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やりなおしの数学・線形代数篇(12/26)

 定番書

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ

  • K上の線形空間Vの部分集合Wが同じ演算に関してK上の線形空間になる、すなわち

     (1)\ \ \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W\Rightarrow \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in W

     (2)\ \ \boldsymbol{x}\in W,\ a\in K\Rightarrow a\boldsymbol{x}\in W

    が成り立つとき、WVの線形部分空間であるという。

4. 線形空間

4.6 線形部分空間


線形部分空間 K上の線形空間Vの部分集合Wが同じ演算に関してK上の線形空間になる、すなわち
 (1)\ \ \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W\Rightarrow \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in W
 (2)\ \ \boldsymbol{x}\in W,\ a\in K\Rightarrow a\boldsymbol{x}\in W
が成り立つとき、WVの線形部分空間であるという。

 \{\boldsymbol{0}\}およびV自身はVの部分空間である。これ以外のものを真の部分空間という。

4.7 線形部分空間の性質


共通部分と線形部分空間 K上の線形空間Vの部分空間W_1,W_2に対し、その共通部分W_1\cap W_2もまたVの部分空間である。
\because K上の線形空間Vの部分空間W_1,W_2に対し、\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\in W_1,\ \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2\in W_2,\ k\in Kを取れば

\begin{aligned}
\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2&\in W_1,\ \boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2\in W_2,\\
k\boldsymbol{a}_1&\in W_1,\ k\boldsymbol{a}_2\in W_2
\end{aligned}

が成り立つ。
 W_1\subset W_1\cap W_2,\ W_3\subset W_1\cap W_2に注意すれば、\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2\in W_1\cap W_2,\ k\in Kに対して


\begin{aligned}
\boldsymbol{c}_1+\boldsymbol{c}_2&\in W_1\ \land\ \boldsymbol{c}_1+\boldsymbol{c}_2\in W_2,\\
k\boldsymbol{c}_1&\in W_1\ \land\ k\boldsymbol{c}_1\in W_2
\end{aligned}

である。したがって\boldsymbol{c}_1+\boldsymbol{c}_2\in W_1\cap W_2,\ k\boldsymbol{c}_1\in W_1\cap W_2が成り立つ。 \blacksquare


 線形空間V\emptysetでない部分集合Sに対して、Sの元の線形結合の全体


\begin{aligned}
\left\{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}c_i \boldsymbol{x}_i|c_i\in K, \boldsymbol{x}_i\in S\subset V}\right\}
\end{aligned}

Vの部分空間である。これをSから生成される部分空間、もしくはSによって張られる部分空間という。


 線形空間Vの部分空間W_1,W_2に対して


\begin{aligned}
\{\boldsymbol{w}_1+\boldsymbol{w}_2|\boldsymbol{w}_1\in W_1,\boldsymbol{w}_2\in W_2\}
\end{aligned}

Vの部分空間である。これをW_1W_2との和空間という。


 線形写像T:V\rightarrow V^{\prime}に対してその像T(V)Vの部分空間である。また


\begin{aligned}
T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})=\{\boldsymbol{x}\in V| T\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}^{\prime}\}
\end{aligned}

Vの部分空間である。これをTの核(カーネル)という。
 更にこれに対して


\begin{aligned}
\dim V=\dim T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})+\dim T(V)
\end{aligned}
が成り立つ。
\because T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})の基底\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_sを拡大し、Vの基底\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_s,\boldsymbol{e}_{s+1},\cdots,\boldsymbol{e}_nを得たとする。このときT\boldsymbol{e}_{s+1},\cdots,T\boldsymbol{e}_nT(V)の基底であることを言えばよい。
 {}^{\forall}\boldsymbol{x}^{\prime}\in T(V)に対して\boldsymbol{x}^{\prime}=T\boldsymbol{x}を満たすような\boldsymbol{x}\in Vが存在する。

\begin{aligned}
\boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{e}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{e}_n
\end{aligned}

とすれば、T\boldsymbol{e}_i=\boldsymbol{0}^{\prime},\ i=1,2,\cdots,sであるから


\begin{aligned}
\boldsymbol{x}^{\prime}=T\boldsymbol{x}=x_{s+1}T\boldsymbol{e}_{s+1}+\cdots+x_{n}T\boldsymbol{e}_{n}
\end{aligned}

である。
 他方で線形関係


\begin{aligned}
c_{s+1}T\boldsymbol{e}_{s+1}+\cdots+c_{n}T\boldsymbol{e}_{n}=\boldsymbol{0}^{\prime}
\end{aligned}

