やりなおしの数学・線形代数篇（22/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
5.　固有値と固有ベクトル
- 5.4　二次曲線および二次曲面
6.　単因子およびJordan標準形
- 6.1　単因子

今日のまとめ

$x$ の多項式を成分とする行列 $A(x)$ に対して
$\begin{aligned}A(x)T(x)=X(x)A(x)=I\end{aligned}$
となるような $x$ -行列が存在するとき、 $A(x)$ を可逆行列という。

$x$ の多項式を成分とする行列 $A(x)$ が可逆行列であるためには、行列式 $|A(x)|$ が $K$ の $0$ でない元であることが必要十分である。

2つの $x$ の多項式を成分とする行列 $A(x),B(x)$ が有限回の基本変形によって移りあうとき、 $A(x)$ と $B(x)$ は対等であるといい、 $A(x)\sim B(x)$ と書く。

任意の $x$ の $n$ 次多項式を成分とする行列 $A(x)$ は以下の標準形に対等である：　
$\begin{aligned}\begin{bmatrix}e_1(x)& & & & & &\\ &e_2(x)& & & & &\\ & &\ddots& & & &\\ & & &e_r(x)& & &\\ & & & &0& &\\ & & & & &\ddots&\\ & & & & & &0\end{bmatrix}\end{aligned}$
ただし $e_1(x),\cdots,e_r(x)$ は以下の条件を満たす：
- $e_i(x),i=1,2,\cdots,r$ は最高次係数が $1$ の多項式である。
- $e_i(x)$ は $e_{i-1}(x)$ で割り切れる。
さらにこの標準形は $A(x)$ で一意に定まる。

5.　固有値と固有ベクトル

5.4　二次曲線および二次曲面

　二次曲線および二次曲面を既存の知識を用いて分類する。
　空間の座標系は1点 $O$ および幾何ベクトル空間 $V^3$ の1つの基底 $E=(\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3)$ との組 $(O;E)$ を指す。とくに $E$ が正規直交基底である場合が直交座標系である。
　座標系を取り換えたときに点の位置ベクトルがどのように変わるかを考察する。2つの座標系 $(O;E),(O^{\prime};E^{\prime})$ があるとき、 $V^3$ の基底の取り換え $E\rightarrow E^{\prime}$ の行列を $T(t_{ij})$ とし、点 $O^{\prime}$ の座標系 $(O;E)$ に関する位置ベクトルを

$\begin{aligned} \boldsymbol{t}_0=\begin{bmatrix}t_1\\t_2\\t_3\end{bmatrix} \end{aligned}$

とする。
　点 $P$ の座標系 $(O;E),(O^{\prime};E^{\prime})$ における位置ベクトルをそれぞれ

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix},\boldsymbol{y}=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix} \end{aligned}$

とすれば、 $\vec{OP}=\vec{OO^{\prime}}+\vec{O^{\prime}P}$ であるから

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{3}x_i\boldsymbol{e}_i}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{3}t_i\boldsymbol{e}_i}+\displaystyle{\sum_{i=1}^{3}t_i{\boldsymbol{e}_i}^{\prime}}\\ &=\displaystyle{\sum_{i=1}^{3}t_i\boldsymbol{e}_i}+\displaystyle{\sum_{i=1}^{3}y_i t_{ji}{\boldsymbol{e}_j}} \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}=T\boldsymbol{y}+\boldsymbol{t}_0 \end{aligned}$

が成り立ち、これが座標変換の公式である。
　さらに

$\begin{aligned} \tilde{x}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{x}\\1\end{bmatrix}, \tilde{y}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{y}\\1\end{bmatrix}, \tilde{T}=\begin{bmatrix}T&\boldsymbol{t}_0\\{}^{t}\boldsymbol{0}&1\end{bmatrix} \end{aligned}$

とおけば

$\begin{aligned} \tilde{x}=\tilde{T}\tilde{y} \end{aligned}$

とも表される。特に $(O;E),(O^{\prime};E^{\prime})$ がともに直交座標系ならば $T$ は直交行列である。
　空間における二次曲面（二次曲線）とは、ある座標系に関する座標の二次式の零点からなる集合である。二次曲面（二次曲線）は座標系に無関係な概念である。

6.　単因子およびJordan標準形

6.1　単因子

　1変数 $x$ の $K$ -変数多項式を成分とする $n$ 次正方行列を考える。このような行列を簡便のために $x$ -行列と呼ぶことにする。2つの $x$ -行列の和差積が数の行列の場合と同様に定義されて $x$ -行列である。行列式も $x$ の多項式である。
　 $x$ -行列 $A(x)$ に対して

$\begin{aligned} A(x)T(x)=X(x)A(x)=I \end{aligned}$

となるような $x$ -行列が存在するとき、 $A(x)$ を可逆行列という。
　 $A(x)$ が可逆行列であるとき、上式を満たすような $X(x)$ はただ1つしか存在しないことが知られている。 $X(x)$ を $A(x)$ の逆行列と呼び、 $A(x)^{-1}$ で表す。

