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やりなおしの数学・線形代数篇(15/26)

 定番書

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ

  • K上の線形空間V{}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in Vに対して内積(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})が定義されており、それが以下を満たすとき、Vを計量線形空間と呼ぶ。

    (1) (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2)=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_1)+(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_2),{}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2\in V

    (2) (c\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=c(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\ (\boldsymbol{x},c\boldsymbol{y})=\bar{c}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\ {}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V,\ c\in K,

    (3) (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\overline{(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})},\ {}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V

    (4) (\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})\geq0,\ {}^{\forall}\boldsymbol{x}\in V,\ (\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}
  • 計量線形区間Vの元\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_nが互いに直交し、どの元のノルムも1であるとき、それらを正規直交系という。特にそれらがVの基底であるとき、それらを正規直交基底と呼ぶ。
  • Gram-Schmidtの直交化法:Vの任意の基底\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_nに対して、まず
    \begin{aligned}\boldsymbol{e}_1=\displaystyle{\frac{1}{\|\boldsymbol{a}\|}}\boldsymbol{a}_1\end{aligned}
    とおく。次に
    \begin{aligned}{\boldsymbol{e}_k}^{\prime}&=\boldsymbol{a}_k-\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^{k}(\boldsymbol{a}_k,\boldsymbol{e}_i)}\boldsymbol{e}_i\right),\\\boldsymbol{e}_k&=\displaystyle{\frac{1}{\|{\boldsymbol{e}_k}^{\prime}\|}}{\boldsymbol{e}_k}^{\prime}\end{aligned}
    とする。こうして得た\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_nVの正規直交基底を成す。
  • 計量空間Vの部分空間Wに対して
    \begin{aligned}W^{\perp}=\{{}^{\forall}\boldsymbol{v}\in V\ s.t.\ {}^{\forall}\boldsymbol{w}\in W( (\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=0)\}\end{aligned}
    Wの直交補空間という。
  • V,V^{\prime}が共にK上の計量線形空間であり、同型写像\varphi:V\rightarrow V^{\prime}
    \begin{aligned}(\varphi(\boldsymbol{x}),\varphi(\boldsymbol{y}))=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\ {}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\end{aligned}
    を満たすとき、\varphiを計量同型写像という。このような\varphiが存在するとき、VV^{\prime}は計量同型であるという。更にユニタリ空間(実線形空間)VからVへの計量同型写像Vのユニタリ変換(直交変換)という。

4. 線形空間

4.8 計量線形空間

 線形空間に更なる概念を導入する。


定義:計量線形空間 K上の線形空間V{}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in Vに対して内積(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})が定義されており、それが以下を満たすとき、Vを計量線形空間と呼ぶ。
(1) (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2)=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_1)+(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_2),{}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2\in V
(2) (c\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=c(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\ (\boldsymbol{x},c\boldsymbol{y})=\bar{c}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\ {}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V,\ c\in K,
(3) (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\overline{(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})},\ {}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V
(4) (\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})\geq0,\ {}^{\forall}\boldsymbol{x}\in V,\ (\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}

K=\mathbb{R}のときをユークリッド空間という。またK=\mathbb{C}のときをユニタリ空間という。
 \sqrt{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})},\ \boldsymbol{x}\in Vのうち負でないものを\boldsymbol{x}の長さあるいはノルムといい、\|\boldsymbol{x}\|と書く。またある\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in Vについて(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0が成り立つとき、\boldsymbol{x}\boldsymbol{y}は直交するという。
 ノルムに関しても、Schwartzの不等式および三角不等式が成り立つ。すなわち


Schwartzの不等式および三角不等式 任意の線形空間Vの元\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}に関して
|(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|\leq\|\boldsymbol{x}\||\boldsymbol{y}\|
|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|\leq |\boldsymbol{x}\|+|\boldsymbol{y}\|
が成り立つ。

