やりなおしの数学・線形代数篇（15/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
4.　線形空間
- 4.8　計量線形空間

今日のまとめ

$K$ 上の線形空間 $V$ の ${}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V$ に対して内積 $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ が定義されており、それが以下を満たすとき、 $V$ を計量線形空間と呼ぶ。
(1) $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2)=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_1)+(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_2),{}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2\in V$
(2) $(c\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=c(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\ (\boldsymbol{x},c\boldsymbol{y})=\bar{c}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\ {}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V,\ c\in K,$
(3) $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\overline{(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})},\ {}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V$
(4) $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})\geq0,\ {}^{\forall}\boldsymbol{x}\in V,\ (\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$

計量線形区間 $V$ の元 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ が互いに直交し、どの元のノルムも $1$ であるとき、それらを正規直交系という。特にそれらが $V$ の基底であるとき、それらを正規直交基底と呼ぶ。

Gram-Schmidtの直交化法： $V$ の任意の基底 $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_n$ に対して、まず
$\begin{aligned}\boldsymbol{e}_1=\displaystyle{\frac{1}{\|\boldsymbol{a}\|}}\boldsymbol{a}_1\end{aligned}$
とおく。次に
$\begin{aligned}{\boldsymbol{e}_k}^{\prime}&=\boldsymbol{a}_k-\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^{k}(\boldsymbol{a}_k,\boldsymbol{e}_i)}\boldsymbol{e}_i\right),\\\boldsymbol{e}_k&=\displaystyle{\frac{1}{\|{\boldsymbol{e}_k}^{\prime}\|}}{\boldsymbol{e}_k}^{\prime}\end{aligned}$
とする。こうして得た $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ は $V$ の正規直交基底を成す。

計量空間 $V$ の部分空間 $W$ に対して
$\begin{aligned}W^{\perp}=\{{}^{\forall}\boldsymbol{v}\in V\ s.t.\ {}^{\forall}\boldsymbol{w}\in W( (\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=0)\}\end{aligned}$
を $W$ の直交補空間という。

$V,V^{\prime}$ が共に $K$ 上の計量線形空間であり、同型写像 $\varphi:V\rightarrow V^{\prime}$ が
$\begin{aligned}(\varphi(\boldsymbol{x}),\varphi(\boldsymbol{y}))=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\ {}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V\end{aligned}$
を満たすとき、 $\varphi$ を計量同型写像という。このような $\varphi$ が存在するとき、 $V$ と $V^{\prime}$ は計量同型であるという。更にユニタリ空間(実線形空間) $V$ から $V$ への計量同型写像を $V$ のユニタリ変換(直交変換)という。

定義：計量線形空間　 $K$ 上の線形空間 $V$ の ${}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V$ に対して内積 $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})$ が定義されており、それが以下を満たすとき、 $V$ を計量線形空間と呼ぶ。
(1) $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_1+\boldsymbol{y}_2)=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_1)+(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_2),{}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}_1,\boldsymbol{y}_2\in V$
(2) $(c\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=c(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\ (\boldsymbol{x},c\boldsymbol{y})=\bar{c}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\ {}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V,\ c\in K,$
(3) $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\overline{(\boldsymbol{y},\boldsymbol{x})},\ {}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V$
(4) $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})\geq0,\ {}^{\forall}\boldsymbol{x}\in V,\ (\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})=0\Leftrightarrow \boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$

$K=\mathbb{R}$ のときをユークリッド空間という。また $K=\mathbb{C}$ のときをユニタリ空間という。
　 $\sqrt{(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})},\ \boldsymbol{x}\in V$ のうち負でないものを $\boldsymbol{x}$ の長さあるいはノルムといい、 $\|\boldsymbol{x}\|$ と書く。またある $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V$ について $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=0$ が成り立つとき、 $\boldsymbol{x}$ と $\boldsymbol{y}$ は直交するという。
　ノルムに関しても、Schwartzの不等式および三角不等式が成り立つ。すなわち

Schwartzの不等式および三角不等式　任意の線形空間 $V$ の元 $\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}$ に関して
$|(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})|\leq\|\boldsymbol{x}\||\boldsymbol{y}\|$
$|\boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\|\leq |\boldsymbol{x}\|+|\boldsymbol{y}\|$
が成り立つ。

また直交と線形独立には明確な関係がある。

直交と線形独立 $\boldsymbol{0}$ でない $\boldsymbol{x}_1,\cdots,\boldsymbol{x}_n\in V$ が互いに直交するならば、それらは線形独立である。

