アクティブ・ポートフォリオ・マネジメント(その02/X) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定量的なアクティブ運用の妙味を議論すべく、

アクティブ・ポートフォリオ・マネジメント―運用戦略の計量的理論と実践

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とその続編

Advances in Active Portfolio Management: New Developments in Quantitative Investing (English Edition)

作者:Grinold, Richard C.,Kahn, Ronald N.
McGraw Hill

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を整理していく*1。

2.　コンセンサス期待リターン

2.　コンセンサス期待リターン

2.11　数学的な補足

2.11.1　準備

　まず以下のように変数を導入する。

$\boldsymbol{h}$	リスク資産の保有ウェイト・ベクトル
$\boldsymbol{f}$	期待超過リターン・ベクトル
$\boldsymbol{\mu}$	$\mathrm{CAPM}$ の下における期待超過リターン・ベクトル
$\boldsymbol{V}$	リスク資産の超過リターンの分散共分散行列(正則と仮定する)
$\boldsymbol{\beta}$	想定する全資産のベータを成分とするベクトル
$\boldsymbol{e}$	すべての成分が $1$ であるようなベクトル

また超過リターンの標準偏差(年率換算)をリスクと呼ぶことにする。

2.11.2　仮定

　その期間の間にポートフォリオのリバランスを行なわない1期間を考え、以下の仮定

$\mathrm{A}_{1}$	無リスク資産が存在する。
$\mathrm{A}_{2}$	すべての超過リターンについて、一次・二次モーメントが存在する。
$\mathrm{A}_{3}$	無リスクですべてに投資するポートフォリオは構築できない。
$\mathrm{A}_{4}$	最小リスクですべてに投資するポートフォリオ $C$ の期待超過リターンは正だとする。

をおく。

2.11.3　特性ポートフォリオ

　資産はさまざまな属性を持つ。たとえばベータ、期待リターン、 $E/P$ 、時価総額や経済セクターへの所属などである。
　特性ポートフォリオ( $\mathrm{characteristic\ portfolio}$ )は、定義された属性を一意に捉える。特性ポートフォリオを構築する手順は、属性とポートフォリオを結びつけることを可能にする。そしてその特性ポートフォリオのそれとの共分散という意味での属性へのエクスポージャを特定できる。
　この過程は可逆的と言える。すなわちポートフォリオから始めて、このポートフォリオを最も効果的に表現する属性を見出すのである。
　ひとたび属性とポートフォリオの関係を構築することができれば、 $\mathrm{CAPM}$ は、その特性ポートフォリオの超過リターンに関して経済的な動機付けのある説明が可能になる。
　 ${}^{t}\!\boldsymbol{a}=\begin{bmatrix}a_1,a_2,\cdots,a_n\end{bmatrix}$ を資産の属性(特性)を表すベクトルだとする。

命題1：特性ポートフォリオ　 $a\neq0$ であるような任意の属性に対して、最小のリスクで $a$ への単位エクスポージャを持つポートフォリオ $\boldsymbol{h}_a$ が一意に存在する。その特性ポートフォリオのウェイト $\boldsymbol{h}_a$ は、

$\begin{aligned} \boldsymbol{h}_a=\displaystyle{\frac{\boldsymbol{V}^{-1}\boldsymbol{a}}{{}^{t}\!\boldsymbol{a}\boldsymbol{V}^{-1}\boldsymbol{a}}} \end{aligned}$

で与えられる。
　特性ポートフォリオは、必ずしもすべてに投資する必要はない。またロング・ポジションとショート・ポジションから構成されること、特定のレバレッジが掛かっている可能性もある。

命題2：特性ポートフォリオの分散　命題1における特性ポートフォリオ $\boldsymbol{h}_a$ の分散は

$\begin{aligned} \sigma_a^2={}^{t}\!\boldsymbol{h}_a\boldsymbol{V}\boldsymbol{h}_a=\displaystyle{\frac{1}{{}^{t}\!\boldsymbol{a}\boldsymbol{V}^{-1}\boldsymbol{a}}} \end{aligned}$

で与えられる。

命題3：特性ポートフォリオのベータ　命題1の特性ポートフォリオ $\boldsymbol{h}_a$ を所与とする。特性ポートフォリオ $\boldsymbol{h}_a$ に対するすべての資産のベータ $\boldsymbol{\beta}_a$ は $\boldsymbol{a}$ に等しい、すなわち

