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やりなおしの数学・線形代数篇（01/26）

数学 やりなおしの数学 線形代数

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を基に線型代数を学び直していく。

1.　行列の導入

1.1　行列の定義

　(m,n)型の行列とはm,n\in\mathbb{N}に対してmn個の複素数a_{mn}を縦m個、横n個並べた表を指す。すなわち

\begin{aligned} A=(a_{ij})=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \end{aligned}
　特にm=nの場合、正方行列という。

1.2　行列の加減乗除の定義

1.2.1　行列の加法の定義

　行と列の数が等しい行列

\begin{aligned} A=(a_{ij})=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix},\ B=(b_{ij})=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\ \end{bmatrix} \end{aligned}

に対して

\begin{aligned} A+B=(a_{ij}+b_{ij})=\begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \\ \end{bmatrix} \end{aligned}

1.2.2　行列の減法の定義

　-A=(-1)A=(-a_{ij})と定義し、行列における減法A-Bを

\begin{aligned} A-B:=A+(-B) \end{aligned}
で定義する。

1.2.3　零行列の定義

　行列の加減を定義したところで実数の0に相当するものとして零行列

\begin{aligned} O_{mn}=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}

を定義する。
　加法の定義から明らかに、任意の行列Aとそれと行および列の数が等しい零行列に対して

\begin{aligned} A+O=O+A=A \end{aligned}

が成り立つ。

1.2.5　行列のスカラー倍

　行列A=(a_{ij})およびc\in\mathbb{C}に対して行列のスカラー倍cAを

\begin{aligned} cA=(c\cdot a_{ij})=\begin{bmatrix} ca_{11} & ca_{2} & \cdots & ca_{1n} \\ ca_{21} & ca_{22} & \cdots & ca_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ ca_{m1} & ca_{m2} & \cdots & ca_{mn} \\ \end{bmatrix} \end{aligned}

で定義する。

1.3　行列の加法で成り立つ法則

　以下、A=(a_{mn}),\ B=(b_{mn}),\ C=(c_{mn}),\ c,d\in\mathbb{C}とする。

1.3.1　結合法則

\begin{aligned} (A+B)+C=A+(B+C) \end{aligned}

1.3.2　交換法則

\begin{aligned} A+B=B+A \end{aligned}

1.3.3　スカラー倍の性質①

\begin{aligned} c(A+B)=cA+cB \end{aligned}

1.3.4　スカラー倍の性質②分配法則

\begin{aligned} (c+d)A=cA+dA \end{aligned}

1.3.5　スカラー倍の性質③

\begin{aligned} (cd)A=c(dA) \end{aligned}

1.3.6　スカラー倍の性質④

\begin{aligned} 1A=A,0A=O \end{aligned}

1.4　行列の積

　行列

\begin{aligned} A_{lm}=(a_{lm})=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ a_{l1} & a_{l2} & \cdots & a_{lm} \\ \end{bmatrix},\ B_{mn}=(b_{mn})=\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\ \end{bmatrix} \end{aligned}

に対して積ABを

\begin{aligned} AB=(ab_{ij}),\ ab_{ij}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{l}a_{ik}b_{kj}} \end{aligned}

で定義する。

1.4.1　結合法則

\begin{aligned} (AB)C=A(BC) \end{aligned}

1.4.2　分配法則①

\begin{aligned} (A+B)C=AC+BC \end{aligned}

1.4.3　分配法則②

\begin{aligned} A(B+C)=AB+AC \end{aligned}

1.4.4　零行列との積

\begin{aligned} AO=O=OA \end{aligned}

1.4.5　スカラー倍と行列の積

\begin{aligned} c(AB)=(cA)B=A(cB) \end{aligned}

1.5　行列の可換性

　行列の積では必ずしもAB=BAは成り立たない。そのため

\begin{aligned} AB=BA \end{aligned}
が成り立つときを特にAとBは可換であるという。

1.6　単位行列

　行列の積について単位元を定義すべく、n次単位行列を

\begin{aligned} I_n=(\delta_{ij}),\ \delta_{ij}=\begin{cases} 1,& i=j \\ 0,& i\neq j \\ \end{cases} \end{aligned}