( $\because$ 　線形関係

$\begin{aligned} c_1\boldsymbol{x}_1+\cdots+c_n\boldsymbol{x}_n=\boldsymbol{0} \end{aligned}$

があるときに、 $\boldsymbol{x}_i\neq \boldsymbol{0},\ i=1,2,\cdots,n$ との内積を取ることで $c_i=0$ を得る。これはこれらが線形独立であることの定義に他ならない。　 $\blacksquare$ )

　これを踏まえると、更なる線形空間に関する議論を深化できる。

正規直交系　計量線形区間 $V$ の元 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ が互いに直交し、どの元のノルムも $1$ であるとき、それらを正規直交系という。特にそれらが $V$ の基底であるとき、それらを正規直交基底と呼ぶ。

　正規直交系 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n\in V$ があるときに、 $\boldsymbol{a}\in V$ がそれらの線形結合で表されないとき、

$\begin{aligned} \boldsymbol{a}^{\prime}=\boldsymbol{a}-(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1-\cdots-(\boldsymbol{a},\boldsymbol{e}_n)\boldsymbol{e}_n \end{aligned}$

とおけば、 $\boldsymbol{a}^{\prime}\neq \boldsymbol{0}$ かつ $\boldsymbol{a}^{\prime}$ は $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ のすべてと直交する。したがって $\boldsymbol{e}_{n+1}=\displaystyle{\frac{1}{\|\boldsymbol{a}^{\prime}\|}}\boldsymbol{a}^{\prime}$ とおけば、 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n,\boldsymbol{e}_{n+1}$ もまた正規直交系になる。
　これを応用して、 $V$ の任意の基底 $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_n$ から正規直交基底を生成することが出来る。すなわち、まず

$\begin{aligned} \boldsymbol{e}_1=\displaystyle{\frac{1}{\|\boldsymbol{a}\|}}\boldsymbol{a}_1 \end{aligned}$

とおく。次に

$\begin{aligned} {\boldsymbol{e}_2}^{\prime}&=\boldsymbol{a}_2-(\boldsymbol{a}_2,\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1,\\ \boldsymbol{e}_2&=\displaystyle{\frac{1}{\|{\boldsymbol{e}_2}^{\prime}\|}}{\boldsymbol{e}_2}^{\prime} \end{aligned}$

これを逐次的に繰り返すことで

$\begin{aligned} {\boldsymbol{e}_k}^{\prime}&=\boldsymbol{a}_k-\left(\displaystyle{\sum_{i=1}^{k}(\boldsymbol{a}_k,\boldsymbol{e}_i)}\boldsymbol{e}_i\right),\\ \boldsymbol{e}_k&=\displaystyle{\frac{1}{\|{\boldsymbol{e}_k}^{\prime}\|}}{\boldsymbol{e}_k}^{\prime} \end{aligned}$

とする。こうして得た $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ は $V$ の正規直交基底を成す。この方法をGram-Schmidtの直交化法という。
　以上をまとめることで以下が得られる。

正規直交基底の存在　任意の計量線形空間 $V(\neq\{\boldsymbol{0}\})$ は正規直交基底を持つ。更に $V$ の正規直交系 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_r$ があるときにこれに適当な個数のベクトルを加えることで $V$ の正規直交基底を構築することが出来る。

　計量空間 $V$ の部分空間 $W$ に対して

$\begin{aligned} W^{\perp}=\{{}^{\forall}\boldsymbol{v}\in V\ s.t.\ {}^{\forall}\boldsymbol{w}\in W( (\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=0)\} \end{aligned}$

を $W$ の直交補空間という。
　直交補空間には以下が成り立つ。

計量空間と直交補空間　計量空間 $V$ はその部分空間 $W$ と $W$ の直交補空間 $W^{\perp}$ の直和である。

( $\because$ 　計量空間 $V$ の部分空間 $W$ からその正規直交基底 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ を取る。このとき ${}^{\forall}\boldsymbol{x}\in V$ に対して

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}_1=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_i)\boldsymbol{e}_i},\ \boldsymbol{x}_2=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_1 \end{aligned}$

とおけば、 $\boldsymbol{x}_1\in W$ が成り立つ。また $\boldsymbol{x}_2$ は

$\begin{aligned} (\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{e}_i)&=(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{e}_i),\\ &=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_i)-(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{e}_i),\\ &=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_i)-(\boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_i)=0,\ {}^{\forall}i=1,2,\cdots,n \end{aligned}$

