統計学のための線形代数（024/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

統計学のための線形代数

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を基により高等な線形代数を学ぶ。

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4.　行列の因数分解と行列ノルム
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4.　行列の因数分解と行列ノルム

4.6　Schur分解

　もし $m$ 次正方行列 $A$ の固有値がすべて実数ならば、対応する実固有ベクトルが存在する。この場合、前述した $\mathrm{Schur}$ 分解の条件を満たす実行列 $X$ を見つけることができる。

$\mathrm{Schur}$ 分解(実固有値の場合)　すべての固有値が実数であるような $m$ 次正方行列 $A$ について、 $X^{\prime}AX=T$ を満たすような $m$ 次直交行列が存在する。ここで $T$ は上三角行列である。

例：
　
$\begin{aligned} A=\begin{bmatrix} 5&-3&3\\ 4&-2&3\\ 4&-4&5 \end{bmatrix} \end{aligned}$
を $\mathrm{Schur}$ 分解する。
　この行列の固有値およびそれらに対応する固有ベクトルはそれぞれ $\lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=5,$ および
$\begin{aligned} \boldsymbol{x}_1&=(0,1,1)^{\prime},\\ \boldsymbol{x}_2&=(1,1,0)^{\prime},\\ \boldsymbol{x}_3&=(1,1,1)^{\prime} \end{aligned}$
である。これらを基に
$\begin{aligned} A=XTX^{\prime} \end{aligned}$
を満たすような直交行列 $X$ および上三角行列 $T$ を見つける。
　まず最初の列が $\boldsymbol{x}_1$ を正規化したものを持つ直交行列 $Y,$ たとえば
$\begin{aligned} Y=\begin{bmatrix} 0&0&1\\ \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&0\\ \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&0 \end{bmatrix} \end{aligned}$
と設定する。このとき
$\begin{aligned} Y^{\prime}AY&=\begin{bmatrix} 0&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ 0&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}\\ 1&0&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5&-3&3\\ 4&-2&3\\ 4&-4&5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&0&1\\ \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&0\\ \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&-\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2}}}&0 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 1&-7&4\sqrt{2}\\ 0&2&0\\ 0&-3\sqrt{2}&5 \end{bmatrix} \end{aligned}$
が成り立つ。
　次に $2$ 次正方行列
$\begin{aligned} B=\begin{bmatrix} 2&0\\ -3\sqrt{2}&5 \end{bmatrix} \end{aligned}$
は正規固有ベクトル $\left(\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}},\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\right)$ を持ち、直交行列
$\begin{aligned} W=\begin{bmatrix} \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}}&-\displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\\ \displaystyle{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}} \end{bmatrix} \end{aligned}$
を構成でき、
$\begin{aligned} W^{\prime}BW=\begin{bmatrix} 2&3\sqrt{2}\\ 0&5 \end{bmatrix} \end{aligned}$
である。
　以上から、
$\begin{aligned} X=Y\begin{bmatrix}1&\boldsymbol{0}^{\prime}\\\boldsymbol{0}&W\end{bmatrix}&=\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{6}}}\begin{bmatrix} 0&2&\sqrt{2}\\ \sqrt{3}&1&-\sqrt{2}\\ \sqrt{3}&-1&\sqrt{2}\\ \end{bmatrix},\\ T=X^{\prime}AX&=\begin{bmatrix}1&\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{3}}}&\displaystyle{\frac{22}{\sqrt{6}}}\\0&2&3\sqrt{2}\\0&0&5\end{bmatrix} \end{aligned}$
なお $\mathrm{Schur}$ 分解における $X,T$ は一意ではない。

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