はじめに
プログラミング云々ばかり言っていても、それがどのように計算されているかを知らないと仕様が無い。ということで数値解析を学んでいく。
基本的には
https://power-of-awareness.com/entry/2023/03/20/0500power-of-awareness.com
前回の復習
法は多変数においても成立し得るか。成立するならば、その収束速度について述べよ。 成立する。
法はその解に近い初期値を選べば2次収束する。
連続の定義を述べよ。 閉集合
で定義された
が、
に対して、ノルム
が定義されていて、
が成り立つとき、は(
に関して)
連続であるという。
2. 非線形方程式の解
2.3 連立非線形方程式
2.3.5 多変数反復法の誤差解析
定理2.12にはより精緻に改良されたものが存在する。
定理2.12 多変数反復法の誤差評価(2) 反復
が成り立つならば、仮定および
の下で、
が成り立つ。特にならば、仮定
および
の下で、より詳しく書き下した
が成り立つ。
であるから、
を得る。また
より
を得る。
ここでとおくと、
であり、また仮定より
に注意すれば、
である。したがっての正根を
の最小の正根を
とすれば、
および
に注意すれば、定理6.3も踏まえて、
を得る。
特にならば、
であるから、
で、これらを代入することで、
を得る。 )
2.3.6 多変数Newton法の誤差評価
特別な場合として、を解く
型反復
を考える。ここでは、
の解
を含む閉領域
において正則な
次行列で、
が
級だとする。
定理2.13 多変数
の誤差を含んだ反復
は、仮定
の下で
が成り立つ。
と書け、
である。
ここで
とおくと、
が成り立つ。を
に充分近く、
を十分に小さく選び、
が成り立つとすれば、誤差を含んだ反復
において
である。いま
とおけば、
である。この条件が成り立つ場合、定理2.12より、
である。この最右辺をとおけば、二項展開により、
を得る。 )
なお多変数法を実際に計算するとき、ヤコビアンの逆行列を実際に計算する必要はない。なぜならば、
が求まったとすれば、
に関する連立一次方程式
を解き、とすればよいからである。したがって多変数
法における反復で最も重要なのは、連立一次方程式を解くことにある。
※今日の復習はなし
参考文献
- 伊理正夫・藤野和建(1985)「数値計算の常識」(共立出版)
- 菊地文雄・齊藤宣一(2016)「数値解析の原理 現象の解明をめざして」(岩波書店)
- 齊藤宣一(2012)「数値解析入門」(東京大学出版)
- 齊藤宣一(2017)「数値解析」(共立出版)
- 高橋大輔(1996)「理工系の基礎数学8 数値計算」(岩波書店)
- 山本哲朗(2003)「数値解析入門[増訂版]」(サイエンス社)
- 日本応用数理学会 監修・ 櫻井 鉄也 編・ 松尾 宇泰 編・ 片桐 孝洋 編(2018)「数値線形代数の数理とHPC」(共立出版)
- Ridgway Scott, Larkin (2011), "Numerical Analysis", (Princeton University Press)