である、すなわち $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ と直交するから、 $\boldsymbol{x}_2\in W^{\perp}$ である。したがって $V=W+W^{\perp}$ が成り立つ。また ${}^{\forall}\boldsymbol{x}\in W\cap W^{\perp}$ に対して $(\boldsymbol{x},\boldsymbol{x})=0$ により $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ だから、 $W\cap W^{\perp}=\{\boldsymbol{0}\}$ が成り立つ。これは $V=W\oplus W^{\perp}$ と同値である。　 $\blacksquare$ )

直交補空間の性質　計量空間 $V$ の部分空間 $W$ に対してその直交補空間 $W^{\perp}$ は以下を満たす：
(1) $\ (W^{\perp})^{\perp}=W$
(2) $\ (W_1+W_2)^{\perp}=W_1^{\perp}\cap W_2^{\perp}$
(3) $\ (W_1\cap W_2)^{\perp}=W_1^{\perp}+W_2^{\perp}$

( $\because$ 　(1) について、 $W$ が $(\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n)$ の任意の線形結合で表されるとし、これらを含むような $V$ の基底を取る。この基底にGram-Schmidtの直交化法を用いることで $V$ の正規直交基底 $(\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_m),m\gt n$ を得る。
　このとき $W^{\perp}$ は $\boldsymbol{e}_{n+1},\cdots,\boldsymbol{e}_m$ の任意の線形結合で表される。実際、正規直交系は互いに直交するから、 $\boldsymbol{e}_{n+1},\cdots,\boldsymbol{e}_m$ はすべて ${}^{\forall}\boldsymbol{w}\in W$ と直交する。したがって $\boldsymbol{e}_{r+1},\cdots,\boldsymbol{e}_{n+1},\cdots,\boldsymbol{e}_m$ の線形結合で表される任意のベクトルは ${}^{\forall}\boldsymbol{w}\in W$ と直交するから $W^{\perp}\subset \left\{\displaystyle{\sum_{i=1}^{m-r}c_{r+i}\boldsymbol{e}_{r+i}}\right\}$ が成り立つ。また $V=W\oplus W^{\perp}$ より $\dim W^{\perp}=m-r$ が成立するが、 $\left\{\displaystyle{\sum_{i=1}^{m-r}c_{r+i}\boldsymbol{e}_{r+i}}\right\}$ の次元も $n-r$ である。したがって $W^{\perp}$ は $\boldsymbol{e}_{n+1},\cdots,\boldsymbol{e}_m$ の任意の線形結合で表される。これをもう一度適用することで、 $(W^{\perp})^{\perp}=\left\{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}c_{i}\boldsymbol{e}_{i}}\right\}$ が得られる。
　(2)について、まず $W_1^{\perp}\cap W_2^{\perp}\subset(W_1+W_2)^{\perp}$ を示す。 ${}^{\forall}\boldsymbol{w}\in W_1^{\perp}\cap W_2^{\perp}$ に対して、定義から ${}^{\forall}\boldsymbol{w}_1\in W_1\ ( (\boldsymbol{w},\boldsymbol{w}_1)=0)$ が成り立つ。同様に ${}^{\forall}\boldsymbol{w}_2\in W_2\ ( (\boldsymbol{w},\boldsymbol{w}_2)=0)$ が成り立つ。
　ある直和の任意の元は各集合の元の和で表されるから、 ${}^{\forall}\boldsymbol{w}_1\in W_1,\boldsymbol{w}_2\in W_2$ を用いて $W_1+W_2\ni\boldsymbol{w}=\boldsymbol{w}_1+\boldsymbol{w}_2$ が成り立ち、 $(\boldsymbol{w},\boldsymbol{w}_1+\boldsymbol{w}_2)=0$ であるから、 $\boldsymbol{w}\in(W_1+W_2)^{\perp}$ が成立する。
　次に $(W_1+W_2)^{\perp}\subset W_1^{\perp}\cap W_2^{\perp}$ を示す。 ${}^{\forall}\boldsymbol{w}\in (W_1+W_2)^{\perp}$ に対して、 $W_1\subset W_1+W_2$ であるから ${}^{\forall}\boldsymbol{w}_1\in W_1$ に対して $(\boldsymbol{w},\boldsymbol{w}_1)=0$ が成り立ち、 $\boldsymbol{w}\in W_1^{\perp}$ である。同様に $\boldsymbol{w}\in W_2^{\perp}$ である。したがって $\boldsymbol{w}\in W_1^{\perp}\cap W_2^{\perp}$ である。以上から $W_1^{\perp}\cap W_2^{\perp}=(W_1+W_2)^{\perp}$ である。
　(3)について、 $W_1^{\perp},W_2^{\perp}$ に(2)を適用すると、(1)に注意すれば

