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マクロ経済学(6/17)

6. 閉鎖経済での長期の経済分析

6.1 マクロ経済モデル

 マクロ経済を構成する様々な要因の相互作用を考慮した経済モデルを一般均衡モデル(マクロ経済モデル)という。


図1 各市場のかかわり
f:id:suguru_125:20210928215430p:plain
(出典:二神・堀(2017)*1

 ここでは以下を仮定する:

①生産要素は資本のみ :考察対象は財市場と金融市場で労働市場は除外する
②不確実性は存在しない :完全予見(第1期時点で翌時点の状況が既知)が成立する
③長期の動向を分析する :長期を分析する
④閉鎖経済である :海外との取引を考慮しない

 また外生変数は以下の通り:

①第1期の資本ストック K_1
②第1期と第2期の政府支出 (G_1,G_2)
③第1期と第2期の税収 (T_1,T_2 )
④第1期と第2期の名目貨幣量 (M_1,M_2 )

 内生変数は以下の通り:

①第1期と第2期の実質GDP (Y_1,Y_2 )
②第1期と第2期の物価水準 (P_1,P_2 )
③実質利子率 r

6.2 財・資金市場の均衡と実質GDPの決定

6.2.1 財市場における均衡

 ある企業が利用可能な資本ストックKをすべて用いて1種類の財を生産すると仮定するとき、2期間のGDPをいかに決定するかを考える。生産関数をF(K)とすれば


\begin{aligned}
Y_1=F(K_1)
\end{aligned}

が成り立つ。
 第2期の実質GDPY_2について考えると、


\begin{aligned}
Y_2=F(K_2)
\end{aligned}

である。
 更に第1期に行う設備投資をIとおけば、それが利子率rに依存することを考慮して、資本減耗を考慮しないとして


\begin{aligned}
K_2=K_1+I(r)
\end{aligned}

であり、したがって


\begin{aligned}
Y_2=F(K_2 )=F(K_1+I(r) )≡F(r)
\end{aligned}

が成り立つ。

 次に財市場における総需要を考える。財・サービスに対するt期の総需要をY_t^d、消費をC_tで表すこととする。閉鎖経済を前提としていることから以下が成り立つ:


\begin{aligned}
Y_t^d=C_1+I
\end{aligned}

 財市場が均衡しているならば、総需要と総供給が一致するから、


\begin{aligned}
Y_t^d=Y_1\Leftrightarrow Y_1=C_1+I
\end{aligned}

 また第2期の財市場の均衡条件は以下の通りである:


\begin{aligned}
Y_2=C_2
\end{aligned}

以上から、第2期の消費可能な財の総量はK_2+Y_2である。

6.2.2 資金市場における均衡

 資金市場における資金取引について考える。資金供給は家計の貯蓄から賄われる。また資金需要は設備投資を行なう企業が請け負う。貯蓄の定義から、


\begin{aligned}
S=Y_1-C_1
\end{aligned}

が成り立つ*2。したがって第1期の財市場における均衡条件


\begin{aligned}
Y_1=C_1+I
\end{aligned}

を代入することで


\begin{aligned}
S=Y_1-C_1=(C_1+I)-C_1=I,
\end{aligned}

すなわち貯蓄が設備投資に等しい、言い換えれば貯蓄が資金供給を設備投資が資金需要を賄っていることを示している。マクロの貯蓄関数は実質利子率ならびに第1期目および第2期目の可処分所得の関数であった。しかし初期条件として与えられたK_1は財・サービスの生産にすべて利用されるため、第1期の実質GDPの値Y_1は自動的に定まる。以上から