$\begin{aligned} \boldsymbol{\beta}_a=\boldsymbol{a}=\displaystyle{\frac{\boldsymbol{V}\boldsymbol{h}_a}{\sigma_a^2}} \end{aligned}$

である。

命題4：特性ポートフォリオ同士の共分散　命題1の特性ポートフォリオ $\boldsymbol{h}_a$ を所与とする。特性ポートフォリオ $\boldsymbol{h}_a,$ $\boldsymbol{h}_b$ それぞれの属性 $a,b$ を考え、 $a_b,b_a$ をそれぞれ $\boldsymbol{h}_b$ の $a$ に対するエクスポージャおよび $\boldsymbol{h}_a$ の $b$ に対するエクスポージャだとする。このとき $\boldsymbol{h}_a$ と $\boldsymbol{h}_b$ の共分散 $\sigma_{a,b}$ は、

$\begin{aligned} \sigma_{a,b}=a_b\sigma_a^2=b_a\sigma_b^2 \end{aligned}$

を満たす。

命題5：特性ポートフォリオ・エクスポージャの定数倍　命題1の特性ポートフォリオ $\boldsymbol{h}_a$ を所与として、 $\kappa\gt0$ に対して、 $\kappa a$ の特性ポートフォリオは

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\boldsymbol{h}_a}{\kappa}} \end{aligned}$

で与えられる。すなわち、特性ポートフォリオは属性への単位エクスポージャを持つから、属性に $\kappa$ を掛ければ、単位エクスポージャを維持するには $\kappa$ で特性ポートフォリオを除する必要があることになる。

命題6：特性ポートフォリオ・エクスポージャの線形結合　命題1の特性ポートフォリオ $\boldsymbol{h}_a$ を所与とする。特性 $a$ は特性 $b,c$ の線形結合として表されるならば、 $a$ の特性ポートフォリオは $b,c$ の特性ポートフォリオの線形結合である。特に $a=\kappa_b b+\kappa_c c$ であるならば、

$\begin{aligned} \boldsymbol{h}_a=\left(\displaystyle{\frac{\kappa_{b}\sigma_{a}^2}{\sigma_{b}^2}}\right)\boldsymbol{h}_{b}+\left(\displaystyle{\frac{\kappa_{c}\sigma_{a}^2}{\sigma_{c}^2}}\right)\boldsymbol{h}_{c} \end{aligned}$

で与えられる。ここで

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{1}{\sigma_a^2}}=\left(\displaystyle{\frac{\kappa_{b}a_{b}}{\sigma_{b}^2}}\right)+\left(\displaystyle{\frac{\kappa_{c}a_c}{\sigma_{c}^2}}\right) \end{aligned}$

である。

( $\because$ 　定義した最適化問題を解くことによって、特性ポートフォリオの保有分を導き出す。ポートフォリオは、制約条件として特性 $a$ へのエクスポージャーが $1$ であるという制約条件において最小リスクを取る。 ${}^{t}\!\boldsymbol{h}\boldsymbol{a}=1$ という条件の下で ${}^{t}\!\boldsymbol{h}\mathit{V}\boldsymbol{h}$ を最小化する1階条件は、

$\begin{aligned} {}^{t}\!\boldsymbol{h}\boldsymbol{a}=1\\ \mathit{V}\boldsymbol{h}-\theta\boldsymbol{a}=0 \end{aligned}$

である。ここで $\theta$ はラグランジュ係数である。2つ目の条件は、 $\boldsymbol{h}$ が比例定数を $\theta$ として $\mathit{V}^{-1}\boldsymbol{a}$ に比例することを意味している。これを解くと、

$\begin{aligned} \boldsymbol{h}_a=\displaystyle{\frac{\mathit{V}^{-1}\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{a}\mathit{V}^{-1}\boldsymbol{a}}} \end{aligned}$

であり、

$\begin{aligned} \theta=\displaystyle{\frac{1}{\boldsymbol{a}\mathit{V}^{-1}\boldsymbol{a}}} \end{aligned}$

である。
　2つ目はポートフォリオの分散の定義と

$\begin{aligned} \boldsymbol{h}_a=\displaystyle{\frac{\mathit{V}^{-1}\boldsymbol{a}}{\boldsymbol{a}\mathit{V}^{-1}\boldsymbol{a}}} \end{aligned}$

から導くことができ、3つ目はポートフォリオ $P$ に関して $\displaystyle{\frac{\mathit{V}\boldsymbol{h}_P}{\sigma_P^2}}$ とする $\beta$ の定義を用いれば同様に導くことができる。
　4つ目については、