で定義する。定義から明らかに行列A_=(a_{nn})に対して

\begin{aligned} AI_{n}=I_{n}A=A \end{aligned}
が成り立つ。

1.7　線型結合

　x_i\in\mathbb{R},\ i=1,2,\cdots, nおよびi番目の成分が1でそれ以外が0であるようなベクトル\boldsymbol{e}_i\in\mathbb{R}^{n\times1}に対して

\begin{aligned} x_1 \boldsymbol{e}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{e}_n \end{aligned}
の形で書けるベクトルを線型結合という。

1.8　複素共役行列

　行列A=(a_{ij}),\ a_{ij}=b_{ij}+ic_{ij},i=\sqrt{-1}に対して行列

\begin{aligned} \bar{A}=(\bar{a}_{ij}),\ \bar{a}_{ij}=b_{ij}-ic_{ij} \end{aligned}
を複素共役行列という。

1.8.1　複素共役行列の性質①

\begin{aligned} \bar{\bar{A}}=A \end{aligned}

1.8.2　複素共役行列の性質②

\begin{aligned} \overline{A+B}=\bar{A}+\bar{B} \end{aligned}

1.8.3　複素共役行列の性質③

\begin{aligned} \overline{cA}=\bar{c}\bar{A} \end{aligned}

1.8.4　複素共役行列の性質④

\begin{aligned} \overline{AB}=\bar{A}\bar{B} \end{aligned}

1.9　転置行列

　行列

\begin{aligned} A_{mn}=(a_{mn})=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \end{aligned}

に対して行列

\begin{aligned} {}^{t}A_{mn}=(a_{nm})=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \end{aligned}
を行列Aの転置行列という。

1.9.1　転置行列の性質
  • {}^{t}({}^{t}A)=A
  • {}^{t}(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B
  • {}^{t}(cA) =c({}^{t}A)
  • {}^{t}(AB)={}^{t}B{}^{t}A

1.10　逆行列の定義

　正方行列A=(a_{ij}),i=1,\cdots,n,j=1,\cdots,nに対して{}^{\exists}X\ \ s.t.\ \ XA=AX=I_{n}ならばAは正則であるといい、このときXを逆行列という。

1.10.1　逆行列の性質
  • 逆行列は存在するならば一意である。

（\because　n次正方行列Aが正則であるとし、X,YがそれぞれAの逆行列だとする。このとき逆行列および単位行列の定義から

\begin{aligned} X=XI_{n}=X(AY) \end{aligned}
である。行列の結合法則から
\begin{aligned} X=(XA)Y=I_{n}Y=Y \end{aligned}
が成り立つ。\blacksquare）

  • 行列Aが正則ならばA^{-1}も正則であり、(A^{-1})^{-1}=Aである。

（\because　行列Aが正則であると仮定する。このとき正則の定義から{}^{\exists}A^{-1}\ \ s.t.\ \ A^{-1}A=AA^{-1}=I_nが成り立つ。
　このA^{-1}A=AA^{-1}=I_nにおいてA^{-1}に注目すれば、これはA^{-1}に逆行列が存在し、それがAであることに他ならない。したがって

\begin{aligned} (A^{-1} )^{-1}=A \end{aligned}
が成り立つ。\blacksquare）

  • 行列A,Bが正則ならばその積ABも正則であり、(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}が成り立つ。

（\because　行列A,Bが正則であると仮定する。このとき

\begin{aligned} {}^{\exists}A^{-1} ,{}^{\exists}B^{-1}\ \ s.t.\ \ A^{-1} A=AA^{-1}=I,B^{-1}B=BB^{-1}=I \end{aligned}

