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やりなおしの数学・線形代数篇(001/X)

 定番書

を基に線型代数を学び直していく。

1. 行列の導入

1.1 行列の定義

 (m,n)型の行列とはm,n\in\mathbb{N}に対してmn個の複素数a_{mn}を縦m個、横n個並べた表を指す。すなわち


\begin{aligned}
A=(a_{ij})=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots  & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
 特にm=nの場合、正方行列という。

1.2 行列の加減乗除の定義

1.2.1 行列の加法の定義

 行と列の数が等しい行列


\begin{aligned}
A=(a_{ij})=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots  & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix},\ B=(b_{ij})=\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \ddots  & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}

に対して


\begin{aligned}
A+B=(a_{ij}+b_{ij})=\begin{bmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n} \\
\vdots & \ddots  & \ddots & \vdots \\
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}

1.2.2 行列の減法の定義

 -A=(-1)A=(-a_{ij})と定義し、行列における減法A-B


\begin{aligned}
A-B:=A+(-B)
\end{aligned}
で定義する。

1.2.3 零行列の定義

 行列の加減を定義したところで実数の0に相当するものとして零行列


\begin{aligned}
O_{mn}=\begin{bmatrix}
0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}

を定義する。
 加法の定義から明らかに、任意の行列Aとそれと行および列の数が等しい零行列に対して


\begin{aligned}
A+O=O+A=A
\end{aligned}

が成り立つ。

1.2.5 行列のスカラー

 行列A=(a_{ij})およびc\in\mathbb{C}に対して行列のスカラーcA


\begin{aligned}
cA=(c\cdot a_{ij})=\begin{bmatrix}
ca_{11} & ca_{2} & \cdots & ca_{1n} \\
ca_{21} & ca_{22} & \cdots & ca_{2n} \\
\vdots & \ddots  & \ddots & \vdots \\
ca_{m1} & ca_{m2} & \cdots & ca_{mn} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}

で定義する。

1.3 行列の加法で成り立つ法則

 以下、A=(a_{mn}),\ B=(b_{mn}),\ C=(c_{mn}),\ c,d\in\mathbb{C}とする。

1.3.1 結合法則


\begin{aligned}
(A+B)+C=A+(B+C)
\end{aligned}

1.3.2 交換法則


\begin{aligned}
A+B=B+A
\end{aligned}

1.3.3 スカラー倍の性質①


\begin{aligned}
c(A+B)=cA+cB
\end{aligned}

1.3.4 スカラー倍の性質②分配法則


\begin{aligned}
(c+d)A=cA+dA
\end{aligned}

1.3.5 スカラー倍の性質③


\begin{aligned}
(cd)A=c(dA)
\end{aligned}

1.3.6 スカラー倍の性質④


\begin{aligned}
1A=A,0A=O
\end{aligned}

1.4 行列の積

 行列


\begin{aligned}
A_{lm}=(a_{lm})=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\
\vdots & \ddots  & \ddots & \vdots \\
a_{l1} & a_{l2} & \cdots & a_{lm} \\
\end{bmatrix},\ B_{mn}=(b_{mn})=\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \ddots  & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}

に対して積AB


\begin{aligned}
AB=(ab_{ij}),\ ab_{ij}=\displaystyle{\sum_{k=1}^{l}a_{ik}b_{kj}}
\end{aligned}

で定義する。

1.4.1 結合法則


\begin{aligned}
(AB)C=A(BC)
\end{aligned}

1.4.2 分配法則①


\begin{aligned}
(A+B)C=AC+BC
\end{aligned}

1.4.3 分配法則②


\begin{aligned}
A(B+C)=AB+AC
\end{aligned}

1.4.4 零行列との積


\begin{aligned}
AO=O=OA
\end{aligned}

1.4.5 スカラー倍と行列の積


\begin{aligned}
c(AB)=(cA)B=A(cB)
\end{aligned}

1.5 行列の可換性

 行列の積では必ずしもAB=BAは成り立たない。そのため


\begin{aligned}
AB=BA
\end{aligned}
が成り立つときを特にABは可換であるという。

1.6 単位行列

 行列の積について単位元を定義すべく、n単位行列


\begin{aligned}
I_n=(\delta_{ij}),\ \delta_{ij}=\begin{cases} 
   1,& i=j \\
   0,& i\neq j \\
\end{cases}
\end{aligned}

