統計学に習熟するには線形代数の習得が不可欠である。が、初等的な線形代数ではカバーしきれないような分野も存在する。そこで以下の参考書
を基により高等な線形代数を学ぶ。
3. 固有値と固有ベクトル
3.4 対称行列の固有値に関する付加的定理
次対称行列
および
を満たす
行列
に対して
の固有値を
の固有値と比較することに関心を持つ場合が存在する。
-
の定理から
が成り立つ。
これ以外にもの分離定理として知られるいくつかの不等式がある。
が成り立つ。
が成り立つ。なお最後の不等式はの次数が
であり、
の次数が
であることを踏まえつつ、
-
の
-
定理を適用することで得られる。
の上限は
とし、下限のときと同様にして
が得られる。 )
このの分離定理から以下の定理が得られる。
また以下のの定理から2つの対称行列の固有値およびこれらの和の固有値とを結びつけることができる。
が成り立つ。
を得る。不等式は商
の大域的最大値から得られる。また最後の等式は
-
の
-
定理から得られる。
上限も-
の
-
定理から得られる。
)
が成り立つ。
と表現することができる。ここでは正規直交ベクトルである。
を
を満たす
行列とする。また
とする。
-
の
-
定理を用いると、
について
が成り立つ。
同様の方法により2つ目の不等式が得られる。実際、を
を満たすような
行列とし、
と定義する。このとき
に対して
が成り立つ。 )
*1:は
の後ろの
行列を削除して得られる。