である。ここでIは単位行列である。以上から

\begin{aligned} &(B^{-1} A^{-1})AB=B^{-1}(AA^{-1})B=B^{-1}IB=B^{-1}B=I,\\ &AB(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1}) A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I \end{aligned}

が成り立つ。したがって ABは正則でその逆行列はB^{-1}A^{-1}である。　\blacksquare）

  • 行列Aが正則ならばその転置行列{}^{t}Aも正則であり、転置行列の逆行列はもとの行列の逆行列の転置行列である。すなわち({}^{t}A)^{-1}={}^{t}{A^{-1}}である。

（\because　行列Aが正則であると仮定する。このとき{}^{\exists}A^{-1}\ \ s.t.\ \ A^{-1}A=AA^{-1}=Iである。したがって

\begin{aligned} &{}^{t}(AA^{-1}) ={}^{t}(A^{-1}) {}^{t}A={}^{t}I=I,\\ &{}^{t}(A^{-1}A)={}^{t}A{}^{t}(A^{-1}) ={}^{t}I=I,\\ \therefore&\ {}^{t}(A^{-1}) {}^{t}A={}^{t}A{}^{t}(A^{-1})=I \end{aligned}

である。　\blacksquare）

  • 行列Aについて
    \begin{aligned}A=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\O & A_{22}\end{bmatrix}\end{aligned}
    ならばAは正則で
    \begin{aligned}A^{-1}=\begin{bmatrix}{A_{11}}^{-1} & -{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1} \\O & {A_{22}}^{-1}\end{bmatrix}\end{aligned}
    である。

（\because　実際に計算してみればよい。行列Aが

\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\O & A_{22}\end{bmatrix}\end{aligned}
と書けるならば、
\begin{aligned} A\begin{bmatrix}{A_{11}}^{-1} & -{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1} \\O & {A_{22}}^{-1}\end{bmatrix}=&\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\O & A_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}{A_{11}}^{-1} & -{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1} \\O & {A_{22}}^{-1}\end{bmatrix}\\ =&\begin{bmatrix}A_{11}{A_{11}}^{-1}+A_{12}O & A_{11}(-{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1})+A_{12}{A_{22}}^{-1} \\O{A_{11}}^{-1}+A_{22}O & O(-{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1})+A_{22}{A_{22}}^{-1}\end{bmatrix}\\ =&\begin{bmatrix}I & O \\O & I\end{bmatrix}\\ =&I \end{aligned}
である。また
\begin{aligned} \begin{bmatrix}{A_{11}}^{-1} & -{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1} \\O & {A_{22}}^{-1}\end{bmatrix}A=&\begin{bmatrix}{A_{11}}^{-1} & -{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1} \\O & {A_{22}}^{-1}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\O & A_{22}\end{bmatrix}\\ =&\begin{bmatrix}{A_{11}}^{-1}A_{11}-{A_{11}}^{-1}A_{12}{A_{22}}^{-1}O & {A_{11}}^{-1}A_{12}-{A_{11}}^{-1}A_{12}{A_{22}}^{-1}A_{22} \\ OA_{11}+{A_{22}}^{-1}O & OA_{12}+{A_{22}}^{-1}A_{22} \end{bmatrix}\\ =&\begin{bmatrix}I & O \\O & I\end{bmatrix}\\ =&I \end{aligned}
以上から
\begin{aligned}A^{-1}=\begin{bmatrix}{A_{11}}^{-1} & -{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1} \\O & {A_{22}}^{-1}\end{bmatrix}\end{aligned}
である。

