定番書
を基に線形代数を学び直していく。
今日のまとめ
上の線形空間
の
に対して内積
が定義されており、それが以下を満たすとき、
を計量線形空間と呼ぶ。(1)
(2)
(3)
(4)
- 計量線形区間
の元
が互いに直交し、どの元のノルムも
であるとき、それらを正規直交系という。特にそれらが
の基底であるとき、それらを正規直交基底と呼ぶ。
- Gram-Schmidtの直交化法:
の任意の基底
に対して、まず
とおく。次にとする。こうして得たは
の正規直交基底を成す。
- 計量空間
の部分空間
に対して
をの直交補空間という。
が共に
上の計量線形空間であり、同型写像
が
を満たすとき、を計量同型写像という。このような
が存在するとき、
と
は計量同型であるという。更にユニタリ空間(実線形空間)
から
への計量同型写像を
のユニタリ変換(直交変換)という。
4. 線形空間
4.8 計量線形空間
線形空間に更なる概念を導入する。
のときをユークリッド空間という。また
のときをユニタリ空間という。
のうち負でないものを
の長さあるいはノルムといい、
と書く。またある
について
が成り立つとき、
と
は直交するという。
ノルムに関しても、Schwartzの不等式および三角不等式が成り立つ。すなわち
また直交と線形独立には明確な関係がある。
直交と線形独立
があるときに、との内積を取ることで
を得る。これはこれらが線形独立であることの定義に他ならない。
)
これを踏まえると、更なる線形空間に関する議論を深化できる。
正規直交系があるときに、
がそれらの線形結合で表されないとき、
とおけば、かつ
は
のすべてと直交する。したがって
とおけば、
もまた正規直交系になる。
これを応用して、の任意の基底
から正規直交基底を生成することが出来る。すなわち、まず
とおく。次に
これを逐次的に繰り返すことで
とする。こうして得たは
の正規直交基底を成す。この方法をGram-Schmidtの直交化法という。
以上をまとめることで以下が得られる。
計量空間の部分空間
に対して
をの直交補空間という。
直交補空間には以下が成り立つ。
計量空間と直交補空間 計量空間
とおけば、が成り立つ。また
は
である、すなわちと直交するから、
である。したがって
が成り立つ。また
に対して
により
だから、
が成り立つ。これは
と同値である。
)
直交補空間の性質 計量空間
(1)
(2)
(3)
( (1) について、
が
の任意の線形結合で表されるとし、これらを含むような
の基底を取る。この基底にGram-Schmidtの直交化法を用いることで
の正規直交基底
を得る。
このときは
の任意の線形結合で表される。実際、正規直交系は互いに直交するから、
はすべて
と直交する。したがって
の線形結合で表される任意のベクトルは
と直交するから
が成り立つ。また
より
が成立するが、
の次元も
である。したがって
は
の任意の線形結合で表される。これをもう一度適用することで、
が得られる。
(2)について、まずを示す。
に対して、定義から
が成り立つ。同様に
が成り立つ。
ある直和の任意の元は各集合の元の和で表されるから、を用いて
が成り立ち、
であるから、
が成立する。
次にを示す。
に対して、
であるから
に対して
が成り立ち、
である。同様に
である。したがって
である。以上から
である。
(3)について、に(2)を適用すると、(1)に注意すれば
以上から(3)が示された。 )
を満たすとき、を計量同型写像という。このような
が存在するとき、
と
は計量同型であるという。
計量空間の正規直交基底
がこれによって定まる同型写像
は
から
の計量同型写像である。実際、
に対して、
である。一方で
であるから、
となり両者が等しいことが分かる。特に上の次元の等しい計量空間はすべて互いに計量同型である。
またに2つの正規直交基底
があるとき、基底を
から
に取り換える行列を
とすれば、
はユニタリ行列(または直交行列)である。実際
は計量同型写像であるから、既に示したとおり、計量写像であること、すなわち
が成り立つことと
がユニタリ行列であることは同値である。逆もまた成り立つ。
の線形変換
が
が成り立つならば、
は
のユニタリ変換(直交変換)である。一般に以下が成り立つ。
定理:ユニタリ変換とユニタリ行列の対応
逆に