やりなおしの数学・線形代数篇（12/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
4.　線形空間
- 4.6　線形部分空間
- 4.7　線形部分空間の性質

今日のまとめ

$K$ 上の線形空間 $V$ の部分集合 $W$ が同じ演算に関して $K$ 上の線形空間になる、すなわち
　(1) $\ \ \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W\Rightarrow \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in W$
　(2) $\ \ \boldsymbol{x}\in W,\ a\in K\Rightarrow a\boldsymbol{x}\in W$
が成り立つとき、 $W$ を $V$ の線形部分空間であるという。

4.　線形空間

4.6　線形部分空間

線形部分空間　 $K$ 上の線形空間 $V$ の部分集合 $W$ が同じ演算に関して $K$ 上の線形空間になる、すなわち
　(1) $\ \ \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in W\Rightarrow \boldsymbol{x}+\boldsymbol{y}\in W$
　(2) $\ \ \boldsymbol{x}\in W,\ a\in K\Rightarrow a\boldsymbol{x}\in W$
が成り立つとき、 $W$ を $V$ の線形部分空間であるという。

　 $\{\boldsymbol{0}\}$ および $V$ 自身は $V$ の部分空間である。これ以外のものを真の部分空間という。

4.7　線形部分空間の性質

共通部分と線形部分空間　 $K$ 上の線形空間 $V$ の部分空間 $W_1,W_2$ に対し、その共通部分 $W_1\cap W_2$ もまた $V$ の部分空間である。

（ $\because$ 　 $K$ 上の線形空間 $V$ の部分空間 $W_1,W_2$ に対し、 $\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2\in W_1,\ \boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2\in W_2,\ k\in K$ を取れば

$\begin{aligned} \boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2&\in W_1,\ \boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2\in W_2,\\ k\boldsymbol{a}_1&\in W_1,\ k\boldsymbol{a}_2\in W_2 \end{aligned}$

が成り立つ。
　 $W_1\subset W_1\cap W_2,\ W_3\subset W_1\cap W_2$ に注意すれば、 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2\in W_1\cap W_2,\ k\in K$ に対して

$\begin{aligned} \boldsymbol{c}_1+\boldsymbol{c}_2&\in W_1\ \land\ \boldsymbol{c}_1+\boldsymbol{c}_2\in W_2,\\ k\boldsymbol{c}_1&\in W_1\ \land\ k\boldsymbol{c}_1\in W_2 \end{aligned}$

である。したがって $\boldsymbol{c}_1+\boldsymbol{c}_2\in W_1\cap W_2,\ k\boldsymbol{c}_1\in W_1\cap W_2$ が成り立つ。　 $\blacksquare$ ）

　線形空間 $V$ の $\emptyset$ でない部分集合 $S$ に対して、 $S$ の元の線形結合の全体

$\begin{aligned} \left\{\displaystyle{\sum_{i=1}^{n}c_i \boldsymbol{x}_i|c_i\in K, \boldsymbol{x}_i\in S\subset V}\right\} \end{aligned}$

は $V$ の部分空間である。これを $S$ から生成される部分空間、もしくは $S$ によって張られる部分空間という。

　線形空間 $V$ の部分空間 $W_1,W_2$ に対して

$\begin{aligned} \{\boldsymbol{w}_1+\boldsymbol{w}_2|\boldsymbol{w}_1\in W_1,\boldsymbol{w}_2\in W_2\} \end{aligned}$

は $V$ の部分空間である。これを $W_1$ と $W_2$ との和空間という。

　線形写像 $T:V\rightarrow V^{\prime}$ に対してその像 $T(V)$ は $V$ の部分空間である。また

$\begin{aligned} T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})=\{\boldsymbol{x}\in V| T\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}^{\prime}\} \end{aligned}$

は $V$ の部分空間である。これを $T$ の核(カーネル)という。
　更にこれに対して

$\begin{aligned} \dim V=\dim T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})+\dim T(V) \end{aligned}$

が成り立つ。
（ $\because$ 　 $T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ の基底 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_s$ を拡大し、 $V$ の基底 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_s,\boldsymbol{e}_{s+1},\cdots,\boldsymbol{e}_n$ を得たとする。このとき $T\boldsymbol{e}_{s+1},\cdots,T\boldsymbol{e}_n$ が $T(V)$ の基底であることを言えばよい。
　 ${}^{\forall}\boldsymbol{x}^{\prime}\in T(V)$ に対して $\boldsymbol{x}^{\prime}=T\boldsymbol{x}$ を満たすような $\boldsymbol{x}\in V$ が存在する。

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}=x_1\boldsymbol{e}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{e}_n \end{aligned}$

とすれば、 $T\boldsymbol{e}_i=\boldsymbol{0}^{\prime},\ i=1,2,\cdots,s$ であるから

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}^{\prime}=T\boldsymbol{x}=x_{s+1}T\boldsymbol{e}_{s+1}+\cdots+x_{n}T\boldsymbol{e}_{n} \end{aligned}$

である。
　他方で線形関係

$\begin{aligned} c_{s+1}T\boldsymbol{e}_{s+1}+\cdots+c_{n}T\boldsymbol{e}_{n}=\boldsymbol{0}^{\prime} \end{aligned}$

