計量経済学を学んでいく。
まずは
を中心に参照して基礎を学んでいく。
今日のまとめ
- 一般化モーメント法などさまざまな推定法を扱う。
9. 説明変数と攪乱項の相関
古典的回帰モデルにおける仮定
(1) | ||
(2) | ||
(3) |
の1番目を除いた回帰モデルを新古典的回帰モデルと呼ぶ。
この場合、
は確率的である。
の階数は
である。
を仮定すれば、Gauss-Markovの定理が引き続き適用できる。このとき(a)-(c)が満たされるモデルを新古典的回帰モデルと呼ぶこととする。
9.1 回帰係数の極限
新古典的回帰モデルではのいずれも確率ベクトルであり、何らかの分布に従う。したがってその性質により推定量の特性が変わる。
仮定(2):が成立するならば、最小二乗推定量は不偏性をもつ。実際
であるから、仮定(2)が成り立つならば最右辺第2項がになるから、不偏性が成り立つ。しかし一般には
が成り立つとは限らない*1。
9.2 操作変数
攪乱項と説明変数に相関がある場合、最小二乗推定量は必ずしも“良い”推定量とは言い難い。そういった場合でも上手く推定が出来るような条件を考える。それは、説明変数と相関し、さらに攪乱項とは相関が無い変数が存在することである。そうした変数を操作変数と呼ぶ。
9.2.1 間接最小二乗法
操作変数が存在する場合、モデルの内生変数を外生変数の関数として表す誘導形を与える。
たとえばKeynesモデル
において、
もし
9.2.2 操作変数法
もう1つの方法は回帰モデルの両辺に対して操作変数との共分散を取り、その結果を解くことで推定値を得る方法を操作変数法という。
たとえばKeynes型消費関数
において操作変数に対する共分散を両辺について取ると、
を得る。もし民間投資が消費
の攪乱項と無相関ならば
であるから、
が得られる。
9.3 一般化モーメント法
と相関し
と無相関な操作変数が
個あるとする。また操作変数からなる行列を
とする。このとき直交条件
が成立する。
もし直交条件が正しければ、有限のであっても
が成り立ち得る。
一般化モーメント法(GMM)は直交条件から観測値のモーメントを用いて母数ベクトルを推定する。このとき
を得る。
新たにとおき、
と書き直す。の分散を
とおくと、
として
を得る。標本が無作為標本で標本数が大きい場合、
が漸近的に期待値が
の正規分布に従うことが知られている。
以上をもとにGMM推定量
を考える。
をウェイト行列と呼ぶ。
とおけば
である。一般にGMM推定量は一致性をもち、漸近的に正規分布に従う。
ウェイト行列としてを用いると、有効GMM推定量を得る。
*1:本書はこの条件がとの相関が無いことと同値と言っている。が、自分にはそれが同値なのかはよく分からない、というか導くことができなかった。