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本気で学ぶ統計学(09/31)

 統計学を真剣に学ぶ人のために、個人的にまとめているノートを公開する。
 底本として

を用いる。

3. 代表的な一次元確率分布

 有名な1次元確率分布を紹介する。代表値の値や特徴的な性質についても同様に述べることとする。全体に共通して利用できる公式を導出しておく。すなわち



\begin{aligned}
V[X]=E[X^2]-\{E[X]\}^2
\end{aligned}


が成り立つ。
(\because 確率変数Xに対して
(離散の場合)


\begin{aligned}
V[X]&:=E[(X-E[X])^2]\\
      &=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}(x_k-E[X])^2 p(k)}\\
      &=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}x_k^2\cdot p(k) -2E[X] \sum_{k=1}^{n}\{x_k\cdot p(k)\}+\{E[X]\}^2 \sum_{k=1}^{n}p(k)}\\
      &=E[X^2]-2E[X]\cdot E[X]+\{E[X]\}^2\\
      &=E[X^2]-\{E[X]\}^2
\end{aligned}


(連続の場合)


\begin{aligned}
V[X]&:=E[(X-E[X])^2]\\
      &=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}(x-E[X])^2 f(x)}dx\\
      &=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)dx}-2E[X]\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)}dx+{E[X]}^2\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)}dx\\
      &=E[X^2]-2E[X]\cdot E[X]+\{E[X]\}^2\\
      &=E[X^2]-\{E[X]\}^2\ \ \ \ \blacksquare
\end{aligned}

3.2 連続型確率分布

 連続な確率変数Xの従う分布について各種統計量を導出する

3.2.3 指数分布

 確率変数X確率密度関数



\begin{aligned}
f(x)=\displaystyle{\frac{1}{\alpha}}e^{-\frac{x}{\alpha}}\chi_{(0,\infty)}(x),\alpha\in\mathbb{R},\alpha\gt0
\end{aligned}


と書けるとき確率変数Xの指数分布E(\alpha)に従うという。

  • 平均:\alpha


\begin{aligned}
E[X]&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x f(x)}dx=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\displaystyle{\frac{x}{\alpha}}e^{-\frac{x}{\alpha}}}dx\\
&=\left[-x e^{-\frac{x}{\alpha}}\right]_{0}^{\infty}+\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{x}{\alpha}}}dx\\
&=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{x}{\alpha}} } dx\\
&=\left[-\alpha e^{-\frac{x}{\alpha}}\right]_{0}^{\infty}=\alpha
\end{aligned}

  • 分散:\alpha^2


\begin{aligned}
V[X]&=E[X^2]-\{E[X]\}^2\\
&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x^2 f(x)}dx-\alpha^2\\
&=\displaystyle{\int_{0}^{\infty}\frac{x^2}{\alpha} e^{-\frac{x}{\alpha}}}dx-\alpha^2\\
&=\left[-x^2 e^{-\frac{x}{\alpha}}\right]_{0}^{\infty}+2\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x e^{-\frac{x}{\alpha}}}dx-\alpha^2\\
&=2\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x e^{-\frac{x}{\alpha}}}dx-\alpha^2\\
&=2\left\{\left[-\alpha x e^{-\frac{x}{\alpha}}\right]_{0}^{\infty}+\alpha\displaystyle{\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{x}{\alpha}}}\right\}dx-\alpha^2\\
&=2\left\{\alpha\left[-\alpha e^{-\frac{x}{\alpha}}\right]_{0}^{\infty}\right\}-\alpha^2=\alpha^2
\end{aligned}

3.2.4 カイ二乗分布

 確率変数X確率密度関数


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}x^{\frac{k}{2}-1}\exp⁡\left(-\displaystyle{\frac{x}{2}}\right)\chi_{(0,\infty)}(x)},k=1,2,\cdots 
\end{aligned}
と書けるとき確率変数Xは自由度kカイ二乗分布\chi^2(k)に従うという。なお\Gamma(\cdot)はガンマ関数である。

