統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書
を基により高等な線形代数を学ぶ。
4. 行列の因数分解と行列ノルム
4.2 対称行列のスペクトル分解
対称行列のスペクトル分解は特異値分解の特殊例に相当する。過去の章で導いた結果を改めて述べる。
非負定値行列の平方根行列を見つけるべく
のスペクトル分解を利用することができる。すなわち
を満たすような
次非負定値行列
を見つけたいとする。上記のように
と
を定義し、
とすると、
であるから
を得る。であることに注意すれば、
は
の対称平方根行列と呼ばれる。
が非負定値でない場合、
のいくつかの固有値が負のとき、
は複素行列になる。
非負定値の平方根行列が一意に定まることを示す。
のスペクトル分解は
と書ける。ここでは
のスペクトル値である。
の固有射影は一意に定まり、
が成り立つ。また
に関して
を満たす。
を
を満たす次非負定値行列だとする。もし
ならば
が成り立つ。これより、で、各々の
およびある
に関して
でなければならない。これは
であることを意味し、上述したという表現と同等である。
が対称行列であることに限定しなければ、平方根行列の集合を拡張できる。すなわち
を満たす任意の行列
を考える。
を任意の
次直交行列とすると、
であるから、は平方根行列である。
が非負の対角要素を持つ下三角行列であるとき、分解
を
の
分解と呼ぶ。
( 正定値行列に関する結果を証明する。
のとき明らかに定理は成立する。なぜならばこのとき
は正のスカラーであり、
は
の正の平方根によって一意に与えられるからである。いますべての
次正定値行列に関して定理が成り立つと仮定する。
次正方行列
を用いて
が
と分割できるものとする。このときが正定値行列ならば
も正定値行列でなければならないため、正の対角成分を持ち
を満たすような
次下三角行列
が存在することが分かる。
もし次ベクトル
と一意な正のスカラー
があり、
が成り立てば、題意が示される。このときでなければならない。
は正則でなければならないから、
は
で一意に与えられ、また
は
でなければならない。
は正定値行列であるから、
とすれば
が成り立つから、は正数であり、
は
により一意に与えられる。
)