やりなおしの数学・線形代数篇（25/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

線型代数入門 (基礎数学)

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

Amazon

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
6.　単因子およびJordan標準形
- 6.2　Jordan標準形
- 6.3　最小多項式

今日のまとめ

実行列 $A$ が実正則行列 $P$ によってJordan標準形 $J$ に変換されるならば、 $A$ の特性解はすべて実数であることが必要十分である。

6.　単因子およびJordan標準形

6.2　Jordan標準形

Jordan標準形の計算　複素線形空間 $V$ の任意の線形変換 $T:V\rightarrow V$ に対し、以下のような性質をもつ $T$ -不変部分空間 $V_1,\cdots,V_s$ が存在する：
(1) $V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_s$
(2) $V_i$ において $T$ はただ1つの固有値 $\alpha_i$ を持ち、 $V_i$ の適当な基底 $\boldsymbol{e}_{i,1},\cdots,\boldsymbol{e}_{i,k_{i}}$ に対して

$\begin{aligned} (T-\alpha_i I)\boldsymbol{e}_{i,1}=&\boldsymbol{0},\\ (T-\alpha_i I)\boldsymbol{e}_{i,j}=&\boldsymbol{e}_{i,j-1},j=2,3,\cdots,k_i \end{aligned}$

(3) $V_1,\cdots,V_s$ のうち、その上での $T$ の固有値が $\alpha$ であるものすべての直和を $U_{\alpha}$ とすれば

$\begin{aligned} U_{\alpha}=\{\boldsymbol{x}|\boldsymbol{x}\in V,(T-\alpha I)^{n}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\} \end{aligned}$

　これから、行列 $A$ のJordan標準形 $J$ および変換行列 $P$ を求める別の方法が得られる。
　 $\alpha$ が $A$ の固有値であるとき、 $J$ の $\alpha$ に対するJordan細胞が1つあることに斉次一次方程式系

$\begin{aligned} (A-\alpha I)\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0} \end{aligned}$

の解がスカラー倍を除いてただ1つ存在するから、 $\alpha$ に対する固有空間 $W_{\alpha}$ の次元は $\alpha$ に対するJordan細胞の個数に等しい。

例：
　 $A=\begin{bmatrix}6&-3&-7\\-1&2&1\\5&-3&-6\end{bmatrix}$ とする。特性方程式 $\Phi_A(\boldsymbol{x})=0$ を解くと、
$\begin{aligned} \ &\Phi_A(\boldsymbol{x})=\begin{vmatrix}x-6&3&7\\1&x-2&-1\\-5&3&x+6\end{vmatrix}=0\\ \Leftrightarrow\ &\begin{vmatrix} x-6&3&7\\-5&3&x+6\\0&5x-7&x+1 \end{vmatrix}=0\\ \Leftrightarrow\ &(x-6)\begin{vmatrix} 3&x+6\\5x-7&x+1 \end{vmatrix}+5\begin{vmatrix} 3&7\\5x-7&x+1 \end{vmatrix}=0\\ \Leftrightarrow\ &(x-6)\{3(x+1)-(x+6)(5x-7)\}+5\{3(x+1)-7(5x-7)\}=0\\ \Leftrightarrow\ &(x-6)\{3(x+1)-(x+6)(5x-7)\}+5\{3(x+1)-7(5x-7)\}=0\\ \Leftrightarrow\ &(x-6)(x^2+4x-9)-4(-8x+13)=0\\ \Leftrightarrow\ &x^3-2x^2-x+2=0\\ \Leftrightarrow\ &(x-1)(x+1)(x-2)=0\\ \therefore\ &x=\pm1,2 \end{aligned}$

を得る。したがって $A$ は対角化可能である。
$\begin{aligned} A\boldsymbol{x}=\alpha\boldsymbol{x},\ \alpha=\pm1,2 \end{aligned}$
を解くことで固有ベクトル
$\begin{aligned} \boldsymbol{p}_{1}=\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix} \boldsymbol{p}_{2}=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix} \boldsymbol{p}_{3}=\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix} \end{aligned}$
を得る。したがって
$\begin{aligned} J=\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&2&0\\ 0&0&-1 \end{bmatrix},\ P=\begin{bmatrix}2&1&1\\1&-1&0\\1&1&1\end{bmatrix} \end{aligned}$
を得る。　

　 $K=\mathbb{R}$ の場合をまとめる。

実行列のJordan標準形　実行列 $A$ が実正則行列 $P$ によってJordan標準形 $J$ に変換されるならば、 $A$ の特性解はすべて実数であることが必要十分である。

6.3　最小多項式

　 $n$ 次 $K$ -行列 $A$ に対し、 $I,A,A^2,\cdots,A^k,k\in\mathbb{N}$ の線形結合を行列 $A$ の多項式と呼ぶ。
　変数 $x$ の多項式

$\begin{aligned} f(x)=a_0x^k+\cdots+a_{k-1}x+a_k \end{aligned}$

に $x=A$ を代入して得られる行列

$\begin{aligned} f(A)=a_0 A^k+\cdots+a_{k-1}A+a_k \end{aligned}$

を多項式 $f(x)$ の $A$ での値と呼ぶ。このとき定数項は $a_k A^{0}=a_k I$ とする。

行列の多項式の性質
(1) $\ A$ を行列とする。2つの多項式 $f(x),g(x)$ に対して

$\begin{aligned} (f+g)(A)=f(A)+g(A),\ (fg)(A)=f(A)g(A) \end{aligned}$

(2) $\ A$ を行列、 $P$ を $A$ と同じ次数の正則行列ならば

$\begin{aligned} f\left(P^{-1}AP\right)=P^{-1}f(A)P \end{aligned}$

(3) $\ A,B$ が必ずしも次数が等しくない正方行列だとするとき

$\begin{aligned} f(A\oplus B)=f(A)\oplus f(B) \end{aligned}$

( $\because$ 　(1)は行列の加法に対する性質から明らかである。(2)は $(P^{-1}AP)^{i}=P^{-1}A^{i}P$ から明らかである。(3)は $(A\oplus B)^{i}=A^{i}\oplus{B}^{i}$ から明らかである。　 $\blacksquare$ )

　任意の $n$ 次正方行列 $A$ に対し $f(A)=O$ となるような多項式 $f(x)$ が存在する。実際、行列空間 $M_n(K)$ は $n^2$ 次元であるから、 $n^2+1$ 個の行列 $I,A,A^2,\cdots,A^{n^2}$ の間には自明でない線形関係

$\begin{aligned} a_0 A^{n^2}+a_1 A^{n^2-1}+\cdots+a_{k-1}A+a_0 I=O \end{aligned}$

が存在する。
　 $f(A)=O$ を満たすような多項式 $f(x)$ のうち、冪次数が最低で、最高次係数が $1$ であるものを $A$ の最小多項式と呼び、 $\varphi_A(x)$ で表す。

最小多項式と多項式　 $f(A)=O$ ならば $f(x)$ は最小多項式 $\varphi_A(x)$ で割り切れる。

( $\because$ 　 $f(x)=q(x)\varphi_A(x)+r(x)$ を満たすような多項式 $g(x)$ および冪次数が $\varphi_A(x)$ のそれよりも小さい多項式 $r(x)$ (もしくは $r(x)=0$ )が存在する。
　 $r(A)=f(A)=O$ となるから、 $\varphi_A(x)$ の定義により、 $r(x)=0$ でなければならない。　 $\blacksquare$ )