz-\gamma^2\right) \end{aligned}$

を得る。 $\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-z}(\log z)^2}dz=\gamma^2+\displaystyle{\frac{\pi^2}{6}}$ を代入することで

$\begin{aligned} V[X]&=\theta^2\left(\gamma^2+\displaystyle{\frac{\pi^2}{6}}-\gamma^2\right)\\ &=\displaystyle{\frac{\theta^2\pi^2}{6}} \end{aligned}$

を得る。

3.2.17　ロジスティック分布

　確率変数 $X$ の確率密度関数が

$\begin{aligned} f_X(x)=\displaystyle{\frac{\exp\left(-\displaystyle{\frac{x-\mu}{s}}\right)}{s\left\{1+\exp\left(-\displaystyle{\frac{x-\mu}{s}}\right)\right\}^2}} \end{aligned}$

に従うとき、 $X$ は位置母数 $\mu,$ 尺度母数 $s$ のロジスティック分布に従うという。

密度関数の性質を満たすことの確認

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)}dx&=\displaystyle{\frac{1}{s}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\exp\left(-\displaystyle{\frac{x-\mu}{s}}\right)}{\left\{1+\exp\left(-\displaystyle{\frac{x-\mu}{s}}\right)\right\}^2}}dx \end{aligned}$

である。ここで $\displaystyle{\frac{1}{1+\exp\left(-\displaystyle{\frac{x-\mu}{s}}\right)}}=y$ とおくと $x=\mu-s\log\left(\displaystyle{\frac{1-y}{y}}\right)$ であり、 $dx=s\displaystyle{\frac{1}{y(1-y)}}dy$ を満たす。また $x:-\infty\rightarrow\infty$ のとき $y:0\rightarrow1$ であるから

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)}dx&=\displaystyle{\int_{0}^{1}y^2\frac{1}{y(1-y)}\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}-1\right)}dy\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{1}dy}\\ &=1 \end{aligned}$

を得る。

平均： $\mu$

$\begin{aligned} E[X]&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)}dx\\ &=\displaystyle{\frac{1}{s}\int_{-\infty}^{\infty}x\frac{\exp\left(-\displaystyle{\frac{x-\mu}{s}}\right)}{\left\{1+\exp\left(-\displaystyle{\frac{x-\mu}{s}}\right)\right\}^2}}dx \end{aligned}$

$\begin{aligned} E[X]&=\displaystyle{\int_{0}^{1}\left\{\mu-s\log\left(\displaystyle{\frac{1-y}{y}}\right)\right\}y^2\frac{1}{y(1-y)}\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}-1\right)}dy\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{1}\left\{\mu-s\log\left(\displaystyle{\frac{1-y}{y}}\right)\right\}}dy\\ &=\mu-s\displaystyle{\int_{0}^{1}\log\left(\displaystyle{\frac{1-y}{y}}\right)}dy \end{aligned}$

である。最右辺第2項の積分について

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{1}\log\left(\displaystyle{\frac{1-y}{y}}\right)}&=\displaystyle{\int_{0}^{1}(\log(1-y)-\log y)dy}\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{1}\log(1-y)dy}-\displaystyle{\int_{0}^{1}\log ydy}\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{1}\log tdt}-\displaystyle{\int_{0}^{1}\log ydy}(t=1-y,dt=-dy)\\ &=0 \end{aligned}$

であるから、したがって

$\begin{aligned} E[X]=\mu \end{aligned}$

を得る。

分散： $\displaystyle{\frac{s^2\pi^2}{3}}$

$\begin{aligned} V[X]&=E[X^2]-\{E[X]\}^2\\ &=E[X^2]-\mu^2\\ \end{aligned}$

である。右辺第1項について

$\begin{aligned} E[X^2]&=\displaystyle{\frac{1}{s}\int_{-\infty}^{\infty}x^2\frac{\exp\left(-\displaystyle{\frac{x-\mu}{s}}\right)}{\left\{1+\exp\left(-\displaystyle{\frac{x-\mu}{s}}\right)\right\}^2}}dx \end{aligned}$

