定番書
を基に線形代数を学び直していく。
今日のまとめ
- Unitary変換は
が成り立つような変換である。また
が成り立つ変換
をHermite変換という。これは任意の正規直交基底に関する
の行列がHermite行列(
)であるような変換である。
5. 固有値と固有ベクトル
5.2 Unitary空間の正規変換
をUnitary空間、
を
の線形変換とし、ある正規直交基底に関する
の行列を
とする。
この基底に関しての随伴行列
により表現される
の線形変換を
の随伴変換といい、
で表す。
は
に対して
が成り立つことで特徴づけられる。
Unitary変換はが成り立つような変換である。また
が成り立つ変換
をHermite変換という。これは任意の正規直交基底に関する
の行列がHermite行列(
)であるような変換である。
と
が交換可能な変換を正規変換という。Unitary変換やHermite変換は正規変換である。また
次行列
が
を満たすとき正規行列という。
が成り立つ。したがっては
の固有値
に対する固有ベクトル、すなわち
の元である。
の
への制限
の1つの固有ベクトル
を取れば、これは
の固有ベクトルであり、
でもあるから、
の固有ベクトルでもある。
)
Unitary空間と随伴変換
(1)
(2)
(3)
となり、は
-不変である。
に関しても同様である。
の
への制限を
とすれば、明らかにこれらは交換可能である。
であるから、数学的帰納法の過程から次の条件を満たすような
が存在する:
(1)
は
-不変かつ
-不変である;
(2)
;
(3)
このときの部分空間列
が定理の条件を満たすのは明らかである。
)