$\begin{aligned} &\ (W_1^{\perp})^{\perp}(\cap W_2^{\perp})^{\perp}=(W_1^{\perp}+W_2^{\perp})^{\perp}\\ \Leftrightarrow&\ W_1\cap W_2=(W_1^{\perp}+W_2^{\perp})^{\perp}\\ \Leftrightarrow&\ (W_1\cap W_2)^{\perp}=(W_1^{\perp}+W_2^{\perp}) \end{aligned}$

以上から(3)が示された。　 $\blacksquare$ )

　 $V,V^{\prime}$ が共に $K$ 上の計量線形空間であり、同型写像 $\varphi:V\rightarrow V^{\prime}$ が

$\begin{aligned} (\varphi(\boldsymbol{x}),\varphi(\boldsymbol{y}))=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\ {}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V \end{aligned}$

を満たすとき、 $\varphi$ を計量同型写像という。このような $\varphi$ が存在するとき、 $V$ と $V^{\prime}$ は計量同型であるという。
　計量空間 $V$ の正規直交基底 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ がこれによって定まる同型写像 $\varphi:V\rightarrow K^n$ は $V$ から $K^n$ の計量同型写像である。実際、

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}x_i\boldsymbol{e}_i},\\ \boldsymbol{y}&=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}y_i\boldsymbol{e}_i} \end{aligned}$

に対して、

$\begin{aligned} (\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}x_i\bar{y}_i} \end{aligned}$

である。一方で

$\begin{aligned} \varphi(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix},\varphi(\boldsymbol{y})=\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix} \end{aligned}$

であるから、

$\begin{aligned} (\varphi(\boldsymbol{x}),\varphi(\boldsymbol{y}))=\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}x_i\bar{y}_i} \end{aligned}$

となり両者が等しいことが分かる。特に $K$ 上の次元の等しい計量空間はすべて互いに計量同型である。
　また $V$ に2つの正規直交基底 $(E;\varphi),(F;\psi)$ があるとき、基底を $E$ から $F$ に取り換える行列を $P$ とすれば、 $P$ はユニタリ行列(または直交行列)である。実際 $T_P=\varphi\circ\psi:K^n\rightarrow K^n$ は計量同型写像であるから、既に示したとおり、計量写像であること、すなわち $(\varphi(\boldsymbol{x}),\varphi(\boldsymbol{y}))=(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}),\ {}^{\forall}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in V$ が成り立つことと $P$ がユニタリ行列であることは同値である。逆もまた成り立つ。

定義：ユニタリ変換(直交変換)　ユニタリ空間(実線形空間) $V$ から $V$ への計量同型写像を $V$ のユニタリ変換(直交変換)という。

　 $V$ の線形変換 $T$ が ${}^{\forall}\boldsymbol{x}\in V(\|T(\boldsymbol{x})\|=\|\boldsymbol{x}\|)$ が成り立つならば、 $T$ は $V$ のユニタリ変換(直交変換)である。一般に以下が成り立つ。

定理：ユニタリ変換とユニタリ行列の対応　 $V$ のユニタリ変換(直交変換) $T$ の任意の正規直交基底 $(E;\varphi)$ に関する行列はユニタリ行列(直交行列)である。逆に $V$ の線形変換 $T$ のある正規直交基底に関する行列がユニタリ行列(直交行列)ならば $T$ はユニタリ変換(直交変換)である。

( $\because$ 　 $T$ の基底 $E;\varphi$ に関する行列を $A$ とする。このとき $T_{A}=\varphi\circ T\circ \varphi^{-1}:K^n\rightarrow K^n$ は計量同型写像であるから、 $A$ はユニタリ行列(直交行列)である。
　逆に $A$ がユニタリ行列(直交行列)であるならば、 $T_A:K^n\rightarrow K^n$ は計量同型写像であるから、 $T=\varphi^{-1}\circ T_A\circ \varphi$ は $V$ から $V$ への計量同型写像である。　 $\blacksquare$ )

今日のまとめ

4. 線形空間

4.8 計量線形空間

4.　線形空間

4.8　計量線形空間