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長期投資の理論と実践(17/X)

 投資理論を以下の書籍

をベースに学ぶこととする。

今回のまとめ

  • 2期間の\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用を考える。
  • 各期の効用関数として、すべて冪型の関数形
    \begin{aligned}u_0(C_0)&=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}},\\u_1(x)&=\displaystyle{\frac{x^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}},\\v(C_1)&=\displaystyle{\frac{C_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}},\ \psi,\gamma\geq0\end{aligned}
    を仮定する。このとき生涯効用は
    \begin{aligned}E[U(C_0,\tilde{C}_1)]=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}}+\delta\displaystyle{\frac{\left(\mathrm{CE}_0\left[\tilde{C}_1\right]\right)^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}}\end{aligned}
    で与えられる。
  • まず\tilde{C}_1=C_1と確定値であると仮定すると、生涯効用は
    \begin{aligned}U_0=U(C_0,C_1)=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}}+\delta\displaystyle{\frac{C_1^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}}\end{aligned}
    で与えられる。
  • \displaystyle{\frac{1}{\mathrm{EIS}}}=\displaystyle{\frac{1}{\psi}}=\gammaの場合の\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用は冪型期待効用関数に帰着する。

9. ライフサイクルとパーソナル・ファイナンス

9.7 Epstein-Zinの効用関数

 \mathrm{Epstein\ and\ Zin(1989,1991)}が提案した再帰的効用関数は、\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用と呼ばれている。

9.7.1 2期間の場合

 まずは最も簡単な場合として2期間の\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用を考える。第1期の消費が確率変数\tilde{C}_1と書け、時点0における2期間の生涯効用が


\begin{aligned}
U_0=E_0\left[U(C_0,\tilde{C}_1)\right]=u_0(C_0)+\delta u_1(\mathrm{CE}_0[\tilde{C}_1])
\end{aligned}

で与えられるものとする。また各期の効用関数として、すべて冪型の関数形


\begin{aligned}
u_0(C_0)&=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}},\\
u_1(x)&=\displaystyle{\frac{x^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}},\\
v(C_1)&=\displaystyle{\frac{C_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}},\ \psi,\gamma\geq0
\end{aligned}

を仮定する。このとき生涯効用は


\begin{aligned}
E[U(C_0,\tilde{C}_1)]=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}}+\delta\displaystyle{\frac{\left(\mathrm{CE}_0\left[\tilde{C}_1\right]\right)^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}}
\end{aligned}

で与えられる。相対的リスク回避度のパラメータである\gammaは上式には明示的に現れないものの、確実性等価\mathrm{CE}_0[\tilde{C}_1]は効用関数v(\cdot)の下で計算されるため、\gammaは確実性等価の水準を通して反映されている。また\psiが異時点間弾性力\mathrm{EIS}を表す。
 まず\tilde{C}_1=C_1と確定値であると仮定する。このとき\mathrm{CE}_0[\tilde{C}_1]=\mathrm{CE}_0[C_1]=C_1であるから、このときの生涯効用は


\begin{aligned}
U_0=U(C_0,C_1)=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}}+\delta\displaystyle{\frac{C_1^{1-\frac{1}{\psi}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{\psi}}}}
\end{aligned}

で与えられる。
 この場合では、


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{1}{\psi}}=\displaystyle{\frac{1}{\mathrm{EIS}}}\Leftrightarrow\mathrm{EIS}=\psi
\end{aligned}

である。
 もし将来消費が確率変数である場合、\displaystyle{\frac{1}{\psi}}=\gammaのときには\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用の特殊な事例として冪型期待効用を導くことができる。\displaystyle{\frac{1}{\psi}}=\gammaとおくと


\begin{aligned}
E[U(C_0,\tilde{C}_1)]&=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}+\delta\displaystyle{\frac{\left(\mathrm{CE}_0\left[\tilde{C}_1\right]\right)^{1-\gamma}}{1-\gamma}}\\
&=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}+\delta u_1(\mathrm{CE}_0[\tilde{C}_1])\\
&=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}+\delta u_1(v^{-1}(E_0[v(\tilde{C}_1)]))
\end{aligned}

である。u_1(x)の定義においてx=\tilde{C}_1,\displaystyle{\frac{1}{\psi}}=\gammaとおけば


\begin{aligned}
u_1(\tilde{C}_1)=\displaystyle{\frac{\tilde{C}_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}}=v(\tilde{C}_1)
\end{aligned}

であるから、v=u_1を代入することで


\begin{aligned}
E[U(C_0,\tilde{C}_1)]&=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}+\delta u_1(v^{-1}(E_0[v(\tilde{C}_1)]))\\
&=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}+\delta E_[u_1(\tilde{C}_1)]\\
&=\displaystyle{\frac{C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}+\delta E_0\left[\displaystyle{\frac{\tilde{C}_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}}\right]
\end{aligned}

を得、このように\displaystyle{\frac{1}{\mathrm{EIS}}}=\displaystyle{\frac{1}{\psi}}=\gammaの場合の\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用は冪型期待効用関数に帰着することが分かる。
 期待効用関数は正の1次変換に対して一意に与えられるから、これらの両辺の分子から1を引いても一般性を失わない。そうした上で\gamma\rightarrow1とすると、


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\left(\frac{1-C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}+\delta E_0\left[\displaystyle{\frac{1-\tilde{C}_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}} \right]\right)}&=\displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\frac{1-C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}\\
&+\displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\delta E_0\left[\displaystyle{\frac{1-\tilde{C}_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}} \right]}\\
\end{aligned}

であり、各項について\mathrm{L}'\mathrm{H\hat{o}pital}の定理から


\begin{aligned}
\displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\frac{1-C_0^{1-\gamma}}{1-\gamma}}&=\displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\frac{C_0^{-\gamma}}{\gamma}}\\
&=\log C_0,\\
\displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\delta E_0\left[\displaystyle{\frac{1-\tilde{C}_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}} \right]}&=\delta E_0\left[\displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\displaystyle{\frac{1-\tilde{C}_1^{1-\gamma}}{1-\gamma}}}\right]\\
&=\delta E_0\left[\displaystyle{\lim_{\gamma\rightarrow1}\displaystyle{\frac{\tilde{C}_1^{-\gamma}}{\gamma}}}\right]\\
&=\delta E_0\left[\log\tilde{C}_1\right]
\end{aligned}

が得られる。したがって


\begin{aligned}
E[U(C_0,\tilde{C}_1)]=\log C_0+\delta E_0\left[\log\tilde{C}_1\right]
\end{aligned}

と、対数型期待効用関数も\mathrm{Epstein}-\mathrm{Zin}効用の特殊事例である。

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