  • 密度関数の確認


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)}dx&=\displaystyle{\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\displaystyle{\frac{k}{2}}\right)}\int_{-\infty}^{\infty}x^{\frac{k}{2}-1}\exp\left(\displaystyle{-\frac{x}{2}}\right)\chi_{(0,\infty)}(x)}dx\\
&=\displaystyle{\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\displaystyle{\frac{k}{2}}\right)}\int_{0}^{\infty}x^{\frac{k}{2}-1}\exp\left(-\displaystyle{\frac{x}{2}}\right)}dx
\end{aligned}


である。ここで\displaystyle{\frac{x}{2}}=yとおけばdy=\displaystyle{\frac{1}{2}}dxであり、x^{\frac{k}{2}-1}=(2y)^{\frac{k}{2}-1}=2^{\frac{k}{2}-1}y^{\frac{k}{2}-1}である。また



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{0}^{\infty}x^{\frac{k}{2}-1}\exp\left(-\displaystyle{\frac{x}{2}}\right)}dx&=2^{\frac{k}{2}}\displaystyle{\int_{0}^{\infty}y^{\frac{k}{2}-1}e^{-y}}dy\\
&=2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\displaystyle{\frac{k}{2}}\right)
\end{aligned}


であるから、



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)}dx=1
\end{aligned}

  • 平均:k

 任意の複素数zに対するガンマ関数の性質\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)に注意すると



\begin{aligned}
E[X]&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)}dx=\displaystyle{\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}x^{\frac{k}{2}} \exp⁡\left(-\displaystyle{\frac{x}{2}}\right)}dx\\
&=\displaystyle{\frac{1}{(2^{-1}\cdot2^{\frac{k}{2}+1}\left\{\left(\displaystyle{\frac{k}{2}}\right)^{-1}\Gamma\left(\displaystyle{\frac{k}{2}}+1\right)\right\}}\int_{0}^{\infty}x^{\frac{k}{2}}\exp⁡\left(-\displaystyle{\frac{x}{2}}\right)}dx\\
&=\displaystyle{k\int_{0}^{\infty}\left\{\frac{1}{2^{\frac{k}{2}+1}\Gamma\left(\frac{k}{2}+1\right)}x^{\left(\frac{k}{2}+1\right)-1}\exp⁡\left(-\displaystyle{\frac{x}{2}}\right)\right\}}dx
\end{aligned}


である。この積分部分は自由度k+2カイ二乗分布の確率密度をx:0\rightarrow\infty積分したものであるから、その値は1であり、



\begin{aligned}
\therefore\ E[X]=k
\end{aligned}

  • 分散:2k

 任意の複素数zに対するガンマ関数の性質\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)に注意すると



\begin{aligned}
V[X]&=E[X^2]-\{E[X]\}^2\\
&=\displaystyle{\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}\int_{0}^{\infty}x^{\frac{k}{2}+1}\exp⁡\left(-\displaystyle{\frac{x}{2}}\right)}dx-k^2
\end{aligned}


を得る。ここで



\begin{aligned}
(第1項)&=\displaystyle{\frac{1}{2^{-2}\cdot2^{\frac{k}{2}+2}\left\{\left(\displaystyle{\frac{k}{2}}\right)^{-1}\Gamma\left(\frac{k}{2}+1\right)\right\}}\int_{0}^{\infty}x^{\frac{k}{2}+1}\exp⁡\left(-\displaystyle{\frac{x}{2}}\right)}dx\\
&=\displaystyle{\frac{1}{2^{-2}\cdot2^{\frac{k}{2}+2}\left\{\left(\displaystyle{\frac{k}{2}}\right)^{-1}\left(\frac{k}{2}+1\right)^{-1}\Gamma\left(\frac{k}{2}+2\right)\right\}}\int_{0}^{\infty}x^{\frac{k}{2}+1}\exp⁡\left(-\displaystyle{\frac{x}{2}}\right)}dx\\
&=\displaystyle{k(k+2)\int_{0}^{\infty}\left\{\frac{1}{2^{\frac{k}{2}+2}\Gamma\left(\frac{k}{2}+2\right)}x^{\frac{k}{2}+1}\exp⁡\left(-\displaystyle{\frac{x}{2}}\right)\right\}}dx
\end{aligned}


