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長期投資の理論と実践（18/X）

金融・ファイナンス

　投資理論を以下の書籍

長期投資の理論と実践: パーソナル・ファイナンスと資産運用

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今回のまとめ

  • 将来の無限期間まで先の消費流列に対して定義された\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用を考える。
  • 前提として、現在時点をtおよびその後の消費系列を\{C_t,\tilde{C}_{t+1},\tilde{C}_{t+2},\cdots\}とし、投資家は無限に生存すると仮定する。そのため消費系列も無限に続くと考えられ、それらが現在もたらす効用水準を
    \begin{aligned}U_t=E_t\left[U(C_t,\tilde{C}_{t+1},\cdots,\tilde{C}_{t+n},\cdots)\right],\ n\geq1\end{aligned}
    とおく。
  • また異なる状態間に対する選好を表す効用関数を冪型のvとして
    \begin{aligned}v(x)=\displaystyle{\frac{x^{\alpha}-1}{\alpha}},\alpha\lt1\end{aligned}
    と仮定する。
  • このとき生涯効用を現在の消費C_tと将来の消費がもたらす効用水準の確実性等価\mathrm{CE}_t[\tilde{U}_{t+1}]の関数f(集計関数)で表すとき、生涯効用は集計関数のパラメータ\rhoおよび相対リスク回避度を間接的に表すパラメータ[\alpha]の値に応じて4つのパターンが生じ得る。
　 (1) \rho\neq0,\rho\lt1,\alpha\neq0,\alpha\lt1 \left\{(1-\beta)C_t^{\rho}+\beta\left(E_t\left[\tilde{U}_{t+1}^{\alpha}\right]\right)^{\frac{\rho}{\alpha}}\right\}^{\frac{1}{\rho}}
　 (2) \rho\neq0,\rho\lt1,\alpha=0 \left\{(1-\beta)C_t^{\rho}+\beta \exp\left(\rho E_t\left[\log\tilde{U}_{t+1}\right]\right)\right\}^{\frac{1}{\rho}}
　 (3) \rho=0,\alpha\neq0,\alpha\lt1 C_t^{1-\beta}\left(E_t\left[\tilde{U}_{t+1}^{\alpha}\right]\right)^{\frac{\beta}{\alpha}}
　 (4) \rho=0,\alpha=0 C_t^{1-\beta}\exp\left(\beta E_t\left[\log\tilde{U}_{t+1}\right]\right)

9.　ライフサイクルとパーソナル・ファイナンス

9.7　Epstein-Zinの効用関数

　\mathrm{Epstein\ and\ Zin(1989,1991)}が提案した再帰的効用関数は、\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用と呼ばれている。

9.7.2　無限期間の場合

　将来の無限期間まで先の消費流列に対して定義された\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用を扱う。現在時点をtとして、現在およびその後の消費系列を\{C_t,\tilde{C}_{t+1},\tilde{C}_{t+2},\cdots\}とし、投資家は無限に生存すると仮定する。そのため消費系列も無限に続くと考えられ、それらが現在もたらす効用水準を

\begin{aligned} U_t=E_t\left[U(C_t,\tilde{C}_{t+1},\cdots,\tilde{C}_{t+n},\cdots)\right],\ n\geq1 \end{aligned}

とおく。将来の消費系列が確率変数であるため、(基本的に)効用水準Uは確率変数である。またE_t[\cdot]は時点tまでの情報を用いた条件付き期待値である。なお効用関数には加法性を仮定していない。
　次に時点t+n,n\geq1における効用水準は\tilde{U}_{t+n}=U(\tilde{C}_{t+n},\tilde{C}_{t+n+1},\cdots)と書ける。この効用を1時点前の時点tにおける確実性等価を\mathrm{CE}_{t}[\tilde{U}_{t+n}]とおく。ここで\mathrm{CE}_{t}[\cdot]は時点tに利用可能な情報を用いて翌期将来の効用水準を確実性等価に対応させる演算子とする。
　さらに現時点tで計算される生涯効用が、現在消費C_tとすべての将来消費\tilde{C}_{t+1},\tilde{C}_{t+2},\cdots,\tilde{C}_{t+n},\cdotsがもたらす効用の確実性等価とを変数とするある関数f(\cdot,\cdot)で表現できるとして

\begin{aligned} U_t=f\left(C_t,\mathrm{CE}_{t}[\tilde{U}_{t+1}]\right) \end{aligned}

