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統計学のための線形代数(010/X)

 統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書

を基により高等な線形代数を学ぶ。

3. 固有値固有ベクトル

3.4 対称行列の固有値に関する付加的定理

 これよりもさらに一般化した、\mathrm{Weyl}の定理の一般形を扱う。


\mathrm{Weyl}の定理の一般形② A,Bm次対称行列とし、h,i1からmの閉区間内の整数とする。このとき

  • h+i\leq m+1ならば\lambda_{h+i-1}(A+B)\leq \lambda_h(A)+\lambda_i(B)
  • h+i\geq m+1ならば\lambda_{h+i-m}(A+B)\geq \lambda_h(A)+\lambda_i(B)

が成り立つ。

(\because m次対称行列A固有値\lambda_1(A)\geq\cdots\geq\lambda_m(A)に対応する正規直交固有ベクトルの集合を\{\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_m\}とする。またm次対称行列B固有値\lambda_1(B)\geq\cdots\geq\lambda_m(B)に対応する正規直交固有ベクトルの集合を\{\boldsymbol{y}_1,\cdots,\boldsymbol{y}_m\}とする。もし

\begin{aligned}
A_h&=\displaystyle{\sum_{j=1}^{h-1}\lambda_j(A)\boldsymbol{x}_j\boldsymbol{x}_j^{\prime}},\\
B_i&=\displaystyle{\sum_{j=1}^{i-1}\lambda_j(B)\boldsymbol{y}_j\boldsymbol{y}_j^{\prime}}
\end{aligned}

ならば、明らかに\mathrm{rank}(A_h)\leq h-1,\mathrm{rank}(B_i)\leq i-1が成り立つ。そして\mathrm{rank}(A_h+B_i)\leq h+i-2である。したがってh=1,j=h+i-2として\mathrm{Weyl}の定理の一般形①の結果を用いることで


\begin{aligned}
\lambda_1(A-A_h+B-B_i)&=\lambda_1\left( (A+B)-(A_h-B_i) \right)\\
&\geq \lambda_{1+h+i-2}(A+B)\\
&=\lambda_{h+i-1}(A+B)
\end{aligned}

である。また\mathrm{Weyl}の定理から


\begin{aligned}
\lambda_1(A-A_h+B-B_i)\leq \lambda_1(A-A_h)+\lambda_1(B-B_i)
\end{aligned}

が成り立つ。ここで


\begin{aligned}
A-A_h&=\displaystyle{\sum_{j=h}^{m}\lambda_j(A)\boldsymbol{x}_j\boldsymbol{x}_j^{\prime}},\\
B-B_i&=\displaystyle{\sum_{j=i}^{m}\lambda_j(B)\boldsymbol{y}_j\boldsymbol{y}_j^{\prime}}
\end{aligned}

であるから、


\begin{aligned}
\lambda_1(A-A_h)=\lambda_h(A),\lambda_1(B-B_i)=\lambda_i(B)
\end{aligned}

が成り立つ。
 これらをまとめることで


\begin{aligned}
\lambda_h(A)+\lambda_i(B)&=\lambda_1(A-A_h)+\lambda_1(B-B_i)\\
&\geq \lambda_1(A-A_h+B-B_i)\\
&=\lambda_1(A+B-(A_h+B_i) )\\
&\geq \lambda_{h+i-1}(A+B)
\end{aligned}

を得る。以上で1つ目の不等式を得た。2つ目の不等式はA,Bをそれぞれ-A,-Bに置き換えればよい。 \blacksquare)


 各種定理の結果から、固有値の和の限界を求める際に利用することができる。たとえば\mathrm{Weyl}の定理から


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{h=1}^{k}\lambda_h(A)+k\lambda_m(B)}\leq\displaystyle{\sum_{h=1}^{k}\lambda_h(A+B)}\leq\displaystyle{\sum_{h=1}^{k}\lambda_h(A)+k \lambda_1(B)}
\end{aligned}

を得る。
 さらにより厳しい限界を与える以下の定理が成り立つ:


\mathrm{Wielandt}の定理 m次対称行列A,Bに対してi_1,\cdots,i_k1\leq i_1\lt\cdots\lt i_k\leq mを満たす整数だとする。このときk=1,\cdots,mについて

\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}}\left\{\lambda_{i_j}(A)+\lambda_{m-k+j}(B)\right\}\leq\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}\lambda_{i_j}(A+B)}\leq\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}}\left\{\lambda_{i_j}(A)+\lambda_{j}(B)\right\}
\end{aligned}