$\begin{aligned} \sigma_{\mathrm{ad}}&={}^{t}\!\boldsymbol{h}_PV\boldsymbol{h}_d\\ &=\left({}^{t}\!\boldsymbol{h}_{P}V\right)\boldsymbol{h}_d\\ &=\left(\sigma_a^2{}^{t}\!\boldsymbol{a}\right)\boldsymbol{h}_d\\ &=a_d\sigma_a^2 \end{aligned}$

および

$\begin{aligned} \sigma_{\mathrm{ad}}&={}^{t}\!\boldsymbol{h}_PV\boldsymbol{h}_d\\ &={}^{t}\!\boldsymbol{h}_{P}\left(V\boldsymbol{h}_d\right)\\ &={}^{t}\!\boldsymbol{h}_a\left(\sigma_d^2\boldsymbol{s}\right)\\ &=d_a\sigma_d^2 \end{aligned}$

を得る。これらの結果を用いて整理することで5つ目および6つ目を示すことができる。　 $blacksquare$ )

ベータ・ポートフォリオ

　 $\boldsymbol{\beta}$ が属性だと仮定する。ここで $\boldsymbol{\beta}$ は何らかのベンチマーク・ポートフォリオ $B$ により

$\begin{aligned} \boldsymbol{\beta}&=\displaystyle{\frac{\mathit{V}\boldsymbol{h}_B}{\sigma_B^2}} \end{aligned}$

と定義する。このときベンチマークはベータの特性ポートフォリオ、すなわち

$\begin{aligned} \boldsymbol{h}_{\boldsymbol{\beta}}&=\displaystyle{\frac{\mathit{V}^{-1}\boldsymbol{\beta}}{{}^{t}\!\boldsymbol{\beta}\mathit{V}^{-1}\boldsymbol{\beta}}}\\ &=\boldsymbol{h}_{B} \end{aligned}$

で、

$\begin{aligned} \sigma_B^2&={}^{t}\!\boldsymbol{h}_B\mathit{V}\boldsymbol{h}_B\\ &=\displaystyle{\frac{1}{{}^{t}\!\boldsymbol{\beta}\mathit{V}\boldsymbol{\beta}}} \end{aligned}$

である。したがってベンチマークはベータが $1$ であるような最小リスク・ポートフォリオである。これは直観的に分かる。すべての $\beta=1$ であるようなポートフォリオは、同一のシステマティック・リスクを持つ。ベンチマークは残差リスクを全くとっていないから、全 $\beta=1$ ポートフォリオの最良トータルリスクを持つ。
　命題4を用いることで、ポートフォリオ $B,C$ の関係性は

$\begin{aligned} \sigma_{B,C}=e_B\sigma_C^2=\beta_C\sigma_B^2 \end{aligned}$

で与えられる。

シャープ・レシオ

　任意のリスクのあるポートフォリオ $P$ ( $\sigma_P\gt0$ )について、シャープ・レシオはポートフォリオ $P$ の期待超過リターン $f_P$ をポートフォリオ $P$ のリスクで割ることで得られる。すなわち

$\begin{aligned} \mathrm{SR}_P=\displaystyle{\frac{f_P}{\sigma_P}} \end{aligned}$

で定義される。

命題7　シャープ・レシオ　期待超過リターン $f$ を持つ特性ポートフォリオを $q$ とする、すなわち

$\begin{aligned} \boldsymbol{h}_q=\displaystyle{\frac{V^{-1}\boldsymbol{f}}{{}^{t}\!\boldsymbol{f}V^{-1}\boldsymbol{f}}} \end{aligned}$

とする。このとき

$\mathrm{SR}_q=\displaystyle{\max_{P}\mathrm{SR}_P}=\left({}^{t}\!\boldsymbol{f}V^{-1}\boldsymbol{f}\right)^{\frac{1}{2}}$
$f_q=1,\sigma_q^2=\displaystyle{\frac{1}{{}^{t}\!\boldsymbol{f}V^{-1}\boldsymbol{f}}}$
$\boldsymbol{f}=\displaystyle{\frac{\mathit{V}\boldsymbol{h}_q}{\sigma_q^2}}=\left(\displaystyle{\frac{\mathit{V}\boldsymbol{h}_q}{\sigma_q}}\right)\mathrm{SR}_q$
$\rho_{P,q}$ をポートフォリオ $P,q$ との共分散とすれば、
$\begin{aligned}\mathrm{SR}_P=\rho_{P,q}\mathrm{SR}_q\end{aligned}$
リスク資産に投資した $q$ の比率は
$\begin{aligned}e_q=\displaystyle{\frac{f_C\sigma_q^2}{\sigma_C^2}}\end{aligned}$