があれば、


\begin{aligned}
T(c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\cdots+c_{n}\boldsymbol{e}_{n})=c_{s+1}T\boldsymbol{e}_{s+1}+\cdots+c_{n}T\boldsymbol{e}_{n}=\boldsymbol{0}^{\prime}
\end{aligned}

であるから、c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\cdots+c_{n}\boldsymbol{e}_{n}\in T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})が成り立つ。したがって


\begin{aligned}
c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\cdots+c_{n}\boldsymbol{e}_{n}=c_1\boldsymbol{e}_1+\cdots+c_s\boldsymbol{e}_s
\end{aligned}

が成り立つが、\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_s,\boldsymbol{e}_{s+1},\cdots,\boldsymbol{e}_nの線形独立性からc_1=\cdots=c_n=0である。したがってT\boldsymbol{e}_{s+1},\cdots,T\boldsymbol{e}_nT(V)の基底である。 \blacksquare)



部分集合と次元 Vの部分空間W_1,W_2に対して
 (1)\ \ W_1\subset W_2\Rightarrow \dim W_1+\dim W_2
 (2)\ \ W_1\subset W_2,\ \dim W_1=\dim W_2\Rightarrow \dim W_1=\dim W_2


次元の和と和集合の次元 Vの部分空間W_1,W_2に対して

\begin{aligned}
\dim W_1+\dim W_2=\dim (W_1+W_2)+\dim (W_1\cap W_2)
\end{aligned}
(\because W_1\cap W_2,W_1,W_2の次元をそれぞれr,r+s,r+tとして\dim (W_1+W_2)=r+s+tを示せばよい。
 W_1\cap W_2の基底\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_rを拡大し、W_1の基底\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_sおよびW_2の基底\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{c}_1,\boldsymbol{c}_2,\cdots,\boldsymbol{c}_tを得たとする。このとき\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_s,\boldsymbol{c}_1,\boldsymbol{c}_2,\cdots,\boldsymbol{c}_tW_1+W_2の基底になることを言えばよい。
 まず{}^{\forall}\boldsymbol{x}\in W_1+W_2{}^{\forall}\boldsymbol{x}_1\in W_1,{}^{\forall}\boldsymbol{x}_2\in W_2の和として\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2と書ける。したがって\boldsymbol{x}\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_s,\boldsymbol{c}_1,\boldsymbol{c}_2,\cdots,\boldsymbol{c}_tの線形結合として表される。
 次に\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_s,\boldsymbol{c}_1,\boldsymbol{c}_2,\cdots,\boldsymbol{c}_tの線形独立性を言う。線形関係

\begin{aligned}
&\displaystyle{\sum_{i=1}^{r} a_i\boldsymbol{a}_i+\sum_{j=1}^{s} b_j\boldsymbol{b}_j+\sum_{k=1}^{t} c_k\boldsymbol{c}_k}=\boldsymbol{0}\\
\Leftrightarrow&\displaystyle{\sum_{i=1}^{r} a_i\boldsymbol{a}_i+\sum_{j=1}^{s} b_j\boldsymbol{b}_j}=-\displaystyle{\sum_{k=1}^{t} c_k\boldsymbol{c}_k}
\end{aligned}

があるとする。この左辺はW_1の元で、右辺はW_2の元であるから、ともにW_1\cap W_2の元である。したがって


\begin{aligned}
{}^{\exists}{a_1}^{\prime}=\cdots={a_r}^{\prime}\in K\ s.t.\ -\displaystyle{\sum_{k=1}^{t} c_k\boldsymbol{c}_k}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{r} {a_i}^{\prime}\boldsymbol{a}_i}
\end{aligned}

が成り立つ。\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{c}_1,\cdots,\boldsymbol{c}_tの線形独立性から


\begin{aligned}
{a_1}^{\prime}=\cdots={a_r}^{\prime}=c_1=\cdots=c_t=0
\end{aligned}

を得る。これを代入することで


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{r} a_i\boldsymbol{a}_i+\sum_{j=1}^{s} b_j\boldsymbol{b}_j}=\boldsymbol{0}
\end{aligned}

が得られる。更に\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_sの線形独立性から


\begin{aligned}
a_1=a_2=\cdots=a_r=0,\ \ b_1=b_2=\cdots=b_s=0
\end{aligned}

も得られる。したがって線形関係


\begin{aligned}
\displaystyle{\sum_{i=1}^{r} a_i\boldsymbol{a}_i+\sum_{j=1}^{s} b_j\boldsymbol{b}_j+\sum_{k=1}^{t} c_k\boldsymbol{c}_k}=\boldsymbol{0}
\end{aligned}

が自明な線形関係であることが示された。 \blacksquare)

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