投資理論を以下の書籍
をベースに学ぶこととする。
今回のまとめ
- 2期間の
-
効用を考える。
- 各期の効用関数として、すべて冪型の関数形
を仮定する。このとき生涯効用はで与えられる。- まず
と確定値であると仮定すると、生涯効用は
で与えられる。の場合の
-
効用は冪型期待効用関数に帰着する。
9. ライフサイクルとパーソナル・ファイナンス
9.7 Epstein-Zinの効用関数
が提案した再帰的効用関数は、
-
効用と呼ばれている。
9.7.1 2期間の場合
まずは最も簡単な場合として2期間の-
効用を考える。第1期の消費が確率変数
と書け、時点
における2期間の生涯効用が
で与えられるものとする。また各期の効用関数として、すべて冪型の関数形
を仮定する。このとき生涯効用は
で与えられる。相対的リスク回避度のパラメータであるは上式には明示的に現れないものの、確実性等価
は効用関数
の下で計算されるため、
は確実性等価の水準を通して反映されている。また
が異時点間弾性力
を表す。
まずと確定値であると仮定する。このとき
であるから、このときの生涯効用は
で与えられる。
この場合では、
である。
もし将来消費が確率変数である場合、のときには
-
効用の特殊な事例として冪型期待効用を導くことができる。
とおくと
である。の定義において
とおけば
であるから、を代入することで
を得、このようにの場合の
-
効用は冪型期待効用関数に帰着することが分かる。
期待効用関数は正の1次変換に対して一意に与えられるから、これらの両辺の分子からを引いても一般性を失わない。そうした上で
とすると、
であり、各項について'
の定理から
が得られる。したがって
と、対数型期待効用関数も-
効用の特殊事例である。