( $\because$ 　任意のポートフォリオ $\boldsymbol{h}_P$ について、そのシャープ・レシオ $\mathrm{SR}_P$ は

$\begin{aligned} \mathrm{SR}_P=\displaystyle{\frac{f_P}{\sigma_P}} \end{aligned}$

で与えられる。任意の正の定数 $\kappa$ に対して、保有量が $\kappa\boldsymbol{h}_P$ であるようなポートフォリオは、 $\mathrm{SR}_P$ に等しいシャープ・レシオを持つ。したがって、最大のシャープ・レシオを探せば、期待超過リターンは $1$ で最小リスクを持つと設定できる。そして ${}^{t}\!\boldsymbol{h}\boldsymbol{f}=1$ という制約条件の下で ${}^{t}\!\boldsymbol{h}\mathit{V}\boldsymbol{h}$ を最小化する。これは $f$ を持つ特性ポートフォリオ $\boldsymbol{h}_q$ を得る問題である。
　2,3つ目は特性ポートフォリオの性質である。4つ目については、3.に $\boldsymbol{h}_P$ を掛けてから $\sigma_P$ で割ると、

$\begin{aligned} \mathrm{SR}_P&=\displaystyle{\frac{f_P}{\sigma_P}}\\ &=\displaystyle{\frac{{}^{t}\!\boldsymbol{h}_P\boldsymbol{f}}{\sigma_P}}\\ &=\sigma_{P,q}\left(\displaystyle{\frac{f_q}{\sigma_q^2}}\right)\left(\displaystyle{\frac{1}{\sigma_P}}\right) \end{aligned}$

すなわち

$\begin{aligned} \mathrm{SR}_P=\left(\displaystyle{\frac{\sigma_{P,q}}{\sigma_P\sigma_q}}\right)\left(\displaystyle{\frac{f_q}{\sigma_q}}\right)=\rho_{P,q}\mathrm{SR}_q \end{aligned}$

を得る。5つ目は、

$\begin{aligned} \sigma_{q,C}=e_q\sigma_C^2=f_C\sigma_q^2 \end{aligned}$

を得る。　 $\blacksquare$ )

　アルファを $\boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{F}-\boldsymbol{\beta}f_B$ で定義する。 $\boldsymbol{h}_A$ をアルファに関する特性ポートフォリオ、すなわち100パーセントのアルファに関する最小リスクポートフォリオとする(こういったポートフォリオは普通、レバレッジを掛けることが多い。)。これは $\boldsymbol{h}_B$ と $\boldsymbol{h}_q$ で書くことができる。このときアルファとベータの関係性は、 $\sigma_{B,A}=\alpha_B\sigma_A^2=\beta_A\sigma_B^2$ である。しかし $\alpha_B=0$ であり、したがって $A,B$ は相関を持たないから、 $\beta_A=0$ である。
　多くの場合、期待超過リターンを説明する完全に投資したポートフォリオ *2が存在すると仮定するのが便利である。ポートフォリオ $C$ の期待超過リターンが正であるときに意味がある。

命題8　アルファ・ポートフォリオ　 $f_C\gt0$ と仮定する。

ポートフォリオ $q$ はネットベースでロングである。すなわち $e_Q\gt0$ である。ポートフォリオ $Q$ を $e_q\boldsymbol{f}$ の特性ポートフォリオとする。ポートフォリオ $Q$ は完全に投資されており、 $\boldsymbol{h}_Q=\displaystyle{\frac{\boldsymbol{h}_q}{e_q}}$ で与えられる。加えて、 $\mathrm{SR}_{Q}=\mathrm{SR}_{q}$ で、ポートフォリオの $Q$ との共分散として $\sigma_{P,Q}$ を持つ任意のポートフォリオ $P$ に対して、
$\begin{aligned}\mathrm{SR}_{P}=\rho_{P,Q}\mathrm{SR}_{Q}\end{aligned}$
である。
$\displaystyle{\frac{f_C}{\sigma_C^2}}=\displaystyle{\frac{f_Q}{\sigma_Q^2}},\boldsymbol{f}=f_Q\left(\displaystyle{\frac{\mathit{V}\boldsymbol{h}_Q}{\sigma_Q^2}}\right)=f_Q\boldsymbol{\beta}_{\mathrm{w.r.t.}\ Q}$
$\beta_Q=\displaystyle{\frac{f_B\sigma_Q^2}{f_Q\sigma_B^2}}$
もしベンチマークが完全に投資されている、すなわち $e_B=1$ ならば、 $\beta_Q=\displaystyle{\frac{\beta_Cf_B}{f_C}}$ である。