と与えることとする。関数fは集計関数と呼ぶ。
　\mathrm{Epstein\ and\ Zin(1991)}が導入した集計関数の具体形は

\begin{aligned} f(c,z)=\left\{(1-\beta)c^{\rho}+\beta z^{\rho}\right\}^{\frac{1}{\rho}},\ 0\neq\rho\lt1 \end{aligned}

として導入している。しかし同論文において\rho=0の場合を

\begin{aligned} f(c,z)=(1-\beta)\log c+\beta\log z \end{aligned}

としている。しかしこれでは\rho=0が不連続点になると共に\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用が対数型期待効用関数を包含しなくなる。恐らくこれは誤植だと考えられる。
　代わりに

\begin{aligned} f(c,z)=\left\{(1-\beta)c^{\rho}+\beta z^{\rho}\right\}^{\frac{1}{\rho}},\ 0\neq\rho\lt1 \end{aligned}

の極限という形で\rho=0の場合の集計関数を導出する。まず

\begin{aligned} f(c,z)&=\left\{(1-\beta)c^{\rho}+\beta z^{\rho}\right\}^{\frac{1}{\rho}}\\ &=\exp\log\left[\left\{(1-\beta)c^{\rho}+\beta z^{\rho}\right\}^{\frac{1}{\rho}}\right]\\ &=\exp\left[\displaystyle{\frac{\log\left\{(1-\beta)c^{\rho}+\beta z^{\rho}\right\}}{\rho}}\right] \end{aligned}

と変形して、指数関数の内部\displaystyle{\frac{\log\left\{(1-\beta)c^{\rho}+\beta z^{\rho}\right\}}{\rho}}の極限を考えると、\mathrm{L}'\mathrm{H\hat{o}pital}の定理から

\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{\rho\rightarrow0}\frac{\log\left\{(1-\beta)c^{\rho}+\beta z^{\rho}\right\}}{\rho}}&=\displaystyle{\lim_{\rho\rightarrow0}\frac{\frac{d}{d\rho}\log\left\{(1-\beta)c^{\rho}+\beta z^{\rho}\right\}}{\rho^{\prime}}}\\ &=\displaystyle{\lim_{\rho\rightarrow0}\left\{\frac{(1-\beta)c^{\rho}(\log c)+\beta z^{\rho}(\log z)}{(1-\beta)c^{\rho}+\beta z^{\rho}} \right\}}\\ &=\displaystyle{\frac{(1-\beta)\log c+\beta \log z}{(1-\beta)+\beta}}\\ &=(1-\beta)\log c+\beta \log z \end{aligned}

である。したがって

\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{\rho\rightarrow0}f(c,z)}&=\exp\left\{(1-\beta)\log c+\beta \log z\right\}\\ &=c^{1-\beta}z^{\beta} \end{aligned}

であり、まとめて集計関数fは

\begin{aligned} f(c,z)=\begin{cases} \left\{(1-\beta)c^{\rho}+\beta z^{\rho}\right\}^{\frac{1}{\rho}},&\rho\lt1\land\rho\neq0\\ c^{1-\beta}z^{\beta},&\rho=0 \end{cases} \end{aligned}

であるべきだと考え、以下これを前提として議論を進める。
　次に確実性等価を考える。異なる状態間に対する選好を表す効用関数を冪型のvとして

\begin{aligned} v(x)=\displaystyle{\frac{x^{\alpha}-1}{\alpha}},\alpha\lt1 \end{aligned}

と仮定する。このとき相対リスク回避度\mathrm{RRA}は

\begin{aligned} \mathrm{RRA}&=-\displaystyle{\frac{v^{\prime\prime}}{v^{\prime}}}x\\ &=-\displaystyle{\frac{(\alpha-1)x^{\alpha-2}}{x^{\alpha-1}}}x=1-\alpha \end{aligned}