で定義する。定義から明らかに行列A_=(a_{nn})に対して


\begin{aligned}
AI_{n}=I_{n}A=A
\end{aligned}
が成り立つ。

1.7 線型結合

 x_i\in\mathbb{R},\ i=1,2,\cdots, nおよびi番目の成分が1でそれ以外が0であるようなベクトル\boldsymbol{e}_i\in\mathbb{R}^{n\times1}に対して


\begin{aligned}
x_1 \boldsymbol{e}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{e}_n
\end{aligned}
の形で書けるベクトルを線型結合という。

1.8 複素共役行列

 行列A=(a_{ij}),\ a_{ij}=b_{ij}+ic_{ij},i=\sqrt{-1}に対して行列


\begin{aligned}
\bar{A}=(\bar{a}_{ij}),\ \bar{a}_{ij}=b_{ij}-ic_{ij}
\end{aligned}
複素共役行列という。

1.8.1 複素共役行列の性質①


\begin{aligned}
\bar{\bar{A}}=A
\end{aligned}

1.8.2 複素共役行列の性質②


\begin{aligned}
\overline{A+B}=\bar{A}+\bar{B}
\end{aligned}

1.8.3 複素共役行列の性質③


\begin{aligned}
\overline{cA}=\bar{c}\bar{A}
\end{aligned}

1.8.4 複素共役行列の性質④


\begin{aligned}
\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}
\end{aligned}

1.9 転置行列

 行列


\begin{aligned}
A_{mn}=(a_{mn})=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \ddots  & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}

に対して行列


\begin{aligned}
{}^{t}A_{mn}=(a_{nm})=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1} \\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2} \\
\vdots & \ddots  & \ddots & \vdots \\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn} \\
\end{bmatrix}
\end{aligned}
を行列Aの転置行列という。

1.9.1 転置行列の性質
  • {}^{t}({}^{t}A)=A
  • {}^{t}(A+B)={}^{t}A+{}^{t}B
  • {}^{t}(cA) =c({}^{t}A)
  • {}^{t}(AB)={}^{t}B{}^{t}A

1.10 逆行列の定義

 正方行列A=(a_{ij}),i=1,\cdots,n,j=1,\cdots,nに対して{}^{\exists}X\ \ s.t.\ \ XA=AX=I_{n}ならばAは正則であるといい、このときX逆行列という。

1.10.1 逆行列の性質
  • 逆行列は存在するならば一意である。

\because n次正方行列Aが正則であるとし、X,YがそれぞれA逆行列だとする。このとき逆行列および単位行列の定義から


\begin{aligned}
X=XI_{n}=X(AY)
\end{aligned}
である。行列の結合法則から

\begin{aligned}
X=(XA)Y=I_{n}Y=Y
\end{aligned}
が成り立つ。\blacksquare

  • 行列Aが正則ならばA^{-1}も正則であり、(A^{-1})^{-1}=Aである。

\because 行列Aが正則であると仮定する。このとき正則の定義から{}^{\exists}A^{-1}\ \ s.t.\ \ A^{-1}A=AA^{-1}=I_nが成り立つ。
 このA^{-1}A=AA^{-1}=I_nにおいてA^{-1}に注目すれば、これはA^{-1}逆行列が存在し、それがAであることに他ならない。したがって


\begin{aligned}
(A^{-1} )^{-1}=A
\end{aligned}
が成り立つ。\blacksquare

  • 行列A,Bが正則ならばその積ABも正則であり、(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}が成り立つ。

\because 行列A,Bが正則であると仮定する。このとき


\begin{aligned}
{}^{\exists}A^{-1} ,{}^{\exists}B^{-1}\ \ s.t.\ \ A^{-1} A=AA^{-1}=I,B^{-1}B=BB^{-1}=I
\end{aligned}