( $\because$ 　1つ目は、 $e_Q\sigma_C^2=f_C\sigma_Q^2$ および $f_C\gt0$ であるから、 $e_q\gt0$ である。命題1より

$\begin{aligned} \boldsymbol{h}_Q&=\displaystyle{\frac{\boldsymbol{h}_q}{e_q}}\\ &=\displaystyle{\frac{\boldsymbol{h}_q\sigma_C^2}{f_C\sigma_q^2}} \end{aligned}$

を得る。ポートフォリオ $Q$ の保有量は $q$ の保有量に正の比例定数を掛けたものであり、シャープ・レシオや他のポートフォリオとの相関係数も同様である。
　2つ目については、まず $\boldsymbol{f}=\displaystyle{\frac{\mathit{V}\boldsymbol{h}_q}{\sigma_q^2}}$ から始め、 $\displaystyle{\frac{1}{\sigma_q^2}}=$ $\displaystyle{\frac{f_C}{e_q\sigma_C^2}}$ を用いる。これにより

$\begin{aligned} \boldsymbol{f}=f_C\left(\displaystyle{\frac{\mathit{V}\boldsymbol{h}_Q}{\sigma_C^2}}\right) \end{aligned}$

を得る。これに $\boldsymbol{h}_Q$ を掛けることで、

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{f_C}{\sigma_C^2}}&=\displaystyle{\frac{f_Q}{\sigma_Q^2}},\\ \boldsymbol{f}&=f_Q\left(\displaystyle{\frac{\mathit{V}\boldsymbol{h}_Q}{\sigma_Q^2}}\right) \end{aligned}$

である。3つ目については、

$\begin{aligned} \boldsymbol{f}=\displaystyle{\frac{\mathit{V}\boldsymbol{h}_q}{\sigma_q^2}}=\left(\displaystyle{\frac{\mathit{V}\boldsymbol{h}_q}{\sigma_q}}\right)\mathrm{SR}_q \end{aligned}$

に $\boldsymbol{h}_B$ を掛けることで

$\begin{aligned} f_B&=\left({}^{t}\!\displaystyle{h}_B\mathit{V}\boldsymbol{h}_Q\right)\left(\displaystyle{\frac{f_Q}{\sigma_Q^2}}\right)\\ &=\left(\displaystyle{\frac{{}^{t}\!\displaystyle{h}_B\mathit{V}\boldsymbol{h}_Q}{\sigma_B^2}}\right)\left(\displaystyle{\frac{\sigma_B^2f_Q}{\sigma_Q^2}}\right) \end{aligned}$

を得、したがって

$\begin{aligned} f_B=\boldsymbol{\beta}_Q\left(\displaystyle{\frac{\sigma_B^2f_Q}{\sigma_Q^2}}\right) \end{aligned}$

である。
　4つ目は、 $e_B=1$ および $\sigma_{B,C}=e_B\sigma_C^2=\beta_C\sigma_B^2$ を用いれば、

$\begin{aligned} \beta_C=\displaystyle{\frac{\sigma_{C}^2}{\sigma_{B}^2}} \end{aligned}$

である。これに $\displaystyle{\frac{f_{C}}{\sigma_{C}^2}}=\displaystyle{\frac{f_{Q}}{\sigma_{Q}^2}}$ を併せることで

$\begin{aligned} \boldsymbol{\beta}_Q=\displaystyle{\frac{\boldsymbol{\beta}_Cf_B}{f_C}} \end{aligned}$

を得る。　 $\blacksquare$ )