可逆性の必要十分条件　 $x$ -行列 $A(x)$ が可逆行列であるためには、行列式 $|A(x)|$ が $K$ の $0$ でない元であることが必要十分である。

( $\because$ 　 $A(x)$ が可逆ならば

$\begin{aligned} \left|A(x)\right||A(x)^{-1}|=|A(x)A(x)^{-1}|=1 \end{aligned}$

が成り立つ。 $|A(x)|$ および $|A(x)^{-1}|$ は $x$ の多項式であるから、 $|A(x)|\in K$ 、 $|A(x)|\neq0$ である。
　逆に $|A(x)|$ が $K$ の $0$ でない元だとする。 $A(x)$ の余因子行列を $\tilde{X}(x)$ とすれば、

$\begin{aligned} \tilde{A}(x)A(x)=A(x)\tilde{A}(x)=|A(x)|\cdot I \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $\displaystyle{\frac{1}{|A(x)|}\tilde{A}(x)}$ は $A(x)$ の逆行列である。　 $\blacksquare$ )

　ここで基本行列

$P_n(i,j)$ ： $(i,i),(i+1,i+1),\cdots,(j,j)$ 成分が $0$ でそれ以外の対角成分および $(i,j),(j,i)$ 成分が $1$ であるような行列
$Q_n(i;c)$ ： $(i,i)$ 成分のみ $c$ でそれ以外の対角成分が $1$ であるような行列
$R_n(i,j;c)$ ： $(i,j)$ 成分が $c$ であるような行列

を思い起こそう。この $c\in\mathbb{C}$ の代わりに多項式 $c(x)$ を入れた $R_n(i,j;c(x))$ で表し、これも基本行列と呼ぶことにする。
　 $R_n(i,j;c(x))\cdot R_n(i,j;-c(x))=I$ であるから可逆で、逆行列もまた基本行列である。 $x$ -行列の成分に対する基本変形の効果は数行列の場合と同様である。

対等性　2つの $x$ -行列 $A(x),B(x)$ が有限回の基本変形によって移りあうとき、 $A(x)$ と $B(x)$ は対等であるといい、 $A(x)\sim B(x)$ と書く。

$x$ -行列と標準形　任意の $n$ 次 $x$ -行列 $A(x)$ は以下の標準形に対等である。

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} e_1(x)& & & & & &\\ &e_2(x)& & & & &\\ & &\ddots& & & &\\ & & &e_r(x)& & &\\ & & & &0& &\\ & & & & &\ddots&\\ & & & & & &0 \end{bmatrix} \end{aligned}$

ただし $e_1(x),\cdots,e_r(x)$ は以下の条件を満たす：

$e_i(x),i=1,2,\cdots,r$ は最高次係数が $1$ の多項式である。
$e_i(x)$ は $e_{i-1}(x)$ で割り切れる。

さらにこの標準形は $A(x)$ で一意に定まる。

( $\because$ 　まず前半について、 $n=1$ のときは明らかに成り立つ。 $n\gt1$ として $n-1$ 次 $x$ -行列はすべて標準形に対等であると仮定する。
　 $A(x)=O$ ならばそれ自身が標準形であるから、 $A(x)\neq O$ とする。 $A(x)$ と対等な行列で、 $(1,1)$ 成分が $0$ でないものが少なくとも1つ存在する。このような行列全体を考え、そのうち $x$ の多項式である $(1,1)$ 成分の次数が最低なものの1つを取る。この行列の第1行を $(1,1)$ 成分の最高次係数で割ることで、 $A(x)$ と対等な行列

$\begin{aligned} B(x)=\begin{bmatrix} e_1(x) &b_{12}(x)&\cdots&b_{1n}(x)\\ b_{21}(x)&b_{22}(x)&\cdots&b_{2n}(x)\\ \vdots &\vdots & &\cdots\\ b_{n1}(x)&b_{n2}(x)&\cdots&b_{nn}(x) \end{bmatrix} \end{aligned}$

が得られ、 $e_1(x)$ の次数は $1$ である。
　 $B(x)$ の第1行および第1列の成分はすべて $e_1(x)$ で割り切れる。実際、 $b_{1j}(x),j\neq1$ が $e_1(x)$ で割り切れないならば、

$\begin{aligned} b_{1j}(x)=e_1(x)q(x)+r(x) \end{aligned}$

が成り立つような多項式 $q(x),e_1(x)$ よりも次数の低い多項式 $r(x)$ が存在する。 $B(x)$ の第 $j$ 列から第 $1$ 列の $q(x)$ 倍を引き、さらに第 $1$ 列と第 $j$ 列とを交換すれば、得られる行列は $A(x)$ と対等で $(1,1)$ 成分は $r(x)$ である。しかし $B(x)$ の選び方に反する。
　 $b_{i1}(x),i\neq1$ に関しても同様である。
　そこで $b_{1j}(x),b_{i1}(x)=e_1(x){q_i}^{\prime}(x)$ とし、第 $j$ 列から第 $1$ 列の $q_j(x)$ 倍を引き、第 $i$ 行から第 $1$ 行の ${q_i}^{\prime}$ 倍を引けば