$\begin{aligned} E[X^2]&=\displaystyle{\int_{0}^{1}\left\{\mu-s\log\left(\displaystyle{\frac{1-y}{y}}\right)\right\}^2y^2\frac{1}{y(1-y)}\left(\displaystyle{\frac{1}{y}}-1\right)}dy\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{1}\left\{\mu-s\log\left(\displaystyle{\frac{1-y}{y}}\right)\right\}^2}dy\\ &=\mu^2-2\mu s\displaystyle{\int_{0}^{1}\log\left(\displaystyle{\frac{1-y}{y}}\right)}dy+s^2\displaystyle{\int_{0}^{1}\left\{\log\left(\displaystyle{\frac{1-y}{y}}\right)\right\}^2}dy\\ &=\mu^2+s^2\displaystyle{\int_{0}^{1}\left\{\log\left(\displaystyle{\frac{1-y}{y}}\right)\right\}^2}dy\\ \end{aligned}$

である。最右辺第2項の積分は

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{1}\left\{\log\left(\displaystyle{\frac{1-y}{y}}\right)\right\}^2}dy&=\displaystyle{\int_{0}^{1}\left(\log(1-y)-\log y\right)^2}dy\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{1}\left\{\left(\log(1-y)\right)^2-2\log(1-y)\log y+\left(\log y\right)^2\right\}}dy\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{1}\left(\log(1-y)\right)^2}dy-2\displaystyle{\int_{0}^{1}\left\{\log(1-y)\log y\right\}}dy+\displaystyle{\int_{0}^{1}\left(\log y\right)^2}dy \end{aligned}$

であり、最右辺の各積分について

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{1}\left(\log(1-y)\right)^2}dy&=-\displaystyle{\int_{1}^{0}\left(\log t\right)^2}dt(t=1-y)\\ &=\displaystyle{\int_{0}^{1}\left(\log t\right)^2}dt\\ &=\left[x\left(\log t\right)^2\right]_{0}^{1}-2\displaystyle{\int_{0}^{1}\log t}dt\\ &=2\\ \displaystyle{\int_{0}^{1}\left(\log y\right)^2}dy&=2 \end{aligned}$

を得る。第2項の積分は、 $\log(1-y)$ の $y$ に関するMacLaurin展開により

$\begin{aligned} \log(1-y)=-\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{y^n}{n}} \end{aligned}$

が成り立つことに注意すれば、

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{1}\left(\log(1-y)\log y\right)}dy&=\displaystyle{\int_{0}^{1}\log y\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{y^n}{n}\right)}dy\\ &=-\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\int_{0}^{1}y^n\log y}dy\\ &=-\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left[\frac{y^{n+1}}{n+1}\left(\log y-\displaystyle{\frac{1}{n+1}}\right)\right]_{0}^{1}}dy\\ &=-\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\frac{1}{n+1}\left(0-\displaystyle{\frac{1}{n+1}}\right)}\\ &=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\frac{1}{(n+1)^2}}\\ &=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}}-\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)}}-\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^2}}\\ &=\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}}-\left(\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}-1\right)\\ &=1-\left(\displaystyle{\frac{\pi^2}{6}}-1\right)\\ &=2-\displaystyle{\frac{\pi^2}{6}} \end{aligned}$

である。ここで

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}}&= \displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\left( \displaystyle{\frac{1}{k}}-\displaystyle{\frac{1}{k+1}}\right)}\\ &=\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(1-\displaystyle{\frac{1}{k}}\right)}\\ &=1 \end{aligned}$

および $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}$ がゼータ関数 $\zeta(2)=\displaystyle{\frac{\pi^2}{6}}$ に等しいことを用いた。
　これらの結果を代入することで