\begin{aligned}
S=S(r,Y_1,Y_2 (r))
\end{aligned}

である。実質利子率は貯蓄を直接的に増大させるうえ、Y_2の減少をもたらすため、間接的にも増大させる。
 設備投資は実質利子率の減少関数であるから、


\begin{aligned}
I=I(r),\ I^{\prime}(r)\lt0
\end{aligned}

と書くことができる。以上を整理することで


\begin{aligned}
S(r,Y_1,Y_2 (r))=I(r)
\end{aligned}

となり、資金市場の均衡が決定する変数は実質利子率rであり、資金の需給が均衡するように均衡実質利子率が決定される。

 均衡実質GDPの決定について論ずる。まず生産側から見てみると、所与として与えられた資本ストックK_1から第1期目の実質GDP\ Y_1=F(K_1)は自動的に定まる。第2期目は、均衡実質利子率r^*が定まることで均衡設備投資I^*が定まり、それにより第2期目の資本ストックK_2が決定される。そして生産関数からY_2=F(K_2)は自動的に得られる。生産面から言えば、生産関数F、すなわち生産技術がGDP決定にもっとも重要な要因である。
 他方で、需要側から見れば、均衡条件


\begin{aligned}
Y_1^*&=C_1^*+I^*,\\
Y_2^*&=C_2^*
\end{aligned}

 から均衡実質GDPが定まることが分かる。まず可処分所得が所与ならば、最適消費と貯蓄の決定は同値であるから最適貯蓄を与える第1式がC_1^*も定めている。またC_2^*=Y_2^*である。したがってC_1^*C_2^*r^*,\ Y_1^*,\ Y_2^*で定まる。すなわち需要側から見ると、均衡GDPは家計の効用関数や時間選好率といった家計の選好と企業の生産技術で定まる。
 ここまでをまとめると、実質GDPを決める要因は以下の3つである:

  • 企業の生産技術
  • 家計の消費に関する選好
  • 初期の資本ストックK_1

6.3 政府の経済活動とマクロ経済

 政府活動を考慮した場合の実質GDP決定を考える。なおここでいう政府活動とは税金を集めて政府支出を行なうことを指す。まず政府に係る予算制約式を考えると、財政赤字が発生したと仮定すると、予算超過分(政府支出から税収を差し引いたもの)を国債発行で賄うことになる:


\begin{aligned}
B=G_1-T_1
\end{aligned}

 次に第2期目では国債償還に伴う元利金の返済および第2期目の政府支出を税収で賄わなければならないから


\begin{aligned}
T_2=(1+r)B+G_2
\end{aligned}

以上をまとめることで


\begin{aligned}
T_2=(1+r)(G_1-T_1 )+G_2 \Leftrightarrow T_1+\displaystyle{\frac{1}{1+r}}T_2=G_1+\displaystyle{\frac{1}{1+r}} G_2
\end{aligned}

政府部門を考慮に入れると、第1期における財市場の均衡は


\begin{aligned}
Y_1=C_1+I+G_1
\end{aligned}

である。第1期における家計の可処分所得は、徴税額がT_1であることから


\begin{aligned}
S=(Y_1-T_1)-C_1
\end{aligned}
以上をまとめて


\begin{aligned}
S=(C_1+I+G_1-T_1)-C_1=I+G_1-T_1
\end{aligned}

すなわち民間貯蓄=民間における資金余剰は企業の投資及び政府の財政赤字で賄われている。
以上から


\begin{aligned}
S(r,Y_1-T_1,Y_2 (r)-T_2 )+T_1-G_1=I(r)
\end{aligned}

6.4 比較静学分析

 前節のモデルを用いて財政赤字拡大の効果を分析する。第1期の政府支出が増大(G_1\rightarrow G_1+\Delta G_1,\ \Delta G_1\gt0)したとする。ただし第1期における税収T_1は一定であると仮定する。このとき資金供給曲線が左にシフトする。
 T_1が一定ならばG_1の増加は財政赤字G_1-T_1を拡大させるものの、第1期の財政赤字拡大を埋める国債発行額を第2期目に償還しなければならない。またその償還額の財源にも依存する。償還の財源は①増税または②政府支出の削減で拠出できる。