である。ここでI単位行列である。以上から


\begin{aligned}
&(B^{-1} A^{-1})AB=B^{-1}(AA^{-1})B=B^{-1}IB=B^{-1}B=I,\\
&AB(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1}) A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I
\end{aligned}

が成り立つ。したがって ABは正則でその逆行列B^{-1}A^{-1}である。 \blacksquare

  • 行列Aが正則ならばその転置行列{}^{t}Aも正則であり、転置行列の逆行列はもとの行列の逆行列の転置行列である。すなわち({}^{t}A)^{-1}={}^{t}{A^{-1}}である。

\because 行列Aが正則であると仮定する。このとき{}^{\exists}A^{-1}\ \ s.t.\ \ A^{-1}A=AA^{-1}=Iである。したがって


\begin{aligned}
&{}^{t}(AA^{-1}) ={}^{t}(A^{-1}) {}^{t}A={}^{t}I=I,\\
&{}^{t}(A^{-1}A)={}^{t}A{}^{t}(A^{-1}) ={}^{t}I=I,\\
\therefore&\ {}^{t}(A^{-1}) {}^{t}A={}^{t}A{}^{t}(A^{-1})=I
\end{aligned}

である。 \blacksquare

  • 行列Aについて
    \begin{aligned}A=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\O & A_{22}\end{bmatrix}\end{aligned}
    ならばAは正則で
    \begin{aligned}A^{-1}=\begin{bmatrix}{A_{11}}^{-1} & -{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1} \\O & {A_{22}}^{-1}\end{bmatrix}\end{aligned}
    である。

\because 実際に計算してみればよい。行列A

\begin{aligned}A=\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\O & A_{22}\end{bmatrix}\end{aligned}
と書けるならば、

\begin{aligned}
A\begin{bmatrix}{A_{11}}^{-1} & -{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1} \\O & {A_{22}}^{-1}\end{bmatrix}=&\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\O & A_{22}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}{A_{11}}^{-1} & -{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1} \\O & {A_{22}}^{-1}\end{bmatrix}\\
=&\begin{bmatrix}A_{11}{A_{11}}^{-1}+A_{12}O & A_{11}(-{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1})+A_{12}{A_{22}}^{-1} \\O{A_{11}}^{-1}+A_{22}O & O(-{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1})+A_{22}{A_{22}}^{-1}\end{bmatrix}\\
=&\begin{bmatrix}I & O \\O & I\end{bmatrix}\\
=&I
\end{aligned}
である。また

\begin{aligned}
\begin{bmatrix}{A_{11}}^{-1} & -{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1} \\O & {A_{22}}^{-1}\end{bmatrix}A=&\begin{bmatrix}{A_{11}}^{-1} & -{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1} \\O & {A_{22}}^{-1}\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}A_{11} & A_{12} \\O & A_{22}\end{bmatrix}\\
=&\begin{bmatrix}{A_{11}}^{-1}A_{11}-{A_{11}}^{-1}A_{12}{A_{22}}^{-1}O & {A_{11}}^{-1}A_{12}-{A_{11}}^{-1}A_{12}{A_{22}}^{-1}A_{22} \\
OA_{11}+{A_{22}}^{-1}O & OA_{12}+{A_{22}}^{-1}A_{22}
\end{bmatrix}\\
=&\begin{bmatrix}I & O \\O & I\end{bmatrix}\\
=&I
\end{aligned}
以上から
\begin{aligned}A^{-1}=\begin{bmatrix}{A_{11}}^{-1} & -{A_{11}}^{-1}{A_{12}}{A_{22}}^{-1} \\O & {A_{22}}^{-1}\end{bmatrix}\end{aligned}
である。