また直交と線形独立には明確な関係がある。


直交と線形独立\boldsymbol{0}でない\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_n\in Vが互いに直交するならば、それらは線形独立である。
(\because 線形関係

\begin{aligned}
c_1\boldsymbol{x}_1+\cdots+c_n\boldsymbol{x}_n=\boldsymbol{0}
\end{aligned}

があるときに、\boldsymbol{x}_i\neq \boldsymbol{0},\ i=1,2,\cdots,nとの内積を取ることでc_i=0を得る。これはこれらが線形独立であることの定義に他ならない。 \blacksquare)

 これを踏まえると、更なる線形空間に関する議論を深化できる。


正規直交系 計量線形区間Vの元\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_nが互いに直交し、どの元のノルムも1であるとき、それらを正規直交系という。特にそれらがVの基底であるとき、それらを正規直交基底と呼ぶ。

 正規直交系\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n\in Vがあるときに、\boldsymbol{a}\in Vがそれらの線形結合で表されないとき、


\begin{aligned}
\boldsymbol{a}^{\prime}=\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1-\cdots-(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_n)\boldsymbol{e}_n
\end{aligned}

とおけば、\boldsymbol{a}^{\prime}\neq \boldsymbol{0}かつ\boldsymbol{a}^{\prime}\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_nのすべてと直交する。したがって\boldsymbol{e}_{n+1}=\displaystyle{\frac{1}{\|\boldsymbol{a}^{\prime}\|}}\boldsymbol{a}^{\prime}とおけば、\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n,\boldsymbol{e}_{n+1}もまた正規直交系になる。
 これを応用して、Vの任意の基底\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_nから正規直交基底を生成することが出来る。すなわち、まず


\begin{aligned}
\boldsymbol{e}_1=\displaystyle{\frac{1}{\|\boldsymbol{a}\|}}\boldsymbol{a}_1
\end{aligned}

とおく。次に


\begin{aligned}
{\boldsymbol{e}_2}^{\prime}&=\boldsymbol{a}_2-(\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1,\\
\boldsymbol{e}_2&=\displaystyle{\frac{1}{\|{\boldsymbol{e}_2}^{\prime}\|}}{\boldsymbol{e}_2}^{\prime}
\end{aligned}

これを逐次的に繰り返すことで


\begin{aligned}
{\boldsymbol{e}_k}^{\prime}&=\boldsymbol{a}_k-\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^{k}(\boldsymbol{a}_k,\boldsymbol{e}_i)}\boldsymbol{e}_i\right),\\
\boldsymbol{e}_k&=\displaystyle{\frac{1}{\|{\boldsymbol{e}_k}^{\prime}\|}}{\boldsymbol{e}_k}^{\prime}
\end{aligned}

とする。こうして得た\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_nVの正規直交基底を成す。この方法をGram-Schmidtの直交化法という。
 以上をまとめることで以下が得られる。


正規直交基底の存在 任意の計量線形空間V(\neq\{\boldsymbol{0}\})は正規直交基底を持つ。更にVの正規直交系\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_rがあるときにこれに適当な個数のベクトルを加えることでVの正規直交基底を構築することが出来る。

 計量空間Vの部分空間Wに対して


\begin{aligned}
W^{\perp}=\{{}^{\forall}\boldsymbol{v}\in V\ s.t.\ {}^{\forall}\boldsymbol{w}\in W( (\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=0)\}
\end{aligned}

Wの直交補空間という。
 直交補空間には以下が成り立つ。


計量空間と直交補空間 計量空間Vはその部分空間WWの直交補空間W^{\perp}の直和である。
(\because 計量空間Vの部分空間Wからその正規直交基底\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_nを取る。このとき{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in Vに対して

\begin{aligned}
\boldsymbol{x}_1=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_i)\boldsymbol{e}_i},\ \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_1
\end{aligned}

とおけば、\boldsymbol{x}_1\in Wが成り立つ。また\boldsymbol{x}_2


\begin{aligned}
(\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{e}_i)&=(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{e}_i),\\
&=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_i)-(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{e}_i),\\
&=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_i)-(\boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_i)=0,\ {}^{\forall}i=1,2,\cdots,n
\end{aligned}