 (a) G_1の増加→財政赤字の拡大→資金供給の減少
 (b) (1+r)\Delta G_1増税→第2期目の可処分所得の減少→貯蓄の増加=資金供給の増加

 研究開発ないし海外からの新しい生産技術導入により将来の生産技術が改善したとする。このとき生産技術F(K_2)A\cdot F(K_2 ),A\gt1に変化したとする。このとき、まず設備投資への影響を考えると、将来の生産性上昇は、将来の資本の限界生産力をF^{\prime}(K_2)からA\cdot F^{\prime}(K_2)へと上昇する。それにより最適な資本ストックの水準が上昇して追加的な設備投資が必要となる。したがって設備投資関数を右にシフトさせる。
 貯蓄に対しては、設備投資の拡大により第2期のGDPも向上する。その結果、家計の行なう貯蓄は減少する。貯蓄関数のシフトが設備投資関数のシフトに比べ相対的に大きければ、設備投資と貯蓄は減少する。逆ならば増加する。
 家計の時間選好率が上昇したとすると、それは人々が将来における消費よりも現在の消費をより選好するようになったことを意味する。この場合、家計は将来消費のための貯蓄が減り現在の消費に回す。その結果、利子率が同じであっても貯蓄を減らす。その結果、資金市場における均衡は、実質利子率は上昇、設備投資と貯蓄は減少する。

6.5 貨幣市場の均衡:物価水準の決定

 名目変数の決定に必要な物価水準を考える。まず第1期の貨幣市場の均衡は以下の通りである:


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{M_1}{P_1}} =L(Y_1,i)
\end{aligned}
 ここでFisher方程式i=r+\piが成り立つ。
 第2期の物価水準が

\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{M_2}{P_2}}=L(Y_2 (r^* ))
\end{aligned}

である。ここでM_2およびP_2はそれぞれ第2期の名目貨幣量および物価水準である。実質利子率は決定済みであるからY_2 (r^*)も決定済みである。したがって


\begin{aligned}
P_2^*=M_2/L(Y_2 (r^* )) 
\end{aligned}

が成り立つ。第1期の貨幣市場における均衡条件は


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{M_1}{P_1}}=L(Y_1,r^*+\pi)
\end{aligned}

である。また定義から


\begin{aligned}
1+\pi=\displaystyle{\frac{P_2^*}{P_1}} 
\end{aligned}
  であるから

\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{M_1}{P_2^*}}(1+\pi)=L(Y_1,r^*+\pi)
\end{aligned}

 第1期の名目貨幣量の変化が長期均衡のインフレ率と物価水準に与える影響を考察する。名目貨幣量M_1M_1^{\prime}へ上昇すると、S_1が右にシフトするため、長期均衡インフレ率は低下する。その結果、P_1^*は上昇する。次に第2期の名目貨幣量の変化により、M_2の上昇はP_2^*を上昇させる。その結果、S_1が左にシフトするため、長期均衡インフレ率は上昇する。\pi^*が上昇することで第1期L(Y_1,r^*+\pi)は減少する。その一方でP_1が減少したならば、M_1/P_1が増加する。以上からP_1は増大しなければならない。

  • 第1期の名目貨幣量の上昇は第1期の物価水準を上昇させる
  • 第2期の名目貨幣量の上昇は第1期と第2期の物価水準を上昇させ宇
  • 第1期の名目貨幣量の上昇はインフレ率を下落させる
  • 第2期の名目貨幣量の上昇はインフレ率を上昇させる

6.6 長期の均衡

  • 貨幣は物価水準だけに影響し、実質変数に影響しない
  • マクロ経済の長期均衡は完全競争市場均衡であるからパレート効率的である

問題*3

1. 資本市場の均衡に与える影響

 以下の要因はそれぞれ資本市場の均衡にどのような影響を与えるか。
(a) 第1期の減税
(b) 第2期の減税
(c)第1期の生産性上昇(貯蓄と投資に与える影響を答えよ)

2. 以下の問いに答えよ。

(a)増税が資本市場の均衡に与える影響

 政府支出の拡大を第1期の増税によって賄う場合、資本市場の均衡はどのように変化するか。

(b)国債発行と増税による返済が与える影響

 政府支出の増加を第1期は国債発行で賄い第2期の増税でそれを返済する場合、資本市場の均衡はどのように変化するか。

3. 2期間の閉鎖経済マクロ経済モデル①

 2期間閉鎖経済マクロ経済モデルに関して以下の問いに答えよ。なおこの経済における企業は第1期に資本ストックK_1=95を与えられている。また貯蓄関数はS=100r、設備投資関数はI=10-100rrは実質利子率(定数)を表している。生産関数はY=K^{1/2}で、資本減耗と政府の経済活動は考慮しない。

