定番書
を基に線形代数を学び直していく。
4. 線形空間
4.6 線形部分空間
および
自身は
の部分空間である。これ以外のものを真の部分空間という。
4.7 線形部分空間の性質
(が成り立つ。
に注意すれば、
に対して
である。したがってが成り立つ。
)
線形空間の
でない部分集合
に対して、
の元の線形結合の全体
はの部分空間である。これを
から生成される部分空間、もしくは
によって張られる部分空間という。
線形空間の部分空間
に対して
はの部分空間である。これを
と
との和空間という。
線形写像に対してその像
は
の部分空間である。また
はの部分空間である。これを
の核(カーネル)という。
更にこれに対して
(
とすれば、であるから
である。
他方で線形関係
があれば、
であるから、が成り立つ。したがって
が成り立つが、の線形独立性から
である。したがって
は
の基底である。
)
部分集合と次元
(1)
(2)
次元の和と和集合の次元
まず
次に
があるとする。この左辺はの元で、右辺は
の元であるから、ともに
の元である。したがって
が成り立つ。の線形独立性から
を得る。これを代入することで
が得られる。更にの線形独立性から
も得られる。したがって線形関係
が自明な線形関係であることが示された。 )