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長期投資の理論と実践（17/X）

金融・ファイナンス

　投資理論を以下の書籍

長期投資の理論と実践: パーソナル・ファイナンスと資産運用

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をベースに学ぶこととする。

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今回のまとめ

  • 2期間の\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用を考える。
  • 各期の効用関数として、すべて冪型の関数形
    \begin{aligned}u_0(C_0)&=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}},\\u_1(x)&=\displaystyle{\frac{x^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}},\\v(C_1)&=\displaystyle{\frac{C_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}},\ \psi,\gamma\geq0\end{aligned}
    を仮定する。このとき生涯効用は
    \begin{aligned}E[U(C_0,\tilde{C}_1)]=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}}+\delta\displaystyle{\frac{\left(\mathrm{CE}_0\left[\tilde{C}_1\right]\right)^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}}\end{aligned}
    で与えられる。
  • まず\tilde{C}_1=C_1と確定値であると仮定すると、生涯効用は
    \begin{aligned}U_0=U(C_0,C_1)=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}}+\delta\displaystyle{\frac{C_1^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}}\end{aligned}
    で与えられる。
  • \displaystyle{\frac{1}{\mathrm{EIS}}}=\displaystyle{\frac{1}{\psi}}=\gammaの場合の\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用は冪型期待効用関数に帰着する。

9.　ライフサイクルとパーソナル・ファイナンス

9.7　Epstein-Zinの効用関数

　\mathrm{Epstein\ and\ Zin(1989,1991)}が提案した再帰的効用関数は、\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用と呼ばれている。

9.7.1　2期間の場合

　まずは最も簡単な場合として2期間の\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用を考える。第1期の消費が確率変数\tilde{C}_1と書け、時点0における2期間の生涯効用が

\begin{aligned} U_0=E_0\left[U(C_0,\tilde{C}_1)\right]=u_0(C_0)+\delta u_1(\mathrm{CE}_0[\tilde{C}_1]) \end{aligned}

で与えられるものとする。また各期の効用関数として、すべて冪型の関数形

\begin{aligned} u_0(C_0)&=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}},\\ u_1(x)&=\displaystyle{\frac{x^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}},\\ v(C_1)&=\displaystyle{\frac{C_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}},\ \psi,\gamma\geq0 \end{aligned}

を仮定する。このとき生涯効用は

\begin{aligned} E[U(C_0,\tilde{C}_1)]=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}}+\delta\displaystyle{\frac{\left(\mathrm{CE}_0\left[\tilde{C}_1\right]\right)^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}} \end{aligned}

で与えられる。相対的リスク回避度のパラメータである\gammaは上式には明示的に現れないものの、確実性等価\mathrm{CE}_0[\tilde{C}_1]は効用関数v(\cdot)の下で計算されるため、\gammaは確実性等価の水準を通して反映されている。また\psiが異時点間弾性力\mathrm{EIS}を表す。
　まず\tilde{C}_1=C_1と確定値であると仮定する。このとき\mathrm{CE}_0[\tilde{C}_1]=\mathrm{CE}_0[C_1]=C_1であるから、このときの生涯効用は

\begin{aligned} U_0=U(C_0,C_1)=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}}+\delta\displaystyle{\frac{C_1^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}} \end{aligned}

で与えられる。
　この場合では、

\begin{aligned} \displaystyle{\frac{1}{\psi}}=\displaystyle{\frac{1}{\mathrm{EIS}}}\Leftrightarrow\mathrm{EIS}=\psi \end{aligned}

である。
　もし将来消費が確率変数である場合、\displaystyle{\frac{1}{\psi}}=\gammaのときには\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用の特殊な事例として冪型期待効用を導くことができる。\displaystyle{\frac{1}{\psi}}=\gammaとおくと

\begin{aligned} E[U(C_0,\tilde{C}_1)]&=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}+\delta\displaystyle{\frac{\left(\mathrm{CE}_0\left[\tilde{C}_1\right]\right)^{1-\gamma}}{1-\gamma}}\\ &=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}+\delta u_1(\mathrm{CE}_0[\tilde{C}_1])\\ &=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}+\delta u_1(v^{-1}(E_0[v(\tilde{C}_1)])) \end{aligned}

である。u_1(x)の定義においてx=\tilde{C}_1,\displaystyle{\frac{1}{\psi}}=\gammaとおけば

\begin{aligned} u_1(\tilde{C}_1)=\displaystyle{\frac{\tilde{C}_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}}=v(\tilde{C}_1) \end{aligned}

であるから、v=u_1を代入することで

\begin{aligned} E[U(C_0,\tilde{C}_1)]&=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}+\delta u_1(v^{-1}(E_0[v(\tilde{C}_1)]))\\ &=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}+\delta E_[u_1(\tilde{C}_1)]\\ &=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}+\delta E_0\left[\displaystyle{\frac{\tilde{C}_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}}\right] \end{aligned}

を得、このように\displaystyle{\frac{1}{\mathrm{EIS}}}=\displaystyle{\frac{1}{\psi}}=\gammaの場合の\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用は冪型期待効用関数に帰着することが分かる。
　期待効用関数は正の1次変換に対して一意に与えられるから、これらの両辺の分子から1を引いても一般性を失わない。そうした上で\gamma\rightarrow1とすると、

\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\left(\frac{1-C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}+\delta E_0\left[\displaystyle{\frac{1-\tilde{C}_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}} \right]\right)}&=\displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\frac{1-C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}\\ &+\displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\delta E_0\left[\displaystyle{\frac{1-\tilde{C}_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}} \right]}\\ \end{aligned}

であり、各項について\mathrm{L}'\mathrm{H\hat{o}pital}の定理から

\begin{aligned} \displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\frac{1-C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}&=\displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\frac{C_0^{-\gamma}}{\gamma}}\\ &=\log C_0,\\ \displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\delta E_0\left[\displaystyle{\frac{1-\tilde{C}_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}} \right]}&=\delta E_0\left[\displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\displaystyle{\frac{1-\tilde{C}_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}}}\right]\\ &=\delta E_0\left[\displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\displaystyle{\frac{\tilde{C}_1^{-\gamma}}{\gamma}}}\right]\\ &=\delta E_0\left[\log\tilde{C}_1\right] \end{aligned}

が得られる。したがって

\begin{aligned} E[U(C_0,\tilde{C}_1)]=\log C_0+\delta E_0\left[\log\tilde{C}_1\right] \end{aligned}

と、対数型期待効用関数も\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用の特殊事例である。

次回

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