定番書
を基に線形代数を学び直していく。
今日のまとめ
- 実行列
が実正則行列
によってJordan標準形
に変換されるならば、
の特性解はすべて実数であることが必要十分である。
6. 単因子およびJordan標準形
6.2 Jordan標準形
Jordan標準形の計算 複素線形空間
(1)
(2)
これから、行列のJordan標準形
および変換行列
を求める別の方法が得られる。
が
の固有値であるとき、
の
に対するJordan細胞が1つあることに斉次一次方程式系
の解がスカラー倍を除いてただ1つ存在するから、に対する固有空間
の次元は
に対するJordan細胞の個数に等しい。
例:
とする。特性方程式
を解くと、
を得る。したがって
は対角化可能である。
を解くことで固有ベクトル
を得る。したがって
を得る。
の場合をまとめる。
6.3 最小多項式
次
-行列
に対し、
の線形結合を行列
の多項式と呼ぶ。
変数の多項式
にを代入して得られる行列
を多項式の
での値と呼ぶ。このとき定数項は
とする。
任意の次正方行列
に対し
となるような多項式
が存在する。実際、行列空間
は
次元であるから、
個の行列
の間には自明でない線形関係
が存在する。
を満たすような多項式
のうち、冪次数が最低で、最高次係数が
であるものを
の最小多項式と呼び、
で表す。
(
である。
一方で行列式因子の定義から
と表され、の成分は共通因数を持たない。上式から
を得る。この式は-行列
が
で左から割り切れることを意味する。したがって
である。したがっては
で割り切れる。
とする。
であるから、
-行列
は
で左から割り切れる、すなわち
である。以上から
である。の最高次係数行列は
であるから、
である。の成分は共通因数を持たないから、
でなければならない。したがって
を得る。
)