やりなおしの数学・線形代数篇（18/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
5.　固有値と固有ベクトル
- 5.2　Unitary空間の正規変換

今日のまとめ

Unitary変換は $T^{*}=T^{-1}$ が成り立つような変換である。また $T^{*}=T$ が成り立つ変換 $T$ をHermite変換という。これは任意の正規直交基底に関する $T$ の行列がHermite行列（ ${}^{t}\bar{A}=A$ ）であるような変換である。

5.　固有値と固有ベクトル

5.2　Unitary空間の正規変換

　 $V$ をUnitary空間、 $T$ を $V$ の線形変換とし、ある正規直交基底に関する $T$ の行列を $A$ とする。
　この基底に関して $A$ の随伴行列 $A^{*}={}^{t}\bar{A}$ により表現される $V$ の線形変換を $T$ の随伴変換といい、 $T^{*}$ で表す。 $T^{*}$ は ${}^{\forall}\boldsymbol{x},{}^{\forall}\boldsymbol{y}\in V$ に対して

$\begin{aligned} (T^{*}\boldsymbol{x},\boldsymbol{y})=(\boldsymbol{x},T\boldsymbol{y}) \end{aligned}$

が成り立つことで特徴づけられる。
　Unitary変換は $T^{*}=T^{-1}$ が成り立つような変換である。また $T^{*}=T$ が成り立つ変換 $T$ をHermite変換という。これは任意の正規直交基底に関する $T$ の行列がHermite行列（ ${}^{t}\bar{A}=A$ ）であるような変換である。

　 $T^{*}$ と $T$ が交換可能な変換を正規変換という。Unitary変換やHermite変換は正規変換である。また $n$ 次行列 $A$ が $A^{*}A=AA^{*}$ を満たすとき正規行列という。

線形変換の交換可能性と固有ベクトルの関係　複素線形空間 $V$ の2つの線形変換 $T,S$ が交換可能ならば $T,S$ は少なくとも1つの共通な固有ベクトルを持つ。

( $\because$ 　 $T$ の1つの固有値 $\alpha$ に対する固有空間を $W$ とする。 $W$ は $T$ -不変かつ $S$ -不変である。実際 $\boldsymbol{x}\in W$ に対して

$\begin{aligned} T(S\boldsymbol{x})=S(T\boldsymbol{x})=S(\alpha\boldsymbol{x})=\alpha S\boldsymbol{x} \end{aligned}$

が成り立つ。したがって $S\boldsymbol{x}$ は $T$ の固有値 $\alpha$ に対する固有ベクトル、すなわち $W$ の元である。
　 $S$ の $W$ への制限 $S_{W}$ の1つの固有ベクトル $\boldsymbol{a}$ を取れば、これは $S$ の固有ベクトルであり、 $\boldsymbol{a}\in W$ でもあるから、 $T$ の固有ベクトルでもある。　 $\blacksquare$ )

Unitary空間と随伴変換　 $n$ 次元Unitary空間 $V$ の2つの線形変換 $T,S$ が交換可能ならば、以下を満たすような $V$ の部分空間列 $\{W_i\}_{i=1}^{n}$ が存在する：
(1) $W_i,i=1,2,\cdots,n$ は $T$ -不変かつ $S$ -不変である；
(2) $\{\boldsymbol{0}\}=W_0\subset W_1\subset\cdots\subset W_n=V$ ；
(3) $\dim W_i=\dim W_{i-1}+1, i=1,2,\cdots,n$

( $\because$ 　 $n=1$ ならば明らかである。 $\dim V=n-1$ において主張が成り立つと仮定する。
　 $T,S$ の随伴変換をそれぞれ $T^{*},S^{*}$ とすれば、条件(1)よりこれらは交換可能である。 $T^{*},S^{*}$ に共通する固有ベクトル $\boldsymbol{a}$ を取り、これと直交するようなベクトル全体の成す $V$ の部分空間を $W_{n-1}$ とする。
　 $W_{n-1}$ は $T$ -不変かつ $S$ -不変である。なぜならば $\boldsymbol{x}\in W_{n-1}$ を取ると、

$\begin{aligned} (\boldsymbol{a},T\boldsymbol{x})=(T^{*}\boldsymbol{a},\boldsymbol{x})=\alpha(\boldsymbol{a},\boldsymbol{x})=0 \end{aligned}$

となり、 $W_{n-1}$ は $T$ -不変である。 $S$ に関しても同様である。
　 $T,S$ の $W_{n-1}$ への制限を $T^{\prime},S^{\prime}$ とすれば、明らかにこれらは交換可能である。 $\dim W_{n-1}=n-1$ であるから、数学的帰納法の過程から次の条件を満たすような $\{W_i\}_{i=1}^{n-1}$ が存在する：

(1 $^{\prime}$ ) $W_i,i=1,2,\cdots,n$ は $T^{\prime}$ -不変かつ $S^{\prime}$ -不変である；
(2 $^{\prime}$ ) $\{\boldsymbol{0}=W_0\subset W_1\subset\cdots\subset W_{n-1}=V\}$ ；
(3 $^{\prime}$ ) $\dim W_i=\dim W_{i-1}+1, i=1,2,\cdots,n-1$