2.11.4　効率的フロンティア

　2つの特性について完全に投資されたポートフォリオに注目する。すなわちポートフォリオ $C$ およびポートフォリオ $Q$ である。この観点では効率的フロンティアと呼ばれる分離可能なポートフォリオの集合を導入したい。ポートフォリオ $C$ および $Q$ 自身もこの集合に含まれる。実際、これから見るように、効率フロンティア上の全ポートフォリオは、ポートフォリオ $C$ および $Q$ の線形結合であるから、効率的フロンティアの各元は特性ポートフォリオである。効率的フロンティアのポートフォリオはのリターンおよびリスクの特性はポートフォリオ $C$ および $Q$ のリターン・リスク特性でパラメータ化できる。
　完全に投資されたポートフォリオが効率的であるとは、同じ期待リターンを持つすべてのポートフォリオが(同じ)最小リスクを持つことを言う。効率フロンティア上のポートフォリオは制約条件

$\begin{aligned} {}^{t}\!\boldsymbol{e}\boldsymbol{h}&=1\\ {}^{t}\!\boldsymbol{f}\boldsymbol{h}&=f_P \end{aligned}$

の下で最小化問題 $\mathrm{Minimize} \displaystyle{\frac{{}^{t}\!\boldsymbol{h}\mathit{V}\boldsymbol{h}}{2}}$ を解けばよい。これにより、

$\begin{aligned} \boldsymbol{h}_P=\left(\displaystyle{\frac{f_Q-f_P}{f_Q-f_C}}\right)\boldsymbol{h}_C+\left(\displaystyle{\frac{f_P-f_C}{f_Q-f_C}}\right)\boldsymbol{h}_Q \end{aligned}$

を得る。ここで $\boldsymbol{h}_{C}$ および $\boldsymbol{h}_{Q}$ は $\boldsymbol{f}\neq\boldsymbol{e}$ を仮定して求めている。したがって効率的フロンティア上のポートフォリオは $\boldsymbol{h}_{C}$ および $\boldsymbol{h}_{Q}$ の線形結合で得られる。
　ここで特性とポートフォリオが一対一で対応することを思い出そう。したがって $\boldsymbol{a}_P$ を用いることで

$\begin{aligned} \boldsymbol{a}_P&=w_C\boldsymbol{e}+w_Q e_qf\\ &=\displaystyle{\frac{1}{\sigma_P^2\left(f_Q-f_C\right)}}\left\{\sigma_C^2\left(f_Q-f_P\right)\boldsymbol{e}+\sigma_Q^2\left(f_P-f_C\right)e_q\boldsymbol{f}\right\} \end{aligned}$

である。ここから、効率的フロンティア上のポートフォリオの分散が

$\begin{aligned} \sigma_P^2&=\sigma_C+\kappa\left(f_P-f_C\right)^2,\\ \kappa&=\displaystyle{\frac{(\sigma_Q^2-\sigma_C^2)}{(f_Q-f_C)^2}} \end{aligned}$

で得られる。

2.11.5　資本資産価格モデル(CAPM)

　 $\mathrm{CAPM}$ は2つの手順で構築する。1つ目はアルファ・ポートフォリオの導入で示した

$\begin{aligned} \boldsymbol{f}=f_C\left(\displaystyle{\frac{\mathit{V}\boldsymbol{h}_Q}{\sigma_C^2}}\right) \end{aligned}$

において資産の期待超過リターン・ベクトルがポートフォリオ $Q$ に対する資産のベータ・ベクトルに比例するとすればよい。次に特定の仮定を置くことで、ポートフォリオ $Q$ が市場ポートフォリオ $M$ であること、すなわち市場ポートフォリオが完全に投資された全ポートフォリオの中で最も期待リターンの高いポートフォリオであることを導出できる。すなわち

定理　CAPM　もし

全投資家が平均/分散選好を有している、
全資産が分析対象に含まれている、
全投資家が資産の分散および共分散を承知している、
取引コストや税が無いものとする、

ならば、ポートフォリオ $Q$ は市場ポートフォリオ $M$ に等しく、

$\begin{aligned} \boldsymbol{f}=\boldsymbol{\mu}=\boldsymbol{\beta}\mu_M \end{aligned}$

である。

*1:手許には原書しかないので、上記書籍と表記が異なる可能性がある。

*2:現金を持たないという意味である。

2. コンセンサス期待リターン

2.11 数学的な補足

2.11.1 準備

2.11.2 仮定

2.11.3 特性ポートフォリオ

ベータ・ポートフォリオ

シャープ・レシオ

2.11.4 効率的フロンティア

2.11.5 資本資産価格モデル(CAPM)

2.　コンセンサス期待リターン

2.11　数学的な補足

2.11.1　準備

2.11.2　仮定

2.11.3　特性ポートフォリオ

2.11.4　効率的フロンティア

2.11.5　資本資産価格モデル(CAPM)