ファイナンス練習(2021年09月12日) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。今回はP.192-202まで*1。

7. Monte Carloシミュレーション
- 7.1 乱数の生成
  - 7.1.1 離散分布に従う乱数の生成方法
  - 7.1.2 連続分布に従う乱数の生成方法
- 7.2 正規乱数

7. Monte Carloシミュレーション

7.1 乱数の生成

　確率変数 $X$ が一様分布 $U(a,b)$ に従う乱数を一様乱数と呼ぶ。特に $a=0, b=1$ のとき標準一様乱数という。
　 $U_1, U_2,\cdots U(0,1), i.i.d.$ に対し、その実現値として $u_{1},u_{2},\cdots$ が得られたとする。

7.1.1 離散分布に従う乱数の生成方法

　 $p_i, i=1,2,\cdots,n$ を確率分布、すなわち

$\begin{aligned} p_i\gt0, \sum_{i=1}^{n}p_i=1 \end{aligned}$

とする。更に $U_i\sim U(0,1), i.i.d.$ に対して

${\displaystyle \begin{eqnarray} X_n= \left\{ \begin{array}{l} y_1, 0\leq U_k\leq p_1\\ y_i, p_1+\cdots p_{i-1} \lt U_k \leq p_1+\cdots+p_i\\ y_n, p_1+\cdots p_{n-1} \lt U_k \leq 1 \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

とおくと、

$\begin{aligned} P(\{X_k=y_i\})&=P(\{p_1+\cdots p_{i-1} \lt U_k \leq p_1+\cdots+p_i\})\\ &=P(\{U_k \leq p_1+\cdots+p_i\})-P(\{U_k \leq p_1+\cdots+p_{i-1}\}) \end{aligned}$

である。ここで $U_k\sim U(0,1)$ に注意すれば

$\begin{aligned} P(\{U_k=x\})=x,\ \ \ 0\leq x\leq 1 \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} P(\{X_k=y_i\})=(p_1+\cdots+p_i)-(p_1+\cdots+p_{i-1})=p_i \end{aligned}$

が成り立つ。すなわち $X_k$ は

$\begin{aligned} P(\{X_k=y_i\})=p_i \end{aligned}$

に従う離散的な確率変数となる。

7.1.2 連続分布に従う乱数の生成方法

　逆関数が定義可能な分布関数 $F(x)$ について、 $U\sim U(0,1)$ に対して

$\begin{aligned} X_n=F^{-1}(U_n) \end{aligned}$

とおくと、 $U\sim U(0,1)$ の分布関数 $F_U(x)=x$ であるから、

$\begin{aligned} P\left(\{X_n\leq x\} \right)&=P\left(\{F^{-1}(U_n)\leq x\} \right)\\ &=P\left(\{U_n\leq F(x)\} \right)\\ &=F(x) \end{aligned}$

が成り立つ。したがって一様乱数 $u_n$ に対して

$\begin{aligned} x_n=F^{-1}(u_n) \end{aligned}$

とおけば、分布 $F$ に従う乱数列を得ることが出来る。

7.2 正規乱数

　正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う乱数を正規乱数という。正規乱数はさまざまな方法で生成する。
　代表的なのがBox-Muller法である。一様乱数 $(U_1,U_2)$ を生成し

${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} X_1&=\sqrt{-2\log{u_1}}\cos\left(2\pi u_2\right)\\ X_2&=\sqrt{-2\log{u_1}}\sin\left(2\pi u_2\right) \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

にて正規乱数 $(X_1,X_2)$ を得る。
　互いに独立に標準正規分布に従う確率変数 $(Z_1 Z_2)$ があるとき

$\begin{aligned} f_{Z_1 Z_2}(z_1,z_2)=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}}\exp\left({-\frac{{z_1}^2+{z_2}^2}{2}}\right) \end{aligned}$

は円周上で定数値を取る。したがってその偏角

$\begin{aligned} \Theta=\arctan{\frac{Z_2}{Z_1}} \end{aligned}$

は $(0,2\pi)$ 上で一様分布に従う。
　また

$\begin{aligned} R^2={Z_{1}}^2+{Z_{2}}^2 \end{aligned}$

は自由度 $2$ のカイ二乗分布に従う。カイ二乗分布の性質から、 $e^{-\frac{R^2}{2}}\sim U(0,1)$ である。
　以上の性質から、一様乱数 $U_{1},U_{2}$ があったときに

$\begin{aligned} \Theta&=2\pi U_1\\ R^2&=2\log{U_2} \end{aligned}$

とおけば、

$\begin{aligned} Z_1&=R^2\cos{\Theta}\\ Z_2&=R^2\sin{\Theta} \end{aligned}$

はいずれも標準正規分布に従う。以上がBox-Muller法の原理である*2。

　一般の正規分布には、平均を $\mu$ 、分散を $\sigma^2$ とすれば $Z\sim N(0,1)$ に対して

$\begin{aligned} X=\mu+\sigma Z\sim N(\mu,\sigma^2) \end{aligned}$

となるから、上式で更に変換すればよい。
　（標準）正規分布の分布関数は逆関数を解析的に計算できないため、（標準）正規乱数を生成する際は、その近似式を用いるないしBox-Muller法を用いる。近似式としては、たとえばMoroの方法が知られている。
　一様乱数 $U\sim U(0,1)$ に対して、標準正規乱数 $X(U)$ を

${\displaystyle \begin{eqnarray} X(U)= \left\{ \begin{array}{l} (U-0.5)\displaystyle{\frac{\displaystyle{\sum_{j=0}^{3}a_j (U-0.5)^{2j}}}{1+\displaystyle{\sum_{k=1}^{4}b_k(U-0.5)^{2k}}}}\\ \displaystyle{\sum_{j=0}^{8}c_{j}(\log\left(-\log\left(1-U\right)\right))^{j}} \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

ここで各変数値は以下のとおりである：

$a_0$	$2.50662823884$
$a_1$	$-18.61500062529$
$a_2$	$41.39119773534$
$a_3$	$-25.44106049637$
$b_1$	$-8.47351093090$
$b_2$	$23.08336743743$
$b_3$	$-21.06224101826$
$b_4$	$3.13082909833$

また

$c_0$ ：	$0.3374754822726147$
$c_1$ ：	$0.9761690190917186$
$c_2$ ：	$0.1607979714918209$
$c_3$ ：	$0.0276438810333863$
$c_4$ ：	$0.0038405729373609$
$c_5$ ：	$0.0003951896511919$
$c_6$ ：	$0.0000321767881768$
$c_7$ ：	$0.0000002888167364$
$c_8$ ：	$0.0000003960315187$