があれば、

$\begin{aligned} T(c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\cdots+c_{n}\boldsymbol{e}_{n})=c_{s+1}T\boldsymbol{e}_{s+1}+\cdots+c_{n}T\boldsymbol{e}_{n}=\boldsymbol{0}^{\prime} \end{aligned}$

であるから、 $c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\cdots+c_{n}\boldsymbol{e}_{n}\in T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})$ が成り立つ。したがって

$\begin{aligned} c_{s+1}\boldsymbol{e}_{s+1}+\cdots+c_{n}\boldsymbol{e}_{n}=c_1\boldsymbol{e}_1+\cdots+c_s\boldsymbol{e}_s \end{aligned}$

が成り立つが、 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_s,\boldsymbol{e}_{s+1},\cdots,\boldsymbol{e}_n$ の線形独立性から $c_1=\cdots=c_n=0$ である。したがって $T\boldsymbol{e}_{s+1},\cdots,T\boldsymbol{e}_n$ は $T(V)$ の基底である。　 $\blacksquare$ )

部分集合と次元　 $V$ の部分空間 $W_1,W_2$ に対して
　(1) $\ \ W_1\subset W_2\Rightarrow \dim W_1+\dim W_2$
　(2) $\ \ W_1\subset W_2,\ \dim W_1=\dim W_2\Rightarrow \dim W_1=\dim W_2$

次元の和と和集合の次元　 $V$ の部分空間 $W_1,W_2$ に対して

$\begin{aligned} \dim W_1+\dim W_2=\dim (W_1+W_2)+\dim (W_1\cap W_2) \end{aligned}$

( $\because$ 　 $W_1\cap W_2,W_1,W_2$ の次元をそれぞれ $r,r+s,r+t$ として $\dim (W_1+W_2)=r+s+t$ を示せばよい。
　 $W_1\cap W_2$ の基底 $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r$ を拡大し、 $W_1$ の基底 $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_s$ および $W_2$ の基底 $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{c}_1,\boldsymbol{c}_2,\cdots,\boldsymbol{c}_t$ を得たとする。このとき $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_s,\boldsymbol{c}_1,\boldsymbol{c}_2,\cdots,\boldsymbol{c}_t$ が $W_1+W_2$ の基底になることを言えばよい。
　まず ${}^{\forall}\boldsymbol{x}\in W_1+W_2$ は ${}^{\forall}\boldsymbol{x}_1\in W_1,{}^{\forall}\boldsymbol{x}_2\in W_2$ の和として $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_1+\boldsymbol{x}_2$ と書ける。したがって $\boldsymbol{x}$ は $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_s,\boldsymbol{c}_1,\boldsymbol{c}_2,\cdots,\boldsymbol{c}_t$ の線形結合として表される。
　次に $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_s,\boldsymbol{c}_1,\boldsymbol{c}_2,\cdots,\boldsymbol{c}_t$ の線形独立性を言う。線形関係

$\begin{aligned} &\displaystyle{\sum_{i=1}^{r} a_i\boldsymbol{a}_i+\sum_{j=1}^{s} b_j\boldsymbol{b}_j+\sum_{k=1}^{t} c_k\boldsymbol{c}_k}=\boldsymbol{0}\\ \Leftrightarrow&\displaystyle{\sum_{i=1}^{r} a_i\boldsymbol{a}_i+\sum_{j=1}^{s} b_j\boldsymbol{b}_j}=-\displaystyle{\sum_{k=1}^{t} c_k\boldsymbol{c}_k} \end{aligned}$

があるとする。この左辺は $W_1$ の元で、右辺は $W_2$ の元であるから、ともに $W_1\cap W_2$ の元である。したがって

$\begin{aligned} {}^{\exists}{a_1}^{\prime}=\cdots={a_r}^{\prime}\in K\ s.t.\ -\displaystyle{\sum_{k=1}^{t} c_k\boldsymbol{c}_k}=\displaystyle{\sum_{i=1}^{r} {a_i}^{\prime}\boldsymbol{a}_i} \end{aligned}$

が成り立つ。 $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{c}_1,\cdots,\boldsymbol{c}_t$ の線形独立性から

$\begin{aligned} {a_1}^{\prime}=\cdots={a_r}^{\prime}=c_1=\cdots=c_t=0 \end{aligned}$

を得る。これを代入することで

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{r} a_i\boldsymbol{a}_i+\sum_{j=1}^{s} b_j\boldsymbol{b}_j}=\boldsymbol{0} \end{aligned}$

が得られる。更に $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_r,\boldsymbol{b}_1,\boldsymbol{b}_2,\cdots,\boldsymbol{b}_s$ の線形独立性から

$\begin{aligned} a_1=a_2=\cdots=a_r=0,\ \ b_1=b_2=\cdots=b_s=0 \end{aligned}$

も得られる。したがって線形関係

$\begin{aligned} \displaystyle{\sum_{i=1}^{r} a_i\boldsymbol{a}_i+\sum_{j=1}^{s} b_j\boldsymbol{b}_j+\sum_{k=1}^{t} c_k\boldsymbol{c}_k}=\boldsymbol{0} \end{aligned}$

が自明な線形関係であることが示された。　 $\blacksquare$ )

今日のまとめ

4. 線形空間

4.6 線形部分空間

4.7 線形部分空間の性質

4.　線形空間

4.6　線形部分空間

4.7　線形部分空間の性質