ファイナンス練習(2021年09月10日) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。統計学については別書で触れたいため大幅にカットします。今回はP.180-182まで（当分は実装なしが続きます）。

EXCEL&VBAで学ぶファイナンスの数理

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6. 確率過程の基礎

6. 確率過程の基礎

6.4 推移確率

6.4.1 非斉時的Markov連鎖

　非斉時的なMarkov連鎖 $\{X_n\}$ の $(n-m)$ ステップ遷移確率を

$\begin{aligned} p_{jk}(m,n)=P(\{X_n=k|X_m=j\}) \end{aligned}$

と書くと、

$\begin{aligned} p_{jk}(0,n)=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}P(\{X_{n-1}=i|X_0=j\})P(\{X_{n}=k|X_{n-1}=i\}) } \end{aligned}$

したがって

$\begin{aligned} \boldsymbol{P}(0,n)&=\boldsymbol{P}(0,n-1)\boldsymbol{P}(n-1,n)\\ &=\boldsymbol{P}(0,1)\boldsymbol{P}(1,2)\cdots\boldsymbol{P}(n-1,n) \end{aligned}$

6.4.2 JLTモデル

　格付遷移が斉時的なMarkov連鎖に従うとして、それは実確率であるため、リスク中立確率 $P^{*}$ への調整を行う必要がある。
　いま時点 $t$ での格付が $j$ であるような満期が $T\gt t$ の割引社債の価格を $\nu_j(t,T)$ だとする。この社債のデフォルト時点を $\tau_j$ とするとき、

$\begin{aligned} \nu_j(t,T)=\nu_0(t,T)[\delta_j+(1-\delta_j)P_t^{*}(\{\tau_j\gt T\})], t\leq T \end{aligned}$

となるモデルをJarrow, Lando and Turnbullモデル（JLTモデル）という。ただし $\nu_0(t,T)$ を信用リスクのない割引債の価格、 $\delta_{j}$ は確定的な回収率（デフォルトした際に回収できる金額の額面に対する割合）、 $P_t^{*}$ は $t$ までの情報が与えられたときの条件付確率で、格付遷移と金利動向は独立であるとする。
　この式における生存確率 $P_t^{*}(\{\tau_j\gt T\})$ を求めるために、リスク中立確率 $P^*$ の下での格付遷移は非斉時的Markov連鎖 $X_t^{*}$ に従うとする。その推移確率を

$\begin{aligned} q_{ij}^*(m,n)=P^{*}(\{X_n^{*}=j|X_m^{*}=i\}), m\lt n \end{aligned}$

とすると、

$\begin{aligned} q_{ij}^*(t,t+1)=\pi_{ij}(t)p_{ij} \end{aligned}$

が成り立つ。このときの $\pi_{ij}(t)$ はリスク・プレミアム調整率と呼ばれる。
　 $\pi_{ij}(t)$ はたとえば、

$\begin{aligned} \pi_{ij}(t)=l_{i}(t)、j\neq m+1 \end{aligned}$

と仮定し、理論価格が現在の市場価格と整合的になるように $l_{i}(t)$ を決定する。このとき、

${\displaystyle \begin{eqnarray} q_{ij}^{*}(t,t+1)= \left\{ \begin{array}{l} = l_{i}(t)p_{ij}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ j\neq m+1\\ = 1-l_{i}(t)(1-p_{i,m+1}), \ \ \ \ j=m+1 \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

が成り立つ。社債の価格式から

$\begin{aligned} P_t^{*}(\{\tau_j\leq T\})=\frac{\nu_j(t,T)-\nu_0(t,T)}{(1-\delta_j)\nu_0(t,T)} \end{aligned}$

が成り立つ。特に $T=1$ のとき

$\begin{aligned} P_t^{*}(\{\tau_j=1\})=1-l_j(0)(1-p_{j,m+1}) \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} l_j(0)=\displaystyle{\frac{\nu_{j}(0,1)-\delta_{j}\nu_{0}(0,1)}{(1-p_{j,m+1})(1-\delta_j)\nu_{0}(0,1)}} \end{aligned}$

が得られる。
　いま $(t-1)$ 以下のすべてのリスク・プレミアム調整率 $l_{i}(n)$ が計算されている場合、

$\begin{aligned} P_{0}^{*}(\{\tau_j\gt t+1\})&=1-q_{j,m+1}^{*}(0,t+1)\\ &=1-\sum_{k}q_{jk}^{*}(0,t)q_{k,m+1}^{*}(t,t,+1) \end{aligned}$

が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} P_{0}^{*}(\{\tau_j\gt t+1\})=\sum_{k=1}^{m}q_{jk}^{*}(0,t)(1-q_{k,m+1}^{*}(t,t+1)) \end{aligned}$

が成立する。推移確率 $q_{jk}^{*}(0,t)$ は推移確率行列の逆行列における該当成分を $q_{jk}^{-1}(0,t)$ と書けば

$\begin{aligned} l_j(t)(1-p_{j,m+1})=\sum_{k}q_{jk}^{-1}(0,t)P_{0}^{*}(\{\tau_j\gt t+1\}) \end{aligned}$

が得られる。したがって

$\begin{aligned} l_j(t)=\displaystyle{\frac{1}{1-p_{j,m+1}}\sum_{k=1}^{m}q_{jk}^{-1}(0,t)\frac{\nu_{k}(0,t+1)-\delta_{j}\nu_{0}(0,t+1)}{(1-\delta_j)\nu_{0}(0,t+1)} } \end{aligned}$

である。