定番書
を基に線型代数を学び直していく。
- 1. 行列の導入
1. 行列の導入
1.2 行列の加減乗除の定義
1.2.1 行列の加法の定義
行と列の数が等しい行列
に対して
1.2.2 行列の減法の定義
と定義し、行列における減法
を
1.2.3 零行列の定義
行列の加減を定義したところで実数のに相当するものとして零行列
を定義する。
加法の定義から明らかに、任意の行列とそれと行および列の数が等しい零行列に対して
が成り立つ。
1.3 行列の加法で成り立つ法則
以下、とする。
1.3.1 結合法則
1.3.2 交換法則
1.3.3 スカラー倍の性質①
1.3.4 スカラー倍の性質②分配法則
1.3.5 スカラー倍の性質③
1.3.6 スカラー倍の性質④
1.5 行列の可換性
行列の積では必ずしもは成り立たない。そのため
1.7 線型結合
および
番目の成分が
でそれ以外が
であるようなベクトル
に対して
1.9 転置行列
行列
に対して行列
1.9.1 転置行列の性質
1.10 逆行列の定義
正方行列に対して
ならば
は正則であるといい、このとき
を逆行列という。
1.10.1 逆行列の性質
- 逆行列は存在するならば一意である。
(
次正方行列
が正則であるとし、
がそれぞれ
の逆行列だとする。このとき逆行列および単位行列の定義から
- 行列
が正則ならば
も正則であり、
である。
( 行列
が正則であると仮定する。このとき正則の定義から
が成り立つ。
このにおいて
に注目すれば、これは
に逆行列が存在し、それが
であることに他ならない。したがって
- 行列
が正則ならばその積
も正則であり、
が成り立つ。
( 行列
が正則であると仮定する。このとき
である。ここでは単位行列である。以上から
が成り立つ。したがって は正則でその逆行列は
である。
)
( 行列
が正則であると仮定する。このとき
である。したがって
である。 )
- 行列
について
ならばは正則で
である。
( 実際に計算してみればよい。行列
が
これを解くことで
逆に
1.11 特殊な行列
1.11.1 対角行列
正方行列を対角成分と呼ぶ。対角成分以外がすべて
であるような行列を対角行列という。対角行列が正則であるためには
であればよい。
1.12 トレース
正方行列の対角成分の和を
の固有和(trace)といい、