定量的なアクティブ運用の妙味を議論すべく、
とその続編
を整理していく*1。
2. コンセンサス期待リターン
2.11 数学的な補足
2.11.1 準備
まず以下のように変数を導入する。
リスク資産の保有ウェイト・ベクトル | |
期待超過リターン・ベクトル | |
リスク資産の超過リターンの分散共分散行列(正則と仮定する) | |
想定する全資産のベータを成分とするベクトル | |
すべての成分が |
また超過リターンの標準偏差(年率換算)をリスクと呼ぶことにする。
2.11.2 仮定
その期間の間にポートフォリオのリバランスを行なわない1期間を考え、以下の仮定
無リスク資産が存在する。 | |
すべての超過リターンについて、一次・二次モーメントが存在する。 | |
無リスクですべてに投資するポートフォリオは構築できない。 | |
最小リスクですべてに投資するポートフォリオ |
をおく。
2.11.3 特性ポートフォリオ
資産はさまざまな属性を持つ。たとえばベータ、期待リターン、、時価総額や経済セクターへの所属などである。
特性ポートフォリオ()は、定義された属性を一意に捉える。特性ポートフォリオを構築する手順は、属性とポートフォリオを結びつけることを可能にする。そしてその特性ポートフォリオのそれとの共分散という意味での属性へのエクスポージャを特定できる。
この過程は可逆的と言える。すなわちポートフォリオから始めて、このポートフォリオを最も効果的に表現する属性を見出すのである。
ひとたび属性とポートフォリオの関係を構築することができれば、は、その特性ポートフォリオの超過リターンに関して経済的な動機付けのある説明が可能になる。
を資産の属性(特性)を表すベクトルだとする。
命題1:特性ポートフォリオ
で与えられる。
特性ポートフォリオは、必ずしもすべてに投資する必要はない。またロング・ポジションとショート・ポジションから構成されること、特定のレバレッジが掛かっている可能性もある。
命題4:特性ポートフォリオ同士の共分散 命題1の特性ポートフォリオ
を満たす。
命題5:特性ポートフォリオ・エクスポージャの定数倍 命題1の特性ポートフォリオ
で与えられる。すなわち、特性ポートフォリオは属性への単位エクスポージャを持つから、属性にを掛ければ、単位エクスポージャを維持するには
で特性ポートフォリオを除する必要があることになる。
命題6:特性ポートフォリオ・エクスポージャの線形結合 命題1の特性ポートフォリオ
で与えられる。ここで
である。
( 定義した最適化問題を解くことによって、特性ポートフォリオの保有分を導き出す。ポートフォリオは、制約条件として特性
へのエクスポージャーが
であるという制約条件において最小リスクを取る。
という条件の下で
を最小化する1階条件は、
である。ここではラグランジュ係数である。2つ目の条件は、
が比例定数を
として
に比例することを意味している。これを解くと、
であり、
である。
2つ目はポートフォリオの分散の定義と
から導くことができ、3つ目はポートフォリオに関して
とする
の定義を用いれば同様に導くことができる。
4つ目については、
および
を得る。これらの結果を用いて整理することで5つ目および6つ目を示すことができる。 )
ベータ・ポートフォリオ
が属性だと仮定する。ここで
は何らかのベンチマーク・ポートフォリオ
により
と定義する。このときベンチマークはベータの特性ポートフォリオ、すなわち
で、
である。したがってベンチマークはベータがであるような最小リスク・ポートフォリオである。これは直観的に分かる。すべての
であるようなポートフォリオは、同一のシステマティック・リスクを持つ。ベンチマークは残差リスクを全くとっていないから、全
ポートフォリオの最良トータルリスクを持つ。
命題4を用いることで、ポートフォリオの関係性は
で与えられる。
シャープ・レシオ
任意のリスクのあるポートフォリオ(
)について、シャープ・レシオはポートフォリオ
の期待超過リターン
をポートフォリオ
のリスクで割ることで得られる。すなわち
で定義される。
(
で与えられる。任意の正の定数に対して、保有量が
であるようなポートフォリオは、
に等しいシャープ・レシオを持つ。したがって、最大のシャープ・レシオを探せば、期待超過リターンは
で最小リスクを持つと設定できる。そして
という制約条件の下で
を最小化する。これは
を持つ特性ポートフォリオ
を得る問題である。
2,3つ目は特性ポートフォリオの性質である。4つ目については、3.にを掛けてから
で割ると、
すなわち
を得る。5つ目は、
を得る。 )
アルファをで定義する。
をアルファに関する特性ポートフォリオ、すなわち100パーセントのアルファに関する最小リスクポートフォリオとする(こういったポートフォリオは普通、レバレッジを掛けることが多い。)。これは
と
で書くことができる。このときアルファとベータの関係性は、
である。しかし
であり、したがって
は相関を持たないから、
である。
多くの場合、期待超過リターンを説明する完全に投資したポートフォリオ*2が存在すると仮定するのが便利である。ポートフォリオの期待超過リターンが正であるときに意味がある。
(
を得る。ポートフォリオの保有量は
の保有量に正の比例定数を掛けたものであり、シャープ・レシオや他のポートフォリオとの相関係数も同様である。
2つ目については、まずから始め、
を用いる。これにより
を得る。これにを掛けることで、
である。3つ目については、
にを掛けることで
を得、したがって
である。
4つ目は、および
を用いれば、
である。これにを併せることで
を得る。 )
2.11.4 効率的フロンティア
2つの特性について完全に投資されたポートフォリオに注目する。すなわちポートフォリオおよびポートフォリオ
である。この観点では効率的フロンティアと呼ばれる分離可能なポートフォリオの集合を導入したい。ポートフォリオ
および
自身もこの集合に含まれる。実際、これから見るように、効率フロンティア上の全ポートフォリオは、ポートフォリオ
および
の線形結合であるから、効率的フロンティアの各元は特性ポートフォリオである。効率的フロンティアのポートフォリオはのリターンおよびリスクの特性はポートフォリオ
および
のリターン・リスク特性でパラメータ化できる。
完全に投資されたポートフォリオが効率的であるとは、同じ期待リターンを持つすべてのポートフォリオが(同じ)最小リスクを持つことを言う。効率フロンティア上のポートフォリオは制約条件
の下で最小化問題を解けばよい。これにより、
を得る。ここでおよび
は
を仮定して求めている。したがって効率的フロンティア上のポートフォリオは
および
の線形結合で得られる。
ここで特性とポートフォリオが一対一で対応することを思い出そう。したがってを用いることで
である。ここから、効率的フロンティア上のポートフォリオの分散が
で得られる。