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一流の大人(ビジネスマン、政治家、リーダー…)として知っておきたい、教養・社会動向を意外なところから取り上げ学ぶことで“気付く力”を伸ばすブログです。目下、データ分析・語学に力点を置いています。今月(2022年10月)からは多忙につき、日々の投稿数を減らします。

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統計学のための線形代数(015/X)

 統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

を基により高等な線形代数を学ぶ。

3. 固有値固有ベクトル

3.5 非負定値行列


行列の積の単一の固有値に対する限界値 m次非負定値正方行列Aおよびm次正定値正方行列Bに対してi,j,k\in\{1,2,\cdots,m\},j+k\leq i+1を満たす整数としてi,j,kを取る。このとき


\begin{aligned}
\lambda_i(AB)&\leq\lambda_j(A)\lambda_k(B),\\
\lambda_{m-i+1}(AB)&\geq\lambda_{m-j+1}(A)\lambda_{m-k+1}(B)
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because m\times(j-1)行列H_1の各列は\lambda_1(A),\cdots,\lambda_{j-1}(A)に対応するAの正規直交固有ベクトルとし、m\times(k-1)行列H_2の各列は\lambda_1(B),\cdots,\lambda_{k-1}(B)に対応するBの正規直交固有ベクトルだとする。H=[H_1\ \ H_2]となるようなm\times(j+k-2)行列Hを定義する。すると



\begin{aligned}
\lambda_i(AB)&\leq\lambda_{j+k-1}(AB)\\
&\leq\displaystyle{\max_{H^{\prime}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}}\frac{\boldsymbol{x}^{\prime}A\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\prime}B^{-1}\boldsymbol{x}} }\\
&=\displaystyle{\max_{H^{\prime}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}}\frac{\boldsymbol{x}^{\prime}A\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\prime}\boldsymbol{x}}\frac{\boldsymbol{x}^{\prime}\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\prime}B^{-1}\boldsymbol{x}} }\\
&\leq\displaystyle{\max_{H^{\prime}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}}\frac{\boldsymbol{x}^{\prime}A\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\prime}\boldsymbol{x}}\max_{H^{\prime}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}}\frac{\boldsymbol{x}^{\prime}\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\prime}B^{-1}\boldsymbol{x}} }\\
&\leq\displaystyle{\max_{H^{\prime}_1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}}\frac{\boldsymbol{x}^{\prime}A\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\prime}\boldsymbol{x}}\max_{H^{\prime}_2\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}}\frac{\boldsymbol{x}^{\prime}\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\prime}B^{-1}\boldsymbol{x}} }\\
&=\lambda_j(A)\lambda_k(B)
\end{aligned}


を得る。これで1つ目の不等式が得られた。
 次に2つ目の不等式について、A_{*}=TATとおく。ここでB=T^2を満たすような対称行列である。このときAは非負定値であるから、A_{*}も非負定値である。前者の不等式をA_{*},B^{-1}に適用し、\lambda_i(A_{*}B^{-1})=\lambda_i(A)\lambda_j(A_{*})=\lambda_j(AB)を用いることで、



\begin{aligned}
\lambda_i(A)\leq\lambda_j(AB)\lambda_k(B^{-1})
\end{aligned}


を得る。このとき\lambda_k(B^{-1})=\lambda_{m-k+1}^{-1}(B)であるから、これは



\begin{aligned}
\lambda_j(AB)\geq\lambda_i(A)\lambda_{m-k+1}(B)
\end{aligned}


を導く。各(i,j,k)は本定理で与えられた制約を満たし、また(i_{*},j_{*},k)についてもその制約を満たす。ここでi_{*}=m-j+1,j_{*}=m-i+1である。これらの置換を行うことで2つ目の不等式を得る。 \blacksquare)


他にも以下の3つの結果がある:

  • 行列の積の固有値に対して限界を与える:



行列の積の固有値に対する限界 m次正方非負定値行列A,Bに対して、i\leq i_1\lt\cdots\lt i_k\leq mを満たす整数であるとき、k=1,\cdots,mについて



\begin{aligned}
\displaystyle{\prod_{j=1}^k\lambda_{i_j}(AB)}\leq\displaystyle{\prod_{j=1}^k\lambda_{i_j}(A)\lambda_j(B)}
\end{aligned}


が成り立つ。等号はk=mのときに成り立つ。

  • 行列の積の転置の固有値に対して限界を与える:



行列の積の転置の固有値の限界 m次正方非負定値行列A,Bに対して



\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^m\lambda_i(A)\lambda_{m-i+1}(B)}\leq\displaystyle{\sum_{i=1}^m\lambda_{i}(AB)}\leq\displaystyle{\sum_{i=1}^m\lambda_i(A)\lambda_i(B)}
\end{aligned}


が成り立つ。

  • 行列の積の固有値の部分和に下限を与える:


行列の積の固有値の部分和の下限 m次正方非負定値行列A,Bに対して


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\lambda_i(A)\lambda_{m-i+1}(B)}\leq\displaystyle{\sum_{i=1}^m\lambda_i(AB)}\leq\displaystyle{\sum_{i=1}^m\lambda_i(A)\lambda_i(B)}
\end{aligned}


が成立する。

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