である。この積分は自由度k+4カイ二乗分布の確率密度をx:0\rightarrow\infty積分したものであるからその値は1である。したがって



\begin{aligned}
V[X]=k(k+2)-k^2=2k
\end{aligned}


を得る。

3.2.5 ガンマ分布

 確率変数X確率密度関数



\begin{aligned}
f_X (x)=\displaystyle{\frac{\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\gamma x}\chi_{\{x|x\geq0\}}(x)}
\end{aligned}


と書けるとき確率変数Xはガンマ分布\Gamma(\alpha,\gamma)に従うという。なお母数\alpha=1の場合が指数分布である。

  • 密度関数の確認:


\begin{aligned}
f_X (x)&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\gamma x}\chi_{\{x|x\geq0\}}(x)}dx\\
&=\displaystyle{\frac{\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}x^{\alpha-1} e^{-\gamma x}}dx\\
&=\displaystyle{\frac{\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}\gamma^{-(\alpha-1)}(\gamma x)^{\alpha-1}e^{-\gamma x}}dx
\end{aligned}


である。ここで\gamma x=tとおくとx=\displaystyle{\frac{t}{\gamma}},dx=\displaystyle{\frac{dt}{\gamma}}でありx:0\rightarrow\inftyならばt:0\rightarrow\inftyであるから



\begin{aligned}
f_X (x)&=\displaystyle{
\frac{\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}\gamma^{-(\alpha-1)}t^{\alpha-1}e^{-t}\frac{1}{\gamma}}dt\\
&=\displaystyle{\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha-1}e^{-t}}dt\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}}=1
\end{aligned}

  • 平均:\displaystyle{\frac{\alpha}{\gamma}}


\begin{aligned}
E[X]&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x\displaystyle{\frac{\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}}x^{\alpha-1}e^{-\gamma x}\chi_{\{x|x\geq0\}}(x)}dx\\
&=\displaystyle{\frac{\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}x^\alpha e^{-\gamma x}}dx\\
\end{aligned}


ここで\gamma x=tとおくとx=\displaystyle{\frac{t}{\gamma}},dx=\displaystyle{\frac{dt}{\gamma}}でありx:0\rightarrow\inftyならばt:0\rightarrow\inftyであるから



\begin{aligned}
E[X]&=\displaystyle{\frac{\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}}\int_{0}^{\infty}\left(\displaystyle{\frac{t}{\gamma}}\right)^{\alpha}e^{-t}⋅\displaystyle{\frac{1}{\gamma}}dt\\
&=\displaystyle{\frac{\gamma^{-1}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha}e^{-t}}dt\\
&=\displaystyle{\frac{\gamma^{-1}}{\Gamma(\alpha)}\Gamma(\alpha+1)}\\
&=\displaystyle{\frac{\gamma^{-1}}{\Gamma(\alpha)}\alpha\Gamma(\alpha)}\\
&=\displaystyle{\frac{\alpha}{\gamma}}
\end{aligned}

  • 分散:\displaystyle{\frac{\alpha}{\gamma^2}}


\begin{aligned}
V[X]&=E[X^2]-\{E[X]\}^2\\
&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x^2\displaystyle{\frac{\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}}x^{\alpha-1}e^{-\gamma x}\chi_{\{x|x\geq0\}}(x)}dx-\left(\displaystyle{\frac{\alpha}{\gamma}}\right)^2\\
&=\displaystyle{\frac{\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}x^{\alpha+1}e^{-\gamma x}}dx-\left(\displaystyle{\frac{\alpha}{\gamma}}\right)^2
\end{aligned}


