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時系列解析の基礎(21/XX)

時系列解析

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を中心に時系列解析を勉強していきます。

前回

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12.　線形・Gauss型状態空間モデルの一括解法

12.1　Wienerフィルタ

　線形・\mathrm{Gauss}型状態空間モデルにおいて、データの真の値と点推定値との平均二乗誤差を最小にするという意味で一括推定法は\mathrm{Wiener}フィルタと呼ばれる。\mathrm{Wiener}フィルタは定常な時系列を前提としている。参考として\mathrm{Wiener}フィルタの概要を述べる。

12.1.1　z変換

　まず離散データに対する一般的な周波数領域変換として\mathrm{z}変換を

\begin{aligned} \mathcal{Z}\left[x_t\right]=\displaystyle{\sum_{t=-\infty}^{\infty}x_t z^{-t}},\ z\in\mathbb{C} \end{aligned}

で定義する。
　定義より

\begin{aligned} \mathcal{Z}\left[x_{t-k}\right]=z^k\mathcal{Z}\left[x_{t}\right] \end{aligned}

が成り立つ。
　任意の周期的な時系列データy_tの\mathrm{Fourier}変換を\mathcal{F}\left[y_t\right]

\begin{aligned} \mathcal{F}(\omega)=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}y(t)e^{-\omega t}dt} \end{aligned}

とするとき、周波数スペクトルのエネルギーである\left|\mathcal{F}\left[y_t\right]\right|^2を時間で割って規格化しその極限を取ったパワースペクトルS(t)について、R(k)を定常過程の相関関数として

\begin{aligned} S(z)=\mathcal{Z}\left[R(k)\right] \end{aligned}

が成り立つという\mathrm{Wiener}-\mathrm{Khinchin}の定理が知られている。
　入力をx_t、そのインパルス応答をh_t、そして出力をy_tとするとき、入出力の関係が線形で、入力を時間シフトさせると同じ間隔だけ出力も時間シフトする場合、そのようなシステムを線形時不変システムと呼ぶ。線形時不変システムの出力は、その定義から畳み込み和

\begin{aligned} y_t=\displaystyle{\sum_{t=-\infty}^{\infty}x_kh_{t-k}}=x_t*h_t \end{aligned}

で定義できる。ここで*は畳み込み和の演算子を表す。
　時間領域における畳み込みは、z変換の定義から周波数領域では積で表すことができる、すなわち

\begin{aligned} \mathcal{Z}\left[y_t\right]&=\mathcal{Z}\left[x_t*h_t\right]\\ &=\mathcal{Z}\left[\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_{k}h_{t-k}}\right]\\ &=\displaystyle{\sum_{t=-\infty}^{\infty}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_{k}h_{t-k}\right)z^{-t}}\\ &=\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_{k}\left(\sum_{t=-\infty}^{\infty}h_{t-k}z^{-t}\right)}\\ &=\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_{k}\left(\sum_{t=-\infty}^{\infty}h_{t-k}z^{-t}\right)}\\ &=\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_{k}z^{-k}\left(\mathcal{Z}\left[h_t\right]\right)}\\ &=\left(\mathcal{Z}\left[h_t\right]\right)\left(\displaystyle{\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_{k}z^{-k}}\right)\\ &=\mathcal{Z}\left[h_t\right]\mathcal{Z}\left[x_{k}\right] \end{aligned}

が成り立つ。ここで\mathrm{z}変換がzの関数でもあることから、\mathcal{Z}\left[h_t\right]をzの関数と見てH(z)とおけば

\begin{aligned} \mathcal{Z}\left[y_t\right]=H(z)\mathcal{Z}\left[x_{k}\right] \end{aligned}

と書ける。このH(z)を伝達関数と呼ぶ。

12.1.2　Wiener平滑化

　入力値x_tにホワイトノイズv_tが付加されてy_tとして観測されるような状況を考える。またこの観測値y_tに\mathrm{Wiener}フィルタh_tを透過させると元データx_tの点推定値である所望信号d_t*1を得るものする。

\begin{aligned} y_t&=x_t+v_t\\ d_t&=h_t * y_t \end{aligned}

　このとき\mathrm{Wiener}フィルタの伝達関数H(z)=\mathcal{Z}[h_t]は

\begin{aligned} H(z)&=\displaystyle{\frac{S_{xx}(z)}{S_{xx}(z)+S_{vv}(z)}}\\ &=\displaystyle{\frac{1}{1+\displaystyle{\frac{S_{vv}(z)}{S_{xx}(z)}}}} \end{aligned}

で表される。ここでS_{xx}(z)は入力のパワースペクトル、S_{vv}(z)はホワイトノイズのパワースペクトルである。この伝達関数は、S_{vv}(z)\geq0が大きくなればなるほど、雑音と元データのパワー比に応じてH(z)を小さくするから、観測値を抑圧するようなフィルターと言える。
　元データx_tが\mathrm{AR}(1)モデルに従う場合を考える。この場合、

\begin{aligned} x_t=\phi x_{t-1}+w_t,&w_t\sim N(0,W),\\ y_t=x_t+v_t,&v_t\sim N(0,V) \end{aligned}

という線形・\mathrm{Gauss}型状態空間モデルを考えていることになる。ここで定常性を確保すべく|\phi|\lt1と仮定する。
　このとき

\begin{aligned} d_t&=\displaystyle{\frac{(\phi^{-1}-\beta)(\phi-\beta)}{1-\beta^2}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\beta^{|k|}y_{t+k}},\\ \beta&=\displaystyle{\frac{1}{2}\left\{\left(\displaystyle{\frac{1}{r\phi}}+\phi^{-1}+\phi\right)-\sqrt{\left(\displaystyle{\frac{1}{r\phi}}+\phi^{-1}+\phi\right)^2-4}\right\}},\\ r&=\displaystyle{\frac{V}{W}} \end{aligned}

とおいた。

次回

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参考文献

  • 沖本竜義(2010)「経済・ファイナンスデータの 計量時系列分析」(朝倉書店)
  • 北川源四郎(2020)「Rによる時系列モデリング入門」（岩波書店）
  • 柴田里程(2017)「時系列解析」(共立出版)
  • 白石博(2022)「時系列データ解析」(森北出版)
  • 萩原淳一郎，瓜生真也，牧山幸史[著]，石田基広[監修](2018)「基礎からわかる時系列分析　Rで実践するカルマンフィルタ・MCMC・粒子フィルタ」(技術評論社)

*1:知りたい信号をこの分野では所望信号というらしい。

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