(a)第1期の均衡実質GDP

 第1期の均衡実質GDP Y_1^{*}を求めよ。

(b)均衡実質利子率

 資本市場の均衡条件から均衡実質利子率r^*、最適な設備投資I^*、第1期の最適な消費C_1^*を求めよ。

(c)第2期の均衡実質GDP

 第2期の資本ストックK_2^{*}および第2期の均衡実質GDP Y_2^{*}を求めよ。

(d)設備投資の最適性

 本問における企業の設備投資が企業価値を最大化していることを示せ。

4. 2期間の閉鎖経済マクロ経済モデル②

 2期間閉鎖経済マクロ経済モデルに関して以下の問いに答えよ。なおこの経済における企業は第1期に資本ストックK_1=40を与えられている。また貯蓄関数はS=1000r、設備投資関数はI=20-1000rrは実質利子率(定数)を表している。生産関数はY_t=K_t-0.01(K_t)^{2}で資本減耗は考慮しない。また第1期の政府支出と税収はそれぞれG_1=11,\ T_1=1、第2期の税収はT_2=14.2であると仮定する。

(a)第1期の均衡実質GDP

 第1期の均衡実質GDP Y_1^{*}を求めよ。

(b)均衡実質利子率

 資本市場の均衡条件から均衡実質利子率r^*、最適な設備投資I^*、第1期の最適な消費C_1^*を求めよ。

(c)第2期の均衡実質GDP

 第2期の資本ストックK_2^{*}および第2期の均衡実質GDP Y_2^{*}、第2期の最適な消費C_2^*を求めよ。

(d)財政支出増大の影響

 T_1, T_2を一定にしたままでG_1=13財政支出を増加させる。このとき、資本市場の均衡条件から均衡実質利子率r^*、最適な設備投資I^*、第1期の最適な消費C_1^*を求めよ。更に第2期の政府支出G_2と最適な消費C_2^*を求めよ。

解答

1. 資本市場の均衡に与える影響

 政府の予算均衡式と資金市場の均衡式から


\begin{aligned}
I(r)&=S−G_1+T_1\\
&=S +\displaystyle{\frac{1}{1+r}}(G_2 −T_2)
\end{aligned}

が成り立つ。これを踏まえて、

(a)
 第 1 期の減税に伴い、政府の予算制約が満たされるためには
 (1)第 2期の増税
 (2)第 1 期の政府支出の減少、
 (3)第 2 期の政府支出の減少、
のいずれかが行われなければならない。(1)の場合、資金供給は増加するか減少するか(利子率rが下落するか上昇するか)は一意には決まらない。(2)の場合、資金供給は増加する(利子率 rが下落する)。(3)の場合、資金供給は増加するか減少するか(利子率rが下落するか上昇するか)一意には決まらない。
(b)
 第 2 期の減税に伴い、政府の予算制約が満たされるためには
 (1)第 1期の増税
 (2)第 1 期の政府支出の減少、
 (3)第 2 期の政府支出の減少、
のいずれかが行われなければならない。(1)の場合、資金供給は増加するか減少するか(利子率rが下落するか上昇するか)一意には決まらない。(2)の場合、資金供給は増加するか減少するか(利子率 tex:r]が下落するか上昇するか)一意には決まらない。(3)の場合、資金供給は減少する(利子率tex:r]が上昇する)
(c)
 S = (Y_1 −T_1)−C_1であるから、実質GDPY_1が増大すれば、貯蓄Sは増え、それと同時に設備投資額Iも増大する・