を得る。ここで\gamma x=tとおくとx=\displaystyle{\frac{t}{\gamma}},dx=\displaystyle{\frac{dt}{\gamma}}でありx:0\rightarrow\inftyならばt:0\rightarrow\inftyであるから



\begin{aligned}
V[X]&=\displaystyle{\frac{\gamma^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}\left(\displaystyle{\frac{t}{\gamma}}\right)^{\alpha+1}e^{-t}{1}{\gamma}}dt-\left(\displaystyle{\frac{\alpha}{\gamma}}\right)^2\\
&=\displaystyle{\frac{\gamma^{-2}}{\Gamma(\alpha)}\int_{0}^{\infty}t^{\alpha+1}e^{-t}}dt-\left(\displaystyle{\frac{\alpha}{\gamma}}\right)^2\\
&=\displaystyle{\frac{\gamma^{-2}}{\Gamma(\alpha)}\Gamma(\alpha+2)}-\left(\displaystyle{\frac{\alpha}{\gamma}}\right)^2\\
&=\displaystyle{\frac{\gamma^{-2}}{\Gamma(\alpha)}}(\alpha+1)\Gamma(\alpha+1)-\left(\displaystyle{\frac{\alpha}{\gamma}}\right)^2\\
&=\displaystyle{\frac{\alpha+1}{\gamma^{2}\Gamma(\alpha)}\alpha\Gamma(\alpha)}-\left(\displaystyle{\frac{\alpha}{\gamma}}\right)^2\\
&=\displaystyle{\frac{\alpha}{\gamma^2}}
\end{aligned}

3.2.6 ベータ分布

 確率変数X確率密度関数



\begin{aligned}
f_X (x)=\displaystyle{\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\chi_{\{x|0\lt x\lt1\}} }(x),\alpha\gt0,\beta\gt0
\end{aligned}


と書けるとき確率変数Xはベータ分布B(\alpha,\beta)に従うという。

  • 密度関数の確認


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f_X (x)}dx&=\displaystyle{\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{0}^{1}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}}dx\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\beta(\alpha,\beta)}=1
\end{aligned}

  • 平均:\frac{\alpha}{\alpha+\beta}


\begin{aligned}
E[X]&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\chi_{\{x|0\lt x\lt1\}}(x)}dx\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{0}^{1}x^{\alpha}(1-x)^{\beta-1}}dx\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\beta(\alpha+1,\beta)}\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\frac{\Gamma(\alpha+1)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta+1)}}\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)}\frac{\alpha\Gamma(\alpha)}{(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)}}\\
&=\displaystyle{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}
\end{aligned}

  • 分散:\displaystyle{\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}}


\begin{aligned}
V[X]&=E[X^2]-\{E[X]\}^2\\
&=\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}x^2\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\chi_{\{x|0\lt x\lt1\}}(x)}dx-\left(\displaystyle{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}\right)^2\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_{0}^{1}x^{\alpha+1}(1-x)^{\beta-1}}dx-\left(\displaystyle{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}\right)^2\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\beta(\alpha+2,\beta)-\left(\displaystyle{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}\right)^2}\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\frac{\Gamma(\alpha+2)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta+2)}}-\left(\displaystyle{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}\right)^2\\
&=\displaystyle{\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)}\frac{(\alpha+1)\Gamma(\alpha+1)}{(\alpha+\beta+1)\Gamma(\alpha+\beta+1)}}-\left(\displaystyle{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}\right)^2\\
&=\displaystyle{\frac{\alpha+1}{\alpha+\beta+1}\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)}\frac{\alpha}{\Gamma(\alpha)}{(\alpha+\beta)\Gamma(\alpha+\beta)}}-\left(\displaystyle{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}}\right)^2\\
&=\displaystyle{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\left(\frac{\alpha+1}{\alpha+\beta+1}-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\right)}\\
&=\displaystyle{\frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)}}
\end{aligned}

3.2.7 コーシー分布

 確率変数X確率密度関数



\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{1}{\pi\sigma\left\{1+\left(\frac{(x-\mu)}{\sigma}\right)^2\right\}}}
\end{aligned}


と書けるとき確率変数Xは位置母数\mu、尺度母数\sigmaのコーシー分布C(\mu,\sigma)に従うという。

  • 密度関数の確認


\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)}dx=\displaystyle{\frac{1}{\pi}\sigma \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left\{1+\left(\displaystyle{\frac{x-\mu}{\sigma}}\right)^2\right\}}}dx
\end{aligned}