$\begin{aligned} \displaystyle{\int_{0}^{1}\left\{\log\left(\displaystyle{\frac{1-y}{y}}\right)\right\}^2}dy&=\displaystyle{\int_{0}^{1}\left\{\left(\log(1-y)\right)^2-2\log(1-y)\log y+\left(\log y\right)^2\right\}}dy\\ &=2-2\left(2-\displaystyle{\frac{\pi^2}{6}}\right)+2\\ &=\displaystyle{\frac{\pi^2}{3}} \end{aligned}$

であり、これはすなわち

$\begin{aligned} E[X^2]=\mu^2+\displaystyle{\frac{s^2\pi^2}{3}} \end{aligned}$

を意味する。したがって

$\begin{aligned} V[X]=\mu^2+\displaystyle{\frac{s^2\pi^2}{3}}-\mu^2=\displaystyle{\frac{s^2\pi^2}{3}} \end{aligned}$

を得る。

次回

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参考文献

Lehmann, E.L., Casella, George(1998), "Theory of Point Estimation, Second Edition", (Springer)
Lehmann, E.L., Romano, Joseph P.(2005), "Testing Statistical Hypotheses, Third Edition", (Springer)
Sturges, Herbert A.,(1926), "The Choice of a Class Interval", (Journal of the American Statistical Association, Vol. 21, No. 153 (Mar., 1926)), pp. 65-66
上田拓治（2009）「44の例題で学ぶ統計的検定と推定の解き方」(オーム社)
大田春外（2000）「はじめよう位相空間」(日本評論社)
小西貞則（2010）「多変量解析入門――線形から非線形へ――」(岩波書店)
小西貞則,北川源四郎（2004）「シリーズ予測と発見の科学2　情報量基準」(朝倉書店)
小西貞則,越智義道,大森裕浩（2008）「シリーズ予測と発見の科学5　計算統計学の方法」(朝倉書店)
佐和隆光（1979）「統計ライブラリー　回帰分析」(朝倉書店)
清水泰隆（2019）「統計学への確率論,その先へ　―ゼロからの速度論的理解と漸近理論への架け橋」(内田老鶴圃)
鈴木武, 山田作太郎（1996）「数理統計学　基礎から学ぶデータ解析」(内田老鶴圃)
竹内啓・編代表（1989）「統計学辞典」(東洋経済新報社)
竹村彰通（1991）「現代数理統計学」(創文社)
竹村彰通（2020）「新装改訂版　現代数理統計学」(学術図書出版社)
東京大学教養学部統計学教室編（1991）「基礎統計学Ⅰ　基礎統計学」(東京大学出版会)
東京大学教養学部統計学教室編（1994）「基礎統計学Ⅱ　人文・社会科学の統計学」(東京大学出版会)
東京大学教養学部統計学教室編（1992）「基礎統計学Ⅲ　自然科学の統計学」(東京大学出版会)
豊田秀樹（2020）「瀕死の統計学を救え！ ―有意性検定から「仮説が正しい確率」へ―」(朝倉書店)
永田靖（2003）「サンプルサイズの決め方」(朝倉書店)
柳川堯（2018）「Ｐ値　その正しい理解と適用」(近代科学社)

*1:英語読みならばガンベルで、Gumbelの母語であるドイツ語で読めばグンベルが妥当だろう。

前回

3. 代表的な一次元確率分布

3.2 連続型確率分布

3.2.12 対数正規分布

3.2.13 ワイブル分布

3.2.14 二重指数分布

3.2.15 パレート分布

3.2.15 グンベル分布

3.2.17 ロジスティック分布

次回

参考文献

3.　代表的な一次元確率分布

3.2　連続型確率分布

3.2.12　対数正規分布

3.2.13　ワイブル分布

3.2.14　二重指数分布

3.2.15　パレート分布

3.2.15　グンベル分布

3.2.17　ロジスティック分布