が成り立つ。

(\because まず

\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}\lambda_{i_j}(A+B)}=\displaystyle{\min_{C_{i_1}^{\prime}\boldsymbol{x}_1=\cdots=C_{i_k}^{\prime}\boldsymbol{x}_k=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}_1\neq\boldsymbol{0},\cdots,\boldsymbol{x}_k\neq\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}_h^{\prime}\boldsymbol{x}_l=0,h\neq l}\sum_{j=1}^{k}\frac{\boldsymbol{x}_j^{\prime}(A+B)\boldsymbol{x}_j}{\boldsymbol{x}_j^{\prime}\boldsymbol{x}_j}}
\end{aligned}

を満たすような行列C_{i_1},\cdots,C_{i_k}が存在することに注意する。この行列C_{i_1},\cdots,C_{i_k}m\times(m-i_{j})行列であり、


\begin{aligned}
C_{i_j}^{\prime}C_{i_j}&=I_{m-i_j},\\
C_{i_h}C_{i_h}^{\prime}C_{i_j}&=C_{i_j}
\end{aligned}

を満たす。
 次に\boldsymbol{y}_1,\cdots,\boldsymbol{y}_kh\neq lについて\boldsymbol{y}_h^{\prime}\boldsymbol{y}_l=0,C_{i_1}^{\prime}\boldsymbol{y}_1=\cdots=C_{i_k}^{\prime}\boldsymbol{y}_k=\boldsymbol{0}および


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}\boldsymbol{y}_j^{\prime}A\boldsymbol{y}_j}=\displaystyle{\min_{C_{i_1}^{\prime}\boldsymbol{x}_1=\cdots=C_{i_k}^{\prime}\boldsymbol{x}_k=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}_1\neq\boldsymbol{0},\cdots,\boldsymbol{x}_k\neq\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}_h^{\prime}\boldsymbol{x}_l=0,h\neq l}\sum_{j=1}^{k}\frac{\boldsymbol{x}_j^{\prime}A\boldsymbol{x}_j}{\boldsymbol{x}_j^{\prime}\boldsymbol{x}_j}}
\end{aligned}

を満たすようなm行単位ベクトルとする。
 このとき最初の式より


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}\lambda_{i_j}(A+B)}&\leq\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}\boldsymbol{y}_j^{\prime}(A+B)\boldsymbol{y}_j}\\
&=\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}\boldsymbol{y}_j^{\prime}A\boldsymbol{y}_j}+\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}\boldsymbol{y}_j^{\prime}B\boldsymbol{y}_j}
\end{aligned}

を得、最初と同じ不等式


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}\boldsymbol{y}_j^{\prime}A\boldsymbol{y}_j}\leq\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}\lambda_{i_j}(A)}
\end{aligned}

を得る。
 次に\boldsymbol{y}_{k+1},\cdots,\boldsymbol{y}_mを単位ベクトルとする。
ただし\boldsymbol{y}_{1},\cdots,\boldsymbol{y}_mを正規直交ベクトルの集合とする。またi=1,\cdots,kについてサイズm\times(m-i)の行列C_{*i}=(\boldsymbol{y}_{k+1},\cdots,\boldsymbol{y}_m)を定義する。このとき


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}\boldsymbol{y}_j^{\prime}B\boldsymbol{y}_j}=\displaystyle{\min_{C_{i_1}^{\prime}\boldsymbol{x}_1=\cdots=C_{i_k}^{\prime}\boldsymbol{x}_k=\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}_1\neq\boldsymbol{0},\cdots,\boldsymbol{x}_k\neq\boldsymbol{0}\\\boldsymbol{x}_h^{\prime}\boldsymbol{x}_l=0,h\neq l}\sum_{j=1}^{k}\frac{\boldsymbol{x}_j^{\prime}B\boldsymbol{x}_j}{\boldsymbol{x}_j^{\prime}\boldsymbol{x}_j}}
\end{aligned}

が成り立ち、これまでと同様にして


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}\boldsymbol{y}_j^{\prime}B\boldsymbol{y}_j}\leq\displaystyle{\sum_{j=1}^{k}\lambda_{i_j}(B)}
\end{aligned}

を得る。以上により求めたかった上限を得る。下限も同様にすることで得られる。 \blacksquare)

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