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ファイナンス練習(2021年09月11日)

 業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。統計学については別書で触れたいため大幅にカットします。今回はP.183-187まで(当分は実装なしが続きます)。

6. 確率過程の基礎

6.5 Poisson過程

 社債のデフォルト時点を表す確率変数を\tauとする。これをハザード過程を用いてモデル化する。簡単のために離散時間で考える。
 0\lt h\lt 1に対して、以下のBernoulli試行を表す互いに独立な確率変数列\{Y_n\}を考える:


\begin{aligned}
P(\{Y_n=1\})=1-P(\{Y_n=0\})=1-h, n=1,2,\cdots
\end{aligned}

さらに時点tまでに失敗(Y_n=0)した回数を表す確率変数をN(t)とする。N(t)tをパラメータとする確率過程と見たとき、\{N(t)\}を離散時点Poisson過程と呼ぶ。

6.6 非斉時的Poisson過程

 Bernoulli試行の失敗確率h=h(t)と時点に依存する場合を非斉時的Poisson過程という。最初に0が生起する時点X_tの分布は簡単に計算できる:


\begin{aligned}
P(\{X_t\gt t\})=P(\{Y_t=1 \ for \ all \ n\leq t\})=\prod_{n=1}^{t}(1-h(n)), t=0, 1, 2, \cdots
\end{aligned}

6.7 Cox過程

 ここまでのPoisson過程を、失敗確率h_nを確率過程として同様に構築する。すなわち


\begin{aligned}
P(\{X_t\gt t|h_1(\omega), \cdots,h_2(\omega),\cdots\})=\prod_{n=1}^{t}(1-h_n(\omega))
\end{aligned}

このとき、


\begin{aligned}
P(\{X_t\gt t\})=E[P(\{X_t\gt t|h_1,h_2,\cdots\})]=E[\prod_{n=1}^{t}(1-h_n)]
\end{aligned}

である。

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