やりなおしの数学・線形代数篇（14/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
4.　線形空間
- 4.7　線形写像
  - 4.7.1　基底の変更と線形写像
  - 4.7.2　階数を与える同値条件

今日のまとめ

線形写像 $T:V\rightarrow V^{\prime}$ に対して像空間 $T(V)$ の次元を $T$ の階数(ランク)という。

$V$ の別の基底 $(F,\psi)$ を選び、基底を $E\rightarrow F$ へ取り換える行列を $P$ とする。 $F$ に関する $T$ の行列を $B$ とすれば、
$\begin{aligned}B=P^{-1}AP\end{aligned}$
が成り立つ。したがって互いに相似な行列は、どれも同一の線形変換に対する様々な規定に関する行列による表現と解釈することができる。

4.　線形空間

4.7　線形写像

　線形空間に基底を選び、線形写像を行列で表現することを考える。
　線形空間 $V$ においてある1つの基底 $\boldsymbol{E}=\{\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n\}$ を選ぶと、 $V$ から $K^n$ への同型写像 $\varphi$ が決まる。そこで、これら基底と同型写像を1組 $(\boldsymbol{E},\varphi)$ で考える。
　 $V,V^{\prime}$ を $K$ 上の $n$ , $m$ 次元の線形空間とする。また $T:V\rightarrow T^{\prime}$ を線形写像とする。 $V,V^{\prime}$ の基底 $(\boldsymbol{E},\varphi),(\boldsymbol{E}^{\prime},\varphi^{\prime})$ を適当に取る。このとき合成写像 $\varphi^{\prime}\circ T\circ \varphi^{-1}$ は $K^m$ から $K^n$ の線形写像であるから、ある $(m,n)$ 型行列 $A$ を用いて

$\begin{aligned} \varphi^{\prime}\circ T\circ \varphi^{-1}=T_A \end{aligned}$

と書ける。この行列 $A$ を基底 $(\boldsymbol{E},\varphi),(\boldsymbol{E}^{\prime},\varphi^{\prime})$ に関する $T$ の行列という。
　 $\boldsymbol{E}=\{\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n\},\boldsymbol{E}^{\prime}=\{\boldsymbol{e}_1^{\prime},\cdots,\boldsymbol{e}_n^{\prime}\}$ としたとき、 $\boldsymbol{x}\in V$ およびその像 $T\boldsymbol{x}$ を

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}&=x_1\boldsymbol{e}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{e}_n,\\ T\boldsymbol{x}&=x_1^{\prime}\boldsymbol{e}_1^{\prime}+\cdots+x_n^{\prime}\boldsymbol{e}_n^{\prime} \end{aligned}$

と表すとき、

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} x_1^{\prime}\\ \vdots\\ x_n^{\prime} \end{bmatrix}=\varphi^{\prime}(T\boldsymbol{x})=T_A\varphi(\boldsymbol{x})=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} \end{aligned}$

が成り立つ。ここで $A=(a_{ij})$ とする。
　実用上は、

$\begin{aligned} T\boldsymbol{e}_j=a_{1j}\boldsymbol{e}_1^{\prime}a_{2j}\boldsymbol{e}_2^{\prime}+\cdots+a_{mj}\boldsymbol{e}_m^{\prime} \end{aligned}$

として $A$ の各成分を求めるのが実用的である。

4.7.1　基底の変更と線形写像

　基底の取り方は一意ではないが、では $V,V^{\prime}$ の基底を取り換えると、対応する行列はどのように変わるのか。
　 $V,V^{\prime}$ の基底 $(E,\varphi),(E^{\prime},\varphi^{\prime})$ に関する $T$ の行列を $A$ とし、もう1つの基底 $(F,\psi),(F^{\prime},\psi^{\prime})$ に関する $T$ の行列を $B$ とする。このとき $V,V^{\prime}$ の基底を $E\rightarrow F,E\rightarrow F^{\prime}$ に取り換える行列をそれぞれ $P,Q$ とすれば、

$\begin{aligned} \varphi\circ \psi^{-1}=T_{P},\ \varphi^{\prime}\circ \psi^{\prime-1}=T_{Q} \end{aligned}$

である。したがって

$\begin{aligned} T_B&=\psi^{\prime}\circ T\circ \psi^{-1}\\ &=\psi^{\prime}\circ (\varphi^{\prime -1}\circ \varphi^{\prime})\circ T\circ (\varphi^{-1}\circ \varphi)\circ \psi^{-1}\\ &=(\psi^{\prime}\circ (\varphi^{\prime -1})\circ(\varphi^{\prime})\circ T\circ \varphi^{-1}) \circ (\varphi\circ \psi^{-1})\\ &={T_Q}^{-1}\circ T_A\circ T_P\\ &=T_{Q^{-1}AP} \end{aligned}$