$\begin{aligned} C(x)=\begin{bmatrix} e_1(x)&0 &\cdots&0\\ 0 &c_{22}(x)&\cdots&c_{2n}(x)\\ \vdots&\vdots & &\vdots\\ 0 &c_{n2}(x)&\cdots&c_{nn}(x) \end{bmatrix} \end{aligned}$

が得られる。

　さらに数学的帰納法の仮定から $n-1$ 次行列

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} c_{22}(x)&\cdots&c_{2n}(x)\\ \vdots & &\vdots \\ c_{n2}(x)&\cdots&c_{nn}(x) \end{bmatrix} \end{aligned}$

は有限回の基本変形により標準形

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} e_2(x)& & & & & \\ &\ddots& & & & \\ & &e_r(x)& & & \\ & & &0& & \\ & & &&\ddots& \\ & & && &0 \end{bmatrix} \end{aligned}$

に移る。これと同様な変形を $C(x)$ に施せば、 $A(x)$ と対等な行列

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} e_1(x)& & & & & & \\ &e_2(x)& & & & & \\ & &\ddots& & & & \\ & & &e_r(x)& & & \\ & & & &0& & \\ & & & &&\ddots& \\ & & & && &0 \end{bmatrix} \end{aligned}$

が得られる。
　 $e_2(x)$ は $e_1(x)$ で割り切れる。実際、 $e_1(x)$ よりも低次な多項式 $r(x)$ を用いて

$\begin{aligned} e_2(x)=e_1(x)q(x)+r(x) \end{aligned}$

と書けるとする。 $D(x)$ の第2列に第1列の $q(x)$ 倍を加え、次に第2行から第1行を引けば、 $(2,2)$ 成分は $r(x)$ となる。行および列の交換で $r(x)$ を $(1,1)$ 成分に移すことができるが、これは $e_1(x)$ の選び方に反する。したがって $D(x)$ は標準形である。
　次に標準性の一意性を示す。そのために別の定理を先に示す。まず以下の概念を導入する。

行列式因子　 $n$ 次の $x$ -行列 $A(x)$ のすべての $k$ 次小行列式の最大公約数を $A(k)$ の $k$ 次行列式因子と呼び、 $d_k(x)$ で表す。 $k$ 次小行列式がすべて $0$ のときは $d_k(x)=0$ とおく。

対等な $x$ -行列の行列式因子　互いに対等な $n$ 次 $x$ -行列の $n$ 個の行列式因子は一致する。

( $\because$ 　 $n$ 次 $x$ -行列 $A(x)$ に基本変形を施したとき、行列式因子が変わらないことを言えばよい。
　行または列の交換およびある行または列に $K$ の $0$ でない元を掛けることによって行列式因子が変わらないことは明らかである。
　 $A(x)$ の第 $i$ 行に第 $j$ 行( $j\neq i$ )の $c(x)$ 倍を加えて得られる行列を $A^{\prime}(x)$ とし、 $A^{\prime}(x)$ の $k$ 次行列式因子を $d_k^{\prime}(x)$ とする。
　 $A(x)$ の様々な $k$ 次行列式のうち、第 $i$ 行を含まない者は不変である。また第 $i$ 行、第 $j$ 行を共に含むものも不変である。 $k$ 次小行列式 $\Delta(x)$ が第 $i$ 行を含み、第 $j$ 行を含まないものとする。行列 $A^{\prime}(x)$ の対応する位置にある小行列式を $\Delta^{\prime}(x)$ とおく。 $\Delta^{\prime}(x)$ は $\Delta(x)$ とそれに含まれている $A(x)$ の第 $i$ 行を第 $j$ 行で置き換えた $\Delta_1(x)$ の $c(x)$ バイトの和に等しい、すなわち

$\begin{aligned} \Delta^{\prime}(x)=\Delta(x)+c(x)\Delta_1(x) \end{aligned}$

である。 $\\Delta(x),\Delta_1(x)$ は $d_k(x)$ で割り切れるから $\Delta^{\prime}(x)$ も割り切れる。
　以上から $A^{\prime}(x)$ のすべての $k$ 次小行列式は $d_k(x)$ で割り切れることが分かった。したがってその最大公約数 $d_k^{\prime}(x)$ は $d_k(x)$ で割り切れる。基本変形は可逆であるから、 $d_k(x)$ で割り切れる。共に最高次係数は $1$ であるから、 $d_k(x)=d_k^{\prime}(x)$ である。　 $\blacksquare$ )

　これを用いて本来示すべき定理の後半を示す。

　標準形

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} e_1(x)& & & & & & \\ &e_2(x)& & & & & \\ & &\ddots& & & & \\ & & &e_r(x)& & & \\ & & & &0& & \\ & & & &&\ddots& \\ & & & && &0 \end{bmatrix} \end{aligned}$

の行列式因子を $d_1(x),\cdots,d_n(x)$ とすれば、