統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書
を基により高等な線形代数を学ぶ。
3. 固有値と固有ベクトル
3.5 非負定値行列
(
行列
の各列は
に対応する
の正規直交固有ベクトルとし、
行列
の各列は
に対応する
の正規直交固有ベクトルだとする。
となるような
行列
を定義する。すると
を得る。これで1つ目の不等式が得られた。
次に2つ目の不等式について、とおく。ここで
を満たすような対称行列である。このとき
は非負定値であるから、
も非負定値である。前者の不等式を
に適用し、
と
を用いることで、
を得る。このときであるから、これは
を導く。各は本定理で与えられた制約を満たし、また
についてもその制約を満たす。ここで
である。これらの置換を行うことで2つ目の不等式を得る。
)
他にも以下の3つの結果がある:
- 行列の積の固有値に対して限界を与える:
- 行列の積の転置の固有値に対して限界を与える:
- 行列の積の固有値の部分和に下限を与える: