定番書
を基に線形代数を学び直していく。
今日のまとめ
- 線形写像
に対して像空間
の次元を
の階数(ランク)という。
の別の基底
を選び、基底を
へ取り換える行列を
とする。
に関する
の行列を
とすれば、
が成り立つ。したがって互いに相似な行列は、どれも同一の線形変換に対する様々な規定に関する行列による表現と解釈することができる。
4. 線形空間
4.7 線形写像
線形空間に基底を選び、線形写像を行列で表現することを考える。
線形空間においてある1つの基底
を選ぶと、
から
への同型写像
が決まる。そこで、これら基底と同型写像を1組
で考える。
を
上の
,
次元の線形空間とする。また
を線形写像とする。
の基底
を適当に取る。このとき合成写像
は
から
の線形写像であるから、ある
型行列
を用いて
と書ける。この行列を基底
に関する
の行列という。
としたとき、
およびその像
を
と表すとき、
が成り立つ。ここでとする。
実用上は、
としての各成分を求めるのが実用的である。
4.7.1 基底の変更と線形写像
基底の取り方は一意ではないが、ではの基底を取り換えると、対応する行列はどのように変わるのか。
の基底
に関する
の行列を
とし、もう1つの基底
に関する
の行列を
とする。このとき
の基底を
に取り換える行列をそれぞれ
とすれば、
である。したがって
である。したがって
が得られる。
線形写像に対し、像
の基底
を選ぶことにする。そしてこれを拡大した
の基底を
とする。次に各
に対して
が成り立つような
を取れば、
は線形独立である。
一方でが成り立つことに注意すれば、
であるから、その基底は
を取る。
の基底は
で表される。線形写像
の基底
に関する行列
は標準形
に等しい。ここまでは以下のような定理にまとめることができる。
この成果を踏まえて次のような概念を導入する。
階数(ランク)の性質(1)
階数(ランク)の性質(2)
行ベクトルに関しては
4.7.2 階数を与える同値条件
ここまでで調べた階数を与える同値条件を整理すると以下のとおりとなる。
(1) | ||
(2) | ||
(3) | ||
(4) | ||
(5) |
の線形変換
について基底
に関する
の行列を
とすれば、
が成り立つ。またおよびその像
を
と表すとき、
である。
の別の基底
を選び、基底を
へ取り換える行列を
とする。
に関する
の行列を
とすれば、
が成り立つ。したがって互いに相似な行列は、どれも同一の線形変換に対する様々な規定に関する行列による表現と解釈することができる。
定義:不変部分空間 線形変換
が成り立つとき、は
による不変部分空間という。