時系列解析の基礎(09/XX) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　以下の書籍

経済・ファイナンスデータの計量時系列分析 (統計ライブラリー)

作者:竜義, 沖本
朝倉書店

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を中心に時系列解析を勉強していきます。

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6.　単位根過程
- 6.1　単位根過程とは？
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参考文献

6.　単位根過程

　ここまでの議論は過程が(弱)定常であることを前提としてきたが、一般的には解析したい過程がすべて(弱)定常であるという保証はない。そうしたデータを扱うために有用な概念として単位根過程を導入する。

6.1　単位根過程とは？

　非定常過程の典型として単位根過程は以下のとおり定義される。

単位根過程　原系列 $y_t$ が非定常過程でありその差分系列 $\Delta y_t=y_t-y_{t-1}$ が(弱)定常過程であるような過程を単位根過程という。

　単位根過程の名前は、もし単位根過程を誤差項が定常であるような $\mathrm{AR}$ 過程を用いて表現した場合に特性方程式

$\begin{aligned} \left|1-\phi_1 z-\cdots-\phi_p z^p\right|=0 \end{aligned}$

が解(根)として $z=1$ を持つことに起因する。他方で他にも様々な呼称があり、たとえば差分定常過程とも呼ばれ、さらに1次和分過程( $y_t\sim I(1)$ )と表記する。しかももし単位根過程の差分系列が定常かつ反転可能な $\mathrm{ARMA}(p,q)$ 過程であるとき、単位根過程は $\mathrm{ARIMA}(p,1,q)$ 過程とも呼ぶ。これらをそれぞれまとめて以下のように言うことができる。

和分過程　 $d-1$ 階差分を取った系列は非定常である一方で $d$ 解差分を取った系列が定常であるような過程を $d$ 次和分過程もしくは $I(d)$ 過程と呼ばれる。

$\mathrm{ARIMA}$ 過程　 $d$ 階差分を取った系列が定常かつ反転可能な $\mathrm{ARMA}(p,q)$ 過程に従う次数 $(p,d,q)$ の自己回帰和分移動平均過程もしくは $\mathrm{ARIMA}(p,d,q)$ 過程と呼ばれる。

例：ランダムウォーク
　過程 $y_t$ について

$\begin{aligned} y_t&=\delta+y_{t-1}+\varepsilon_t,\ \varepsilon_t\sim i.i.d.(0,\sigma^2),\\ \delta&\in\mathbb{R}, y_0=0 \end{aligned}$

が成り立つとき、 $y_t$ はランダムウォークと呼ばれる。このときの定数項 $\delta$ はドリフト率と呼ばれる。
　定義から明らかにランダムウォークは攪乱項が期待値 $0$ の $i.i.d.$ 系列で $\mathrm{AR}$ 係数が $1$ であるような $\mathrm{AR}(1)$ 過程と呼ぶこともできる。

6.1.1　単位根過程のトレンド

　単位根過程は線形トレンドを記述できるという特徴がある。ランダムウォークを例に考えると、簡単のために $y_0=0$ として

$\begin{aligned} y_t&=\delta+y_{t-1}+\varepsilon_t\\ &=\delta+(\delta+y_{t-2}+\varepsilon_t)+\varepsilon_t\\ &=\cdots\\ &=\delta t+\varepsilon_{t}+\varepsilon_{t-1}+\cdots+\varepsilon_{1}\\ &=\delta t+\nu_t,\ \nu_t=\varepsilon_{t}+\varepsilon_{t-1}+\cdots+\varepsilon_{1} \end{aligned}$

が成り立つ。このとき $\nu_t=\varepsilon_{t}+\varepsilon_{t-1}+\cdots+\varepsilon_{1}$ を確率的トレンドと呼ぶ。このようにドリフト率 $\delta$ のランダムウォークは線形トレンドを記述できる。
　線形トレンドを記述できるモデルとして、トレンド定常過程も存在する。

トレンド定常過程　 $x_t$ を定常過程として

$\begin{aligned} y_t=\delta t+x_t \end{aligned}$

と表される過程をトレンド定常過程と呼ぶ。

　トレンド定常過程は、定常過程部分の分散が有限であることもあり、全体の分散もある程度一定の大きさを持つ、すなわち過程とトレンドの差はほぼ一定の範囲内に収まる。これに対して単位根過程は確率的トレンドを有するために不確実性を線形的に増大させていくという特徴がある。
　単位根過程は

$\begin{aligned} E\left[\displaystyle{\frac{\nu_t}{\delta t}}\right]=\displaystyle{\frac{\sigma^2t}{\delta^2t^2}}\rightarrow0(t\rightarrow\infty) \end{aligned}$

が成り立つため、一般的に $E[y_t/\delta t]\rightarrow1$ が成立するという意味で単位根過程は線形トレンドを記述している。

6.1.2　単位根過程の予測

　単位根過程であっても予測の原則に変わりはない。 $\delta=0$ とすれば、ランダムウォークの場合、

$\begin{aligned} y_{t+h}=y_t+\varepsilon_{t+}+\varepsilon_{t+h-1}+\cdots+\varepsilon_{t+1} \end{aligned}$

を得、したがって

$\begin{aligned} \hat{y}_{t+h|t}=y_t \end{aligned}$

が成り立つ。このようにランダムウォークで $y_t$ の影響が常に残ることから推察できるように、単位根過程は平均回帰的ではない。
　ランダムウォークの予測について平均二乗誤差を考えると、

$\begin{aligned} \hat{e}_{t+h|t}=\varepsilon_{t+h}+\varepsilon_{t+h-1}+\cdots+\varepsilon_{t+1} \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} \mathrm{MSE}(\hat{y}_{t+h|t}^2)=E[\varepsilon_{t+h}+\varepsilon_{t+h-1}+\cdots+\varepsilon_{t+1}]=\sigma^2h \end{aligned}$

を得る。したがってランダムウォークの予測の平均二乗誤差が予測期間が長くなるにつれて過程の分散は大きくなっていく。長期予測であれば、定常 $\mathrm{AR}(1)$ 過程であれば過程の期待値に収束していくのとは対照的に、分散が大きくなっていくという違いがある。

6.1.3　単位根過程のインパルス応答関数

　ランダムウォークについて、

$\begin{aligned} y_{t+h}=y_t+\varepsilon_{t+}+\varepsilon_{t+h-1}+\cdots+\varepsilon_{t+1} \end{aligned}$

に注意すれば、

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{\partial y_{t+h}}{\partial\varepsilon_t}}&=\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\varepsilon_t}}(y_t+\varepsilon_{t+}+\varepsilon_{t+h-1}+\cdots+\varepsilon_{t+1})\\ &=1 \end{aligned}$

を得る。すなわちインパルス応答関数は常に $1$ であり、ショックは恒久的な影響を持つ。

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参考文献

沖本竜義(2010)「経済・ファイナンスデータの計量時系列分析」(朝倉書店)
北川源四郎(2020)「Rによる時系列モデリング入門」（岩波書店）
柴田里程(2017)「時系列解析」(共立出版)
白石博(2022)「時系列データ解析」(森北出版)
萩原淳一郎，瓜生真也，牧山幸史[著]，石田基広[監修](2018)「基礎からわかる時系列分析　Rで実践するカルマンフィルタ・MCMC・粒子フィルタ」(技術評論社)

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6. 単位根過程

6.1 単位根過程とは？

6.1.1 単位根過程のトレンド

6.1.2 単位根過程の予測

6.1.3 単位根過程のインパルス応答関数

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