ここで\displaystyle{\frac{x-\mu}{\sigma}}=\tan⁡\thetaとおくとdx=\displaystyle{\frac{\sigma d\theta}{\cos^2⁡\theta}}でありx:-\infty\rightarrow \inftyのとき\theta:-\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\rightarrow\displaystyle{\frac{\pi}{2}}であるから



\begin{aligned}
\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)}dx&=\displaystyle{\frac{\sigma}{\pi\sigma}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\tan^2⁡\theta}\frac{d\theta}{cos^2⁡\theta}}\\
&=\displaystyle{\frac{1}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}d\theta}\\
&=\displaystyle{\frac{1}{\pi}\left[\theta\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}}=1
\end{aligned}

  • 平均:定義できない


\begin{aligned}
E[X]&=\displaystyle{\frac{1}{\pi}\sigma\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{\left\{1+\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2\right\}}}dx\\
&=\displaystyle{\frac{1}{\pi}\left[\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\displaystyle{\frac{x-\mu}{\sigma}}}{1+\left(\displaystyle{\frac{x-\mu}{\sigma}}\right)^2}dx+\displaystyle{\frac{\mu}{\sigma}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+\left(\displaystyle{\frac{x-\mu}{\sigma}}\right)^2}}dx\right] }\\
&=\displaystyle{\frac{1}{2\pi}\left[\log\left\{1+\left(\displaystyle{\frac{x-\mu}{\sigma}}\right)^2\right\}\right]_{-\infty}^{\infty}+\frac{1}{\pi}\frac{\mu}{\sigma}}
\end{aligned}


最右辺第1項は(\infty-\infty)型の不定形であるから、E[X]は定義できない。

  • 分散:定義できない


\begin{aligned}
V[X]=E[X^2]-\{E[X]\}^2
\end{aligned}


E[X]が定義できないのだから、V[X]も定義できない。

参考文献

  • Lehmann, E.L., Casella, George(1998), "Theory of Point Estimation, Second Edition", (Springer)
  • Lehmann, E.L., Romano, Joseph P.(2005), "Testing Statistical Hypotheses, Third Edition", (Springer)
  • Sturges, Herbert A.,(1926), "The Choice of a Class Interval", (Journal of the American Statistical Association, Vol. 21, No. 153 (Mar., 1926)), pp. 65-66
  • 上田拓治(2009)「44の例題で学ぶ統計的検定と推定の解き方」(オーム社)
  • 大田春外(2000)「はじめよう位相空間」(日本評論社)
  • 小西貞則(2010)「多変量解析入門――線形から非線形へ――」(岩波書店)
  • 小西貞則,北川源四郎(2004)「シリーズ予測と発見の科学2 情報量基準」(朝倉書店)
  • 小西貞則,越智義道,大森裕浩(2008)「シリーズ予測と発見の科学5 計算統計学の方法」(朝倉書店)
  • 佐和隆光(1979)「統計ライブラリー 回帰分析」(朝倉書店)
  • 清水泰隆(2019)「統計学への確率論,その先へ ―ゼロからの速度論的理解と漸近理論への架け橋」(内田老鶴圃)
  • 鈴木 武, 山田 作太郎(1996)「数理統計学 基礎から学ぶデータ解析」(内田老鶴圃)
  • 竹内啓・編代表(1989)「統計学辞典」(東洋経済新報社)
  • 竹村彰通(1991)「現代数理統計学」(創文社)
  • 竹村彰通(2020)「新装改訂版 現代数理統計学」(学術図書出版社)
  • 東京大学教養学部統計学教室編(1991)「基礎統計学Ⅰ 基礎統計学」(東京大学出版会)
  • 東京大学教養学部統計学教室編(1994)「基礎統計学Ⅱ 人文・社会科学の統計学」(東京大学出版会)
  • 東京大学教養学部統計学教室編(1992)「基礎統計学Ⅲ 自然科学の統計学」(東京大学出版会)
  • 豊田秀樹(2020)「瀕死の統計学を救え! ―有意性検定から「仮説が正しい確率」へ―」(朝倉書店)
  • 永田靖(2003)「サンプルサイズの決め方」(朝倉書店)
  • 柳川堯(2018)「P値 その正しい理解と適用」(近代科学社)
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