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ファイナンス練習(2021年09月06日)

 業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。今日からは新章に入るものの、行列については理論が続くのと本筋とは関係が薄いため大幅にカットします。P.117-121まで(当分は実装なしが続きます)。

5. 行列計算と多変量正規分布

5.1 多変量正規分布

 正規分布は単変量から多変量への拡張が自然に可能であるため、頻用される。
 確率ベクトル\boldsymbol{X}=^{t}(X_{1},\cdots,X_{n})について、各成分の平均および分散、ならびに共分散をE[X_{i}]=\mu_{i}, V[X_{i}]={\sigma_{i}}^2, Cov[X_{i},X_{j}]=\sigma_{ij}とする。更に\boldsymbol{X}の平均ベクトルおよび分散共分散行列を\boldsymbol{\mu}=^{t}(\mu_{1},\cdots,\mu_{n}),\boldsymbol{\Sigma}=(\sigma_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq n}とする。
 ここでn次元ベクトル\boldsymbol{c}=^t(c_{1},\cdots,c_{n})に対してY=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}c_{i}(X_{i}-\mu_{i})}とおくと


\begin{aligned}
E[Y^{2}]=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}c_{i}c_{j}\sigma_{ij}=^t\boldsymbol{c}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{c}\geq0}
\end{aligned}

が成り立つから、一般に分散共分散行列\boldsymbol{\Sigma}は非負定値n次対称行列である(以降では非負定値ではなく正定値と仮定する)。

 確率ベクトル\boldsymbol{X}=^{t}(X_{1},\cdots,X_{n})の同時密度関数が


\begin{aligned}
f(\boldsymbol{x})=\displaystyle{\frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}\sqrt{|\boldsymbol{\Sigma}|}}\exp{\{-\frac{^{t}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu}){\boldsymbol{\Sigma}}^{-1}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu})}{2}\}}}
\end{aligned}

で与えられるとき、\boldsymbol{X}は母数\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma}n変量正規分布に従うといい、\boldsymbol{X}\sim N_{n}(\boldsymbol{\mu}, \boldsymbol{\Sigma})と書く。

 n変量正規分布積率母関数


\begin{aligned}
m_{\boldsymbol{X}}(\boldsymbol{t})=\displaystyle{\exp\{{^{t}\boldsymbol{t\mu}+\frac{1}{2}{^t}\boldsymbol{t\Sigma t}}\}}
\end{aligned}

である。

 R_iを商品iの収益率を表す確率変数とし、\omega_iをそのウェイトとすると、ポートフォリオの収益率は過去に述べたように


\begin{aligned}
R_{P}=^{t}\boldsymbol{\omega R}
\end{aligned}

と書ける。ここで\boldsymbol{R}=^{t}(R_1,\cdots,R_n)であり、R_{P}\sim N(^{t}\boldsymbol{\omega\mu},^{t}\boldsymbol{\omega\Sigma\omega})である。

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