である、すなわち\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_nと直交するから、\boldsymbol{x}_2\in W^{\perp}である。したがってV=W+W^{\perp}が成り立つ。また{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in W\cap W^{\perp}に対して(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})=0により\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}だから、W\cap W^{\perp}=\{\boldsymbol{0}\}が成り立つ。これはV=W\oplus W^{\perp}と同値である。 \blacksquare)


直交補空間の性質 計量空間Vの部分空間Wに対してその直交補空間W^{\perp}は以下を満たす:
(1)\ (W^{\perp})^{\perp}=W
(2)\ (W_1+W_2)^{\perp}=W_1^{\perp}\cap W_2^{\perp}
(3)\ (W_1\cap W_2)^{\perp}=W_1^{\perp}+W_2^{\perp}

(\because (1) について、W(\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n)の任意の線形結合で表されるとし、これらを含むようなVの基底を取る。この基底にGram-Schmidtの直交化法を用いることでVの正規直交基底(\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_m),m\gt nを得る。
 このときW^{\perp}\boldsymbol{e}_{n+1},\cdots,\boldsymbol{e}_mの任意の線形結合で表される。実際、正規直交系は互いに直交するから、\boldsymbol{e}_{n+1},\cdots,\boldsymbol{e}_mはすべて{}^{\forall}\boldsymbol{w}\in Wと直交する。したがって\boldsymbol{e}_{r+1},\cdots,\boldsymbol{e}_{n+1},\cdots,\boldsymbol{e}_mの線形結合で表される任意のベクトルは{}^{\forall}\boldsymbol{w}\in Wと直交するからW^{\perp}\subset \left\{\displaystyle{\sum_{i=1}^{m-r}c_{r+i}\boldsymbol{e}_{r+i}}\right\}が成り立つ。またV=W\oplus W^{\perp}より\dim W^{\perp}=m-rが成立するが、\left\{\displaystyle{\sum_{i=1}^{m-r}c_{r+i}\boldsymbol{e}_{r+i}}\right\}の次元もn-rである。したがってW^{\perp}\boldsymbol{e}_{n+1},\cdots,\boldsymbol{e}_mの任意の線形結合で表される。これをもう一度適用することで、(W^{\perp})^{\perp}=\left\{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}c_{i}\boldsymbol{e}_{i}}\right\}が得られる。
 (2)について、まずW_1^{\perp}\cap W_2^{\perp}\subset(W_1+W_2)^{\perp}を示す。{}^{\forall}\boldsymbol{w}\in W_1^{\perp}\cap W_2^{\perp}に対して、定義から{}^{\forall}\boldsymbol{w}_1\in W_1\ ( (\boldsymbol{w},\boldsymbol{w}_1)=0)が成り立つ。同様に{}^{\forall}\boldsymbol{w}_2\in W_2\ ( (\boldsymbol{w},\boldsymbol{w}_2)=0)が成り立つ。
 ある直和の任意の元は各集合の元の和で表されるから、{}^{\forall}\boldsymbol{w}_1\in W_1,\boldsymbol{w}_2\in W_2を用いてW_1+W_2\ni\boldsymbol{w}=\boldsymbol{w}_1+\boldsymbol{w}_2が成り立ち、(\boldsymbol{w},\boldsymbol{w}_1+\boldsymbol{w}_2)=0であるから、\boldsymbol{w}\in(W_1+W_2)^{\perp}が成立する。
 次に(W_1+W_2)^{\perp}\subset W_1^{\perp}\cap W_2^{\perp}を示す。{}^{\forall}\boldsymbol{w}\in (W_1+W_2)^{\perp}に対して、W_1\subset W_1+W_2であるから{}^{\forall}\boldsymbol{w}_1\in W_1に対して(\boldsymbol{w},\boldsymbol{w}_1)=0が成り立ち、\boldsymbol{w}\in W_1^{\perp}である。同様に\boldsymbol{w}\in W_2^{\perp}である。したがって\boldsymbol{w}\in W_1^{\perp}\cap W_2^{\perp}である。以上からW_1^{\perp}\cap W_2^{\perp}=(W_1+W_2)^{\perp}である。
 (3)について、W_1^{\perp},W_2^{\perp}に(2)を適用すると、(1)に注意すれば