  • 正方行列Aの対称区分け
    \begin{aligned}A=\begin{bmatrix}A_{1} & O & \cdots & O \\O & A_{2} & \cdots & O\\\ldots & \ddots & \ddots & \ldots\\O & O & \cdots & A_{p}\end{bmatrix}\end{aligned}
    が正則であるためには、A_{1},\cdots, A_{p}がすべて正則であることが必要十分である。またその逆行列はまたその逆行列は

\begin{aligned}A^{-1}=\begin{bmatrix}{A_{1}}^{-1} & O & \cdots & O \\O & {A_{2}}^{-1} & \cdots & O\\\ldots & \ddots & \ddots & \ldots\\O & O & \cdots & {A_{p}}^{-1}\end{bmatrix}\end{aligned}
（\because　行列Aが正則である仮定する。このときAには逆行列が存在し、それを
\begin{aligned}B=\begin{bmatrix}B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1p} \\B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2p}\\\ldots & \ddots & \ddots & \ldots\\B_{p1} & B_{p2} & \cdots & B_{pp}\end{bmatrix}\end{aligned}
とおくと、

\begin{aligned} AB&=\begin{bmatrix} A_{1} & O & \cdots & O \\ O & A_{2} & \cdots & O\\ \ldots & \ddots & \ddots & \ldots\\ O & O & \cdots & A_{p} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1p} \\ B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2p}\\ \ldots & \ddots & \ddots & \ldots\\ B_{p1} & B_{p2} & \cdots & B_{pp}\end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} A_{1}B_{12}+OB_{22}+\cdots+OB_{p2} & A_{1}B_{12}+OB_{22}+\cdots+OB_{p2} & \cdots & A_{1}B_{1p}O B_{2p}+\cdots+O B_{pp}\\ OB_{11}+A_{2}B_{21}+\cdots+OB_{p1} & OB_{12}+A_{2}B_{22}+\cdots+OB_{p2} & \cdots & OB_{1p}+A_{2}B_{2p}+\cdots+OB_{pp}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\ OB_{11}+OB_{21}+\cdots+A_{p}B_{p1} & OB_{12}+OB_{22}+\cdots+A_{p}B_{p2} & \cdots & OB_{1p}+OB_{2p}+\cdots+A_{p}B_{pp} \end{bmatrix} \end{aligned}

これを解くことで

\begin{aligned} B_{ij}=\begin{cases} {A_{i}}^{-1},& i=j \\ O,& i\neq j \\ \end{cases} \end{aligned}
が得られる。
　逆にA_{1},\cdots A_{p}がいずれも正則であると仮定する。これらの逆行列をそれぞれ{A_{1}}^{-1},\cdots,{A_{p}}^{-1}とすれば、
\begin{aligned} &A\begin{bmatrix}{A_{1}}^{-1} & O & \cdots & O \\O & {A_{2}}^{-1} & \cdots & O\\\ldots & \ddots & \ddots & \ldots\\O & O & \cdots & {A_{p}}^{-1}\end{bmatrix}=I\\ &\begin{bmatrix}{A_{1}}^{-1} & O & \cdots & O \\O & {A_{2}}^{-1} & \cdots & O\\\ldots & \ddots & \ddots & \ldots\\O & O & \cdots & {A_{p}}^{-1}\end{bmatrix} A=I\\ \end{aligned}
である。　\blacksquare）

1.11　特殊な行列

1.11.1　対角行列

　正方行列A=(a_{ij})において[tex:a_{ii},i=1,2,\cdots,nを対角成分と呼ぶ。対角成分以外がすべて0であるような行列を対角行列という。対角行列が正則であるためにはa_{ii}\neq0,i=1,2,\cdots,nであればよい。

1.11.2　スカラー行列

　c\in\mathbb{C}に対して単位行列Iを用いてcIの形で書くことのできる行列をスカラー行列という。

1.12　トレース

　正方行列A=(a_{ij}),\ i=1,2,\cdots,n,j=1,2,\cdots,nの対角成分の和をAの固有和（trace）といい、

\begin{aligned} tr A=\displastyle{\sum_{i=1}^{n}a_{ii}} \end{aligned}
　トレースにおいては
\begin{aligned} tr(cA)&=c tr(A)\ \ c\in\mathbb{C},\\ tr(A+B)&=tr(A)+tr(B),\\ tr(AB)&=tr(BA) \end{aligned}
が成り立つ。

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