  • 正方行列Aの対称区分け
    \begin{aligned}A=\begin{bmatrix}A_{1} & O & \cdots & O \\O & A_{2} & \cdots & O\\\ldots & \ddots & \ddots & \ldots\\O & O & \cdots & A_{p}\end{bmatrix}\end{aligned}
    が正則であるためには、A_{1},\cdots, A_{p}がすべて正則であることが必要十分である。またその逆行列はまたその逆行列

\begin{aligned}A^{-1}=\begin{bmatrix}{A_{1}}^{-1} & O & \cdots & O \\O & {A_{2}}^{-1} & \cdots & O\\\ldots & \ddots & \ddots & \ldots\\O & O & \cdots & {A_{p}}^{-1}\end{bmatrix}\end{aligned}
\because 行列Aが正則である仮定する。このときAには逆行列が存在し、それを
\begin{aligned}B=\begin{bmatrix}B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1p} \\B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2p}\\\ldots & \ddots & \ddots & \ldots\\B_{p1} & B_{p2} & \cdots & B_{pp}\end{bmatrix}\end{aligned}
とおくと、


\begin{aligned}
AB&=\begin{bmatrix}
A_{1} & O & \cdots & O \\
O & A_{2} & \cdots & O\\
\ldots & \ddots & \ddots & \ldots\\
O & O & \cdots & A_{p}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1p} \\
B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2p}\\
\ldots & \ddots & \ddots & \ldots\\
B_{p1} & B_{p2} & \cdots & B_{pp}\end{bmatrix}\\
&=
\begin{bmatrix}
A_{1}B_{12}+OB_{22}+\cdots+OB_{p2} & A_{1}B_{12}+OB_{22}+\cdots+OB_{p2} & \cdots & A_{1}B_{1p}O B_{2p}+\cdots+O B_{pp}\\
OB_{11}+A_{2}B_{21}+\cdots+OB_{p1} & OB_{12}+A_{2}B_{22}+\cdots+OB_{p2} & \cdots & OB_{1p}+A_{2}B_{2p}+\cdots+OB_{pp}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
OB_{11}+OB_{21}+\cdots+A_{p}B_{p1} & OB_{12}+OB_{22}+\cdots+A_{p}B_{p2} & \cdots & OB_{1p}+OB_{2p}+\cdots+A_{p}B_{pp}
\end{bmatrix}
\end{aligned}

これを解くことで


\begin{aligned}
B_{ij}=\begin{cases}
   {A_{i}}^{-1},& i=j \\
   O,& i\neq j \\
\end{cases}
\end{aligned}
が得られる。
 逆にA_{1},\cdots A_{p}がいずれも正則であると仮定する。これらの逆行列をそれぞれ{A_{1}}^{-1},\cdots,{A_{p}}^{-1}とすれば、

\begin{aligned}
&A\begin{bmatrix}{A_{1}}^{-1} & O & \cdots & O \\O & {A_{2}}^{-1} & \cdots & O\\\ldots & \ddots & \ddots & \ldots\\O & O & \cdots & {A_{p}}^{-1}\end{bmatrix}=I\\
&\begin{bmatrix}{A_{1}}^{-1} & O & \cdots & O \\O & {A_{2}}^{-1} & \cdots & O\\\ldots & \ddots & \ddots & \ldots\\O & O & \cdots & {A_{p}}^{-1}\end{bmatrix} A=I\\
\end{aligned}
である。 \blacksquare

1.11 特殊な行列

1.11.1 対角行列

 正方行列A=(a_{ij})において[tex:a_{ii},i=1,2,\cdots,nを対角成分と呼ぶ。対角成分以外がすべて0であるような行列を対角行列という。対角行列が正則であるためにはa_{ii}\neq0,i=1,2,\cdots,nであればよい。

1.11.2 スカラー行列

 c\in\mathbb{C}に対して単位行列Iを用いてcIの形で書くことのできる行列をスカラー行列という。

1.12 トレース

 正方行列A=(a_{ij}),\ i=1,2,\cdots,n,j=1,2,\cdots,nの対角成分の和をAの固有和(trace)といい、


\begin{aligned}
tr A=\displastyle{\sum_{i=1}^{n}a_{ii}}
\end{aligned}
 トレースにおいては

\begin{aligned}
tr(cA)&=c tr(A)\ \ c\in\mathbb{C},\\
tr(A+B)&=tr(A)+tr(B),\\
tr(AB)&=tr(BA)
\end{aligned}
が成り立つ。

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