\begin{aligned}
&\ (W_1^{\perp})^{\perp}(\cap W_2^{\perp})^{\perp}=(W_1^{\perp}+W_2^{\perp})^{\perp}\\
\Leftrightarrow&\ W_1\cap W_2=(W_1^{\perp}+W_2^{\perp})^{\perp}\\
\Leftrightarrow&\ (W_1\cap W_2)^{\perp}=(W_1^{\perp}+W_2^{\perp})
\end{aligned}

以上から(3)が示された。 \blacksquare)


 V,V^{\prime}が共にK上の計量線形空間であり、同型写像\varphi:V\rightarrow V^{\prime}


\begin{aligned}
(\varphi(\boldsymbol{x}),\varphi(\boldsymbol{y}))=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\ {}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V
\end{aligned}

を満たすとき、\varphiを計量同型写像という。このような\varphiが存在するとき、VV^{\prime}は計量同型であるという。
 計量空間Vの正規直交基底\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_nがこれによって定まる同型写像\varphi:V\rightarrow K^nVからK^nの計量同型写像である。実際、


\begin{aligned}
\boldsymbol{x}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}x_i\boldsymbol{e}_i},\\
\boldsymbol{y}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}y_i\boldsymbol{e}_i}
\end{aligned}

に対して、


\begin{aligned}
(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}x_i\bar{y}_i}
\end{aligned}

である。一方で


\begin{aligned}
\varphi(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{bmatrix},\varphi(\boldsymbol{y})=\begin{bmatrix}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n
\end{bmatrix}
\end{aligned}

であるから、


\begin{aligned}
(\varphi(\boldsymbol{x}),\varphi(\boldsymbol{y}))=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}x_i\bar{y}_i}
\end{aligned}

となり両者が等しいことが分かる。特にK上の次元の等しい計量空間はすべて互いに計量同型である。
 またVに2つの正規直交基底(E;\varphi),(F;\psi)があるとき、基底をEからFに取り換える行列をPとすれば、Pはユニタリ行列(または直交行列)である。実際T_P=\varphi\circ\psi:K^n\rightarrow K^nは計量同型写像であるから、既に示したとおり、計量写像であること、すなわち(\varphi(\boldsymbol{x}),\varphi(\boldsymbol{y}))=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\ {}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in Vが成り立つこととPがユニタリ行列であることは同値である。逆もまた成り立つ。


定義:ユニタリ変換(直交変換) ユニタリ空間(実線形空間)VからVへの計量同型写像Vのユニタリ変換(直交変換)という。

 Vの線形変換T{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in V(\|T(\boldsymbol{x})\|=\|\boldsymbol{x}\|)が成り立つならば、TVのユニタリ変換(直交変換)である。一般に以下が成り立つ。


定理:ユニタリ変換とユニタリ行列の対応 Vのユニタリ変換(直交変換)Tの任意の正規直交基底(E;\varphi)に関する行列はユニタリ行列(直交行列)である。逆にVの線形変換Tのある正規直交基底に関する行列がユニタリ行列(直交行列)ならばTはユニタリ変換(直交変換)である。
(\because Tの基底E;\varphiに関する行列をAとする。このときT_{A}=\varphi\circ T\circ \varphi^{-1}:K^n\rightarrow K^nは計量同型写像であるから、Aはユニタリ行列(直交行列)である。
 逆にAがユニタリ行列(直交行列)であるならば、T_A:K^n\rightarrow K^nは計量同型写像であるから、T=\varphi^{-1}\circ T_A\circ \varphiVからVへの計量同型写像である。 \blacksquare)

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