統計学のための線形代数（015/X） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

統計学のための線形代数

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を基により高等な線形代数を学ぶ。

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3.　固有値と固有ベクトル
- 3.5　非負定値行列
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3.　固有値と固有ベクトル

3.5　非負定値行列

行列の積の単一の固有値に対する限界値　 $m$ 次非負定値正方行列 $A$ および $m$ 次正定値正方行列 $B$ に対して $i,j,k\in\{1,2,\cdots,m\},$ $j+k\leq i+1$ を満たす整数として $i,j,k$ を取る。このとき

$\begin{aligned} \lambda_i(AB)&\leq\lambda_j(A)\lambda_k(B),\\ \lambda_{m-i+1}(AB)&\geq\lambda_{m-j+1}(A)\lambda_{m-k+1}(B) \end{aligned}$

が成り立つ。

( $\because$ 　 $m\times(j-1)$ 行列 $H_1$ の各列は $\lambda_1(A),\cdots,\lambda_{j-1}(A)$ に対応する $A$ の正規直交固有ベクトルとし、 $m\times(k-1)$ 行列 $H_2$ の各列は $\lambda_1(B),\cdots,\lambda_{k-1}(B)$ に対応する $B$ の正規直交固有ベクトルだとする。 $H=[H_1\ \ H_2]$ となるような $m\times(j+k-2)$ 行列 $H$ を定義する。すると

$\begin{aligned} \lambda_i(AB)&\leq\lambda_{j+k-1}(AB)\\ &\leq\displaystyle{\max_{H^{\prime}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}}\frac{\boldsymbol{x}^{\prime}A\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\prime}B^{-1}\boldsymbol{x}} }\\ &=\displaystyle{\max_{H^{\prime}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}}\frac{\boldsymbol{x}^{\prime}A\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\prime}\boldsymbol{x}}\frac{\boldsymbol{x}^{\prime}\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\prime}B^{-1}\boldsymbol{x}} }\\ &\leq\displaystyle{\max_{H^{\prime}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}}\frac{\boldsymbol{x}^{\prime}A\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\prime}\boldsymbol{x}}\max_{H^{\prime}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}}\frac{\boldsymbol{x}^{\prime}\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\prime}B^{-1}\boldsymbol{x}} }\\ &\leq\displaystyle{\max_{H^{\prime}_1\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}}\frac{\boldsymbol{x}^{\prime}A\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\prime}\boldsymbol{x}}\max_{H^{\prime}_2\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}\neq\boldsymbol{0}}\frac{\boldsymbol{x}^{\prime}\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\prime}B^{-1}\boldsymbol{x}} }\\ &=\lambda_j(A)\lambda_k(B) \end{aligned}$

を得る。これで1つ目の不等式が得られた。
　次に2つ目の不等式について、 $A_{*}=TAT$ とおく。ここで $B=T^2$ を満たすような対称行列である。このとき $A$ は非負定値であるから、 $A_{*}$ も非負定値である。前者の不等式を $A_{*},B^{-1}$ に適用し、 $\lambda_i(A_{*}B^{-1})=\lambda_i(A)$ と $\lambda_j(A_{*})=\lambda_j(AB)$ を用いることで、

$\begin{aligned} \lambda_i(A)\leq\lambda_j(AB)\lambda_k(B^{-1}) \end{aligned}$

を得る。このとき $\lambda_k(B^{-1})=\lambda_{m-k+1}^{-1}(B)$ であるから、これは

$\begin{aligned} \lambda_j(AB)\geq\lambda_i(A)\lambda_{m-k+1}(B) \end{aligned}$

を導く。各 $(i,j,k)$ は本定理で与えられた制約を満たし、また $(i_{*},j_{*},k)$ についてもその制約を満たす。ここで $i_{*}=m-j+1,$ $j_{*}=m-i+1$ である。これらの置換を行うことで2つ目の不等式を得る。　 $\blacksquare$ )

他にも以下の3つの結果がある：

行列の積の固有値に対して限界を与える：

行列の積の固有値に対する限界　 $m$ 次正方非負定値行列 $A,B$ に対して、 $i\leq i_1\lt\cdots\lt i_k\leq m$ を満たす整数であるとき、 $k=1,\cdots,m$ について

$\begin{aligned} \displaystyle{\prod_{j=1}^k\lambda_{i_j}(AB)}\leq\displaystyle{\prod_{j=1}^k\lambda_{i_j}(A)\lambda_j(B)} \end{aligned}$

が成り立つ。等号は $k=m$ のときに成り立つ。

行列の積の転置の固有値に対して限界を与える：

行列の積の転置の固有値の限界　 $m$ 次正方非負定値行列 $A,B$ に対して

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^m\lambda_i(A)\lambda_{m-i+1}(B)}\leq\displaystyle{\sum_{i=1}^m\lambda_{i}(AB)}\leq\displaystyle{\sum_{i=1}^m\lambda_i(A)\lambda_i(B)} \end{aligned}$

が成り立つ。

行列の積の固有値の部分和に下限を与える：

行列の積の固有値の部分和の下限　 $m$ 次正方非負定値行列 $A,B$ に対して

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{m}\lambda_i(A)\lambda_{m-i+1}(B)}\leq\displaystyle{\sum_{i=1}^m\lambda_i(AB)}\leq\displaystyle{\sum_{i=1}^m\lambda_i(A)\lambda_i(B)} \end{aligned}$

が成立する。

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3. 固有値と固有ベクトル

3.5 非負定値行列

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3.5　非負定値行列