である。したがって

$\begin{aligned} B=Q^{-1}AP \end{aligned}$

が得られる。
　線形写像 $T:V\rightarrow V^{\prime}$ に対し、像 $T(V)$ の基底 $E=\{\boldsymbol{e}_{1}^{\prime},\cdots,\boldsymbol{e}_{r}^{\prime}\}$ を選ぶことにする。そしてこれを拡大した $V^{\prime}$ の基底を $E^{\prime}=\{\boldsymbol{e}_{1}^{\prime},\cdots,\boldsymbol{e}_{m}^{\prime}\},\ r\lt m$ とする。次に各 $\boldsymbol{e}_i^{\prime},i=1,2,\cdots,r$ に対して $T\boldsymbol{e}_i=\boldsymbol{e}_i^{\prime}$ が成り立つような $\boldsymbol{e}_i\in V$ を取れば、 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_r$ は線形独立である。
　一方で $\dim V=\dim T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})+\dim T(V)$ が成り立つことに注意すれば、 $Ker(T)=T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})=n-r$ であるから、その基底は $\boldsymbol{e}_{r+1},\cdots,\boldsymbol{e}_n$ を取る。 $V$ の基底は $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ で表される。線形写像 $T$ の基底 $E,E^{\prime}$ に関する行列 $F_r(m,n)$ は標準形

$\begin{aligned} F_r(m,n)=\begin{bmatrix} I_r&O\\ O&O \end{bmatrix} \end{aligned}$

に等しい。ここまでは以下のような定理にまとめることができる。

基底の変換　任意の線形写像 $T:V\rightarrow V^{\prime}$ に対して $V,V^{\prime}$ の基底 $F,F^{\prime}$ を任意に取ると、 $F,F^{\prime}$ に関する $T$ の行列は標準形

$\begin{aligned} F=F_r(m,n)=\begin{bmatrix}E_r&O\\O&O\end{bmatrix} \end{aligned}$

で与えられる。

　この成果を踏まえて次のような概念を導入する。

定義：階数(ランク)　線形写像 $T:V\rightarrow V^{\prime}$ に対して像空間 $T(V)$ の次元を $T$ の階数(ランク)という。

　 $\dim V=\dim T^{-1}(\boldsymbol{0}^{\prime})+\dim T(V)$ から $T$ の階数(ランク)は $\dim V-\dim(Ker(T))$ に等しい。

階数(ランク)の性質(1)　 $T$ の階数(ランク)は $V,V^{\prime}$ の任意の基底に関する $T$ の行列の階数(ランク)に等しい。

階数(ランク)の性質(2)　 $(m,n)$ 型行列 $A$ の階数は $A$ の線形独立な列ベクトルの最大数に等しく、それは線形独立な行ベクトルの最大数にも等しい。

( $\because$ 　 $A$ の階数を $r$ とすれば、線形写像 $T_A:K^n\rightarrow K^m$ の階数 $\dim T_A(K^n)=r$ である。
　 $A$ の列ベクトルを $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_n$ とする。 $T_A(\boldsymbol{e}_i)=A\boldsymbol{e}_i=\boldsymbol{a}_i,i=1,2,\cdots,n$ が成り立つから、 $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_n$ は $T_A(K^n)$ を生成する。したがってちょうど $r$ この線形独立な列ベクトルが存在する。
　行ベクトルに関しては $r(A)=r({}^{t}A)$ より明らかである。　 $\blacksquare$ )

4.7.2　階数を与える同値条件

　ここまでで調べた階数を与える同値条件を整理すると以下のとおりとなる。

	(1)	$A$ を基本変形で標準形に変形したときに対角線上に並ぶ $1$ の個数。
	(2)	$A$ の $0$ でない小行列式の最大次数。
	(3)	$A$ によって定まる線形写像 $T_A:K^m\rightarrow K^n$ の像空間[tex:T_A(K^n)の次元。
	(4)	$A$ の線形独立な列ベクトルの最大数。
	(5)	$A$ の線形独立な行ベクトルの最大数。

　 $V$ の線形変換 $T:V\rightarrow T$ について基底 $(E,\varphi)$ に関する $T$ の行列を $A=(a_{ij})$ とすれば、

$\begin{aligned} \varphi\circ T\circ \varphi^{-1}=T_A \end{aligned}$

が成り立つ。また $\boldsymbol{x}\in V$ およびその像 $T\boldsymbol{x}$ を

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}&=x_1\boldsymbol{e}_1+\cdots+x_n\boldsymbol{e}_n,\\ T\boldsymbol{x}&=x_1^{\prime}\boldsymbol{e}_1+\cdots+x_n^{\prime}\boldsymbol{e}_n \end{aligned}$

と表すとき、

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} x_1^{\prime}\\ \vdots\\ x_n^{\prime} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ \vdots\\ x_n \end{bmatrix} \end{aligned}$