ファイナンス練習(2021年09月11日) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。統計学については別書で触れたいため大幅にカットします。今回はP.183-187まで（当分は実装なしが続きます）。

　社債のデフォルト時点を表す確率変数を $\tau$ とする。これをハザード過程を用いてモデル化する。簡単のために離散時間で考える。
　 $0\lt h\lt 1$ に対して、以下のBernoulli試行を表す互いに独立な確率変数列 $\{Y_n\}$ を考える：

$\begin{aligned} P(\{Y_n=1\})=1-P(\{Y_n=0\})=1-h, n=1,2,\cdots \end{aligned}$

さらに時点 $t$ までに失敗（ $Y_n=0$ ）した回数を表す確率変数を $N(t)$ とする。 $N(t)$ を $t$ をパラメータとする確率過程と見たとき、 $\{N(t)\}$ を離散時点Poisson過程と呼ぶ。

　Bernoulli試行の失敗確率 $h=h(t)$ と時点に依存する場合を非斉時的Poisson過程という。最初に $0$ が生起する時点 $X_t$ の分布は簡単に計算できる：

$\begin{aligned} P(\{X_t\gt t\})=P(\{Y_t=1 \ for \ all \ n\leq t\})=\prod_{n=1}^{t}(1-h(n)), t=0, 1, 2, \cdots \end{aligned}$

　ここまでのPoisson過程を、失敗確率 $h_n$ を確率過程として同様に構築する。すなわち

$\begin{aligned} P(\{X_t\gt t|h_1(\omega), \cdots,h_2(\omega),\cdots\})=\prod_{n=1}^{t}(1-h_n(\omega)) \end{aligned}$

このとき、

$\begin{aligned} P(\{X_t\gt t\})=E[P(\{X_t\gt t|h_1,h_2,\cdots\})]=E[\prod_{n=1}^{t}(1-h_n)] \end{aligned}$

である。