で与えられる。\gamma=\mathrm{RRA}とおけば、\gamma=1-\alphaで\alpha\lt1であるから\gamma\gt0を満たす。
　将来効用の確実性等価は、その定義から

\begin{aligned} v(\mathrm{CE}_t\left[\tilde{U}_{t+1}\right])=E_t\left[v(\tilde{U}_{t+1})\right] \end{aligned}

の解であるから、これを解くと、

\begin{aligned} &\displaystyle{\frac{\mathrm{CE}_t\left[\tilde{U}_{t+1}\right]^{\alpha}-1}{\alpha}}=E_t\left[\displaystyle{\frac{\tilde{U}_{t+1}^{\alpha}-1}{\alpha}}\right]\\ \Leftrightarrow&\mathrm{CE}_t\left[\tilde{U}_{t+1}\right]^{\alpha}=E_t\left[\tilde{U}_{t+1}^{\alpha}\right]\\ \Leftrightarrow&\mathrm{CE}_t\left[\tilde{U}_{t+1}\right]=\left(E_t\left[\tilde{U}_{t+1}^{\alpha}\right]\right)^{\frac{1}{\alpha}} \end{aligned}

を得る。
　ここで\alpha=0の場合を考える。\mathrm{L}'\mathrm{H\hat{o}pital}の定理を効用関数に適用すると、

\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow0}v(x)}&=\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow0}\frac{x^{\alpha}-1}{\alpha} }\\ &=\displaystyle{\lim_{\alpha\rightarrow0}\alpha x^{\alpha-1}}\\ &=\log x \end{aligned}

が得られる。このときの確実性等価は

\begin{aligned} &v(\mathrm{CE}_t\left[\tilde{U}_{t+1}\right])=E_t\left[v(\tilde{U}_{t+1})\right]\\ \Leftrightarrow&\log\mathrm{CE}_t\left[\tilde{U}_{t+1}\right]=E_t\left[\log\tilde{U}_{t+1}\right]\\ \Leftrightarrow&\mathrm{CE}_t\left[\tilde{U}_{t+1}\right]=\exp\left(E_t\left[\log\tilde{U}_{t+1}\right]\right) \end{aligned}

で得られる。
　以上から、集計関数fは

\begin{aligned} f(c,z)=\begin{cases} \left\{(1-\beta)c^{\rho}+\beta z^{\rho}\right\}^{\frac{1}{\rho}},&\rho\lt1\land\rho\neq0\\ c^{1-\beta}z^{\beta},&\rho=0 \end{cases} \end{aligned}

で、確実性等価は

\begin{aligned} \mathrm{CE}_t\left[\tilde{U}_{t+1}\right]&=\begin{cases} \left(E_t\left[\tilde{U}_{t+1}^{\alpha}\right]\right)^{\frac{1}{\alpha}},&\alpha\lt1\land\alpha\neq0\\ \exp\left(E_t\left[\log\tilde{U}_{t+1}\right]\right),&\alpha=0 \end{cases} \end{aligned}

で与えられる。そして\rho,\alphaの値に応じて4つのパターンが生じ得る。

　 (1) \rho\neq0,\rho\lt1,\alpha\neq0,\alpha\lt1 \left\{(1-\beta)C_t^{\rho}+\beta\left(E_t\left[\tilde{U}_{t+1}^{\alpha}\right]\right)^{\frac{\rho}{\alpha}}\right\}^{\frac{1}{\rho}}
　 (2) \rho\neq0,\rho\lt1,\alpha=0 \left\{(1-\beta)C_t^{\rho}+\beta \exp\left(\rho E_t\left[\log\tilde{U}_{t+1}\right]\right)\right\}^{\frac{1}{\rho}}
　 (3) \rho=0,\alpha\neq0,\alpha\lt1 C_t^{1-\beta}\left(E_t\left[\tilde{U}_{t+1}^{\alpha}\right]\right)^{\frac{\beta}{\alpha}}
　 (4) \rho=0,\alpha=0 C_t^{1-\beta}\exp\left(\beta E_t\left[\log\tilde{U}_{t+1}\right]\right)

次回

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