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一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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統計学のための線形代数(024/X)

 統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

を基により高等な線形代数を学ぶ。

4. 行列の因数分解と行列ノルム

4.6 Schur分解

 もしm次正方行列A固有値がすべて実数ならば、対応する実固有ベクトルが存在する。この場合、前述した\mathrm{Schur}分解の条件を満たす実行列Xを見つけることができる。



\mathrm{Schur}分解(実固有値の場合) すべての固有値が実数であるようなm次正方行列Aについて、X^{\prime}AX=Tを満たすようなm次直交行列が存在する。ここでTは上三角行列である。

例:
 


\begin{aligned}
A=\begin{bmatrix}
5&-3&3\\
4&-2&3\\
4&-4&5
\end{bmatrix}
\end{aligned}

\mathrm{Schur}分解する。
 この行列の固有値およびそれらに対応する固有ベクトルはそれぞれ\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=5,および


\begin{aligned}
\boldsymbol{x}_1&=(0,1,1)^{\prime},\\
\boldsymbol{x}_2&=(1,1,0)^{\prime},\\
\boldsymbol{x}_3&=(1,1,1)^{\prime}
\end{aligned}

である。これらを基に


\begin{aligned}
A=XTX^{\prime}
\end{aligned}

を満たすような直交行列Xおよび上三角行列Tを見つける。
 まず最初の列が\boldsymbol{x}_1を正規化したものを持つ直交行列Y,たとえば


\begin{aligned}
Y=\begin{bmatrix}
0&0&1\\
\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&0\\
\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&0
\end{bmatrix}
\end{aligned}

と設定する。このとき


\begin{aligned}
Y^{\prime}AY&=\begin{bmatrix}
0&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\
0&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\
1&0&0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
5&-3&3\\
4&-2&3\\
4&-4&5
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
0&0&1\\
\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&0\\
\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&0
\end{bmatrix}\\
&=\begin{bmatrix}
1&-7&4\sqrt{2}\\
0&2&0\\
0&-3\sqrt{2}&5
\end{bmatrix}
\end{aligned}

が成り立つ。
 次に2次正方行列


\begin{aligned}
B=\begin{bmatrix}
2&0\\
 -3\sqrt{2}&5
\end{bmatrix}
\end{aligned}

は正規固有ベクトル\left(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}},\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\right)を持ち、直交行列


\begin{aligned}
W=\begin{bmatrix}
\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}}&-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\\
\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}}
\end{bmatrix}
\end{aligned}

を構成でき、


\begin{aligned}
W^{\prime}BW=\begin{bmatrix}
2&3\sqrt{2}\\
0&5
\end{bmatrix}
\end{aligned}

である。
 以上から、


\begin{aligned}
X=Y\begin{bmatrix}1&\boldsymbol{0}^{\prime}\\\boldsymbol{0}&W\end{bmatrix}&=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{6}}}\begin{bmatrix}
0&2&\sqrt{2}\\
\sqrt{3}&1&-\sqrt{2}\\
\sqrt{3}&-1&\sqrt{2}\\
\end{bmatrix},\\
T=X^{\prime}AX&=\begin{bmatrix}1&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}}&\displaystyle{\frac{22}{\sqrt{6}}}\\0&2&3\sqrt{2}\\0&0&5\end{bmatrix}
\end{aligned}

なお\mathrm{Schur}分解におけるX,Tは一意ではない。

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