2. 変数変化の与える影響

(a)増税が資本市場の均衡に与える影響

利子率rが上昇する。

(b)国債発行と増税による返済が与える影響

\Delta T_2 = (1+r )\Delta G_1であるので、均衡は変化しない。

3. 2期間の閉鎖経済マクロ経済モデル①

 条件を整理すると、


\begin{aligned}
Y(K) = K^{1/2},\ K_1 = 95,\ S = 100r,\ I = 10−100r,\ G = T = 0, \delta=0
\end{aligned}
である。
 

(a)第1期の均衡実質GDP

Y^{∗}_1=95^{1/2} \approx 9.75
 

(b)均衡実質利子率

I = S −G_1 +T_1より


\begin{aligned}
10−100r&= 100r\\
\therefore\ r^∗&= 0.05
\end{aligned}
また


\begin{aligned}
I^{∗}= S^{∗}=10-100r^{*}=5
\end{aligned}


\begin{aligned}
C^{∗}=Y^{∗}_1 −S^{∗}= \sqrt{95}-5
\end{aligned}
 

(c)第2期の均衡実質GDP

K_2=K_1+I^{∗} より


\begin{aligned}
K^{∗}_2&=100\\
Y^{∗}_2&=100^{1/2}=10
\end{aligned}
 

(d)設備投資の最適性

企業価値


\begin{aligned}
V(I_1) = \pi_1+\displaystyle{\frac{1}{1+r}}\pi_2
\end{aligned}

である。企業価値が最大となる条件から求まる企業価値


\begin{aligned}
F^{\prime}(K2)&=r +\delta\\
\displaystyle{\frac{1}{2}}{K_2}^{−1/2}&= 0.05+0\\
\therefore\ K^∗_2&=100
\end{aligned}

であり、今の設備投資による資本ストックと一致するため、この問題での設備投資は企業価値を最大にしているといえる。
 

4. 2期間の閉鎖経済マクロ経済モデル②

 前問と同様に条件を整理すると、


\begin{aligned}
Y_t(K)&= K_t −0.01{K_t}^2,\ K_1 = 40,\ S = 1000r,\ I = 20−1000r,\ \\
G_1&= 11,\ T_1 = 1,\ T_2 = 14.2
\end{aligned}
である。

(a)第1期の均衡実質GDP


\begin{aligned}
Y^∗_1 = 40−0.01∗402 = 24
\end{aligned}

(b)均衡実質利子率


\begin{aligned}
20−1000r &= 1000r +1−11\\
\therefore\ r^{∗}&= 0.015\\
\therefore\ I^∗&=20-1000\cdot 0.015=5\\
\therefore\ S^*&=1000\cdot 0.015=15\\
\therefore\ C^∗_1&=Y^∗_1−I^∗ −G_1=8
\end{aligned}

(c)第2期の均衡実質GDP

K^∗_2 = K_1 + I^∗=45より


\begin{aligned}
Y^{∗}_2 = 45−0.01∗452 = 24.75
\end{aligned}

また政府の予算均衡式からG_2 = 4.05であるから


\begin{aligned}
C^∗_2=Y^∗_2 −G_2=20.25
\end{aligned}

(d)財政支出増大の影響

I = S −G1 +T1 より


\begin{aligned}
1000r −13+1&= 20−1−1000r\\
\therefore\ r&=0.016\\
\therefore\ I^{∗}&=4\\
\therefore\ S^{∗}&=16
\end{aligned}
である。

(a)~(c) と同様にして


\begin{aligned}
24&= C^∗_1+4+13\\
\therefore\ C^∗_1&=7\\
13+\displaystyle{\frac{1}{1.016}}G^∗_2&= 1+\displaystyle{\frac{1}{1.016}}14.2\\
\therefore\ G^∗_2 &\approx2.008
\end{aligned}

また


\begin{aligned}
K^∗_2&=44,\\
Y^∗_2&= 24.64 , \\
Y^{∗}_2&= C^{∗}_2+G^{∗}_2
\end{aligned}
より

\begin{aligned}
C^∗_2=22.632
\end{aligned}

*1:二神孝一・堀敬一(2017)「マクロ経済学 第2版」有斐閣 P.131参照

*2:ここでは政府の経済活動を考慮していないためにT_1=0であることに注意されたい。

*3:同前掲書 P.151-152参照

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