ファイナンス練習(2021年09月21日) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。最後となる今回はP.237-240まで。

8. 金融工学の基礎
- 8.8.4 陰的有限差分法
- 8.8.5 Crank-Nicolson法

8. 金融工学の基礎

8.8.4 陰的有限差分法

　前方差分を用いて近似することで

$\begin{aligned} f_{i+1,j}&=-\displaystyle{\frac{\Delta t}{2\Delta S}\left(rS_j+\frac{\sigma^2 S_j^2}{\Delta S} \right)}f_{i,j+1}+\\ &\ \ \ \ \ \left(1+\sigma^2S_j^2\displaystyle{\frac{\Delta t}{(\Delta S)^2}}+r\Delta t \right)f_{i,j}-\\ &\ \ \ \ \ \displaystyle{\frac{\Delta t}{2\Delta S}\left(-rS_j+\frac{\sigma^2 S_j^2}{\Delta S} \right)}f_{i,j-1} \end{aligned}$

8.8.5 Crank-Nicolson法

　 $t$ に関する1次偏微分は前方差分を使い、 $S$ に関する1次および2次偏微分はグリッド $(i,j)$ およびグリッド $(i,j+1)$ における中心差分の平均値を用いることにすれば

$\begin{aligned} a_j f_{i,j+1}+b_jf_{i,j}+c_jf_{i,j-1}=a_j f_{i+1,j+1}+f_jf_{i+1,j}-c_jf_{i+1,j-1} \end{aligned}$

が成り立つ。ここで

$\begin{aligned} a_j&=-\displaystyle{\frac{\Delta t}{4\Delta S}}\left(rS_j+\displaystyle{\frac{\sigma^2S_j^2}{\Delta S}}\right),\\ b_j&=1+\sigma^2S_j^2 \displaystyle{\frac{\Delta t}{2(\Delta S)^2}}+r\Delta t,\\ c_j&=-\displaystyle{\frac{\Delta t}{4\Delta S}}\left(-rS_j+\displaystyle{\frac{\sigma^2S_{j}^2}{\Delta S}}\right),\\ d_j&=1-\sigma^2S_j^2\displaystyle{\frac{\Delta t}{2(\Delta S)^2}} \end{aligned}$

である。これは有限差分法の中でも近似精度と解の安定性が高い方法で、Crank-Nicolson法という。