ファイナンス練習(2021年09月05日) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。今日はP.85-86(86-89は省略)まで（当分は実装なしが続きます）。

4. 多変量確率変数とポートフォリオ理論
- 4.10 CAPM

4. 多変量確率変数とポートフォリオ理論

4.10 CAPM

　前稿ではポートフォリオを表す点および無リスク資産を表す点を通る直線を導入した。すなわちリスク・リターン平面において、ポートフォリオ $P$ （リスク・期待リターン： $(\sigma_{P},\mu_{P})$ および無リスク資産（リターン： $r_{F}$ ）に対して

$\begin{aligned} \mu=\displaystyle{\mu_{F}+(\mu_{P}-\mu_{F})\frac{\sigma}{\sigma_{P}}} \end{aligned}$

である。
　このポートフォリオ $P$ の構成ウェイトを $\omega_{1},\cdots,\omega_{n}$ とすれば、 $\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\omega_{i}=1}$ に注意しつつポートフォリオの期待リターンおよびリスクを代入することで、その傾きを

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\mu_{P}-\mu_{F}}{\sigma_{P}}}&=\frac{\sum_{i=1}^{n}{\omega_{i}\mu_{i}}-\mu_{F}\sum_{i=1}^{n}{\omega_{i}}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{\omega_{i}\omega_{j}\rho_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j}}}}\\ &=\frac{\sum_{i=1}^{n}{\omega_{i}(\mu_{i}}-\mu_{F})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{\omega_{i}\omega_{j}\rho_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j}}}} \end{aligned}$

と表現できる。これを最大化するような $\omega_{1},\cdots,\omega_{n}$ を求めるには、これを各投資比率 $\omega_{i}$ で偏微分して得られる式を $0$ とおいた式から

$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial\omega_{i}}\frac{\sum_{i=1}^{n}{\omega_{i}(\mu_{i}}-\mu_{F})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{\omega_{i}\omega_{j}\rho_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j}}}}&=\frac{1}{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{\omega_{i}\omega_{j}\rho_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j}}}\\ &\ \ \{(\mu_{i}-\mu_{F})\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{\omega_{i}\omega_{j}\rho_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j}}}\\ &\ \ -\frac{\{\sum_{i=1}^{n}\omega_{i}(\mu_{i}-\mu_{F})\}(\sum_{j=1}^{n}\omega_{j}\rho_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{\omega_{i}\omega_{j}\rho_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j}}}}\}\\ &=0 \end{aligned}$

である。したがって、このときのポートフォリオが市場ポートフォリオになること、さらにこのとき

$\begin{aligned} {\sigma_{M}}^2&=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}{\omega_{i}\omega_{j}\rho_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j}} \end{aligned}$

であることに注意すれば、各商品のリターンを $r_{i}$ 、市場ポートフォリオのリターンを $r_{M}$ として $Cov[r_{i},r_{M}]=\sum_{j=1}^{n}\omega_{j}\rho_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j}$ であるから

$\begin{aligned} \mu_{i}-\mu_{F}&=\displaystyle{\frac{\mu_{M}-\mu_{F}}{{\sigma_{M}}^2}\sum_{j=1}^{n}\omega_{j}\rho_{ij}\sigma_{i}\sigma_{j}}\\ &=\displaystyle{\frac{\mu_{M}-\mu_{F}}{\sigma_{M}}\frac{Cov[r_{i},r_{M}]}{\sigma_{M}}} \end{aligned}$

が成り立つ。なお右辺第1項はリスクの市場価格である。更に

$\begin{aligned} \beta_{i,M}=\frac{Cov[r_{i},r_{M}]}{{\sigma_{M}}^2} \end{aligned}$

とおくと

$\begin{aligned} \mu_{i}-\mu_{F}&=\beta_{i,M}(\mu_{M}-\mu_{F}) \end{aligned}$

が成り立つ。この $\beta_{i,M}$ を商品 $i$ の市場ポートフォリオ $M$ に対するベータといい、商品[texi]の期待超過リターン $\mu_i-\mu_F$ は市場ポートフォリオの超過リターンの $\beta_{i,M}$ 倍になっていることが分かる。この均衡式をCAPMという。