やりなおしの数学・線形代数篇（10/26） - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　定番書

作者:齋藤正彦
東京大学出版会

を基に線形代数を学び直していく。

今日のまとめ
4.　線形空間
- 4.5　基底

今日のまとめ

基底：線形空間 $V$ の有限個のベクトル $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ が以下の2つの条件を満たすとき、 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ は $V$ の基底であるという。
(1) $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ は線形独立である。
(2) $V$ の任意の元は $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ の線形結合として表される。

4.　線形空間

4.5　基底

基底の定義　線形空間 $V$ の有限個のベクトル $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ が以下の2つの条件を満たすとき、 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ は $V$ の基底であるという。
(1) $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ は線形独立である。
(2) $V$ の任意の元は $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_n$ の線形結合として表される。

　なお $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_k$ が線形独立ならば、ベクトル $\boldsymbol{x}$ を $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_k$ の線形結合として表す方法は高々1通りしかない。実際

$\begin{aligned} \boldsymbol{x}=b_1\boldsymbol{a}_1+\cdots+b_k\boldsymbol{a}_k=c_1\boldsymbol{a}_1+\cdots+c_k\boldsymbol{a}_k,\ b_i,c_i\in\mathbb{K},\ i=1,2,\cdots,k \end{aligned}$

と書けるとき、

$\begin{aligned} (b_1-c_1)\boldsymbol{a}_1+\cdots+(b_k-c_k)\boldsymbol{a}_k=\boldsymbol{0} \end{aligned}$

が成り立つ。この $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_k$ は線形独立であるから上記は自明な解しかもたないため、 $b_1-c_1=\cdots=b_k-c_k=0$ 、すなわち $b_1=c_1,\cdots,b_k=c_k$ が成り立つ。

　 $V=\{\boldsymbol{0}\}$ であるときを除き、基底は必ず存在する。さらに言えば以下が成り立つ：

基底の存在性　 $V\neq\{\boldsymbol{0}\}$ のとき、 $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_r$ が線形独立ならば、ここに有限個のベクトルを付け加えることで $V$ の基底を構築することができる。

（ $\because$ 　 $V$ は有限次元であるから、有限個の元 $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_k$ が存在し、 ${}^{\forall}\boldsymbol{x}\in V$ は $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_k$ の線形結合で表される。
　もし $V$ のすべての元が $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_r$ の線形結合で表されるならば、これらは既に $V$ の基底である。もし $V$ の元に $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_r$ の線形結合で表せないものが存在するならば、それらは $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_k$ の中に存在する*1。
　これが $\boldsymbol{a}_1$ であったとしても一般性を失わない。これを $\boldsymbol{a}_1=\boldsymbol{e}_{r+1}$ とおく。このとき $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{e}_{r+1}$ は線形独立である。これらがまだ基底でなければ同様に $\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_k$ から $\boldsymbol{e}_1,\cdots,\boldsymbol{e}_r,\boldsymbol{e}_{r+1}$ の線形結合として表すことのできないものを選んで更に $\boldsymbol{e}_{r+2}$ とおく。これを必要なだけ行うことで高々 $k$ 回目に $V$ の基底に達する。　 $\blacksquare$ ）

　基底は唯一の組み合わせがあるわけではない。しかしどの基底もそれを構成するベクトルの個数はすべて同じである。

基底のベクトル数　 $V,V^{\prime}$ を $K$ 上の互いに同型な線形空間だとする。また $\varphi:V\rightarrow V^{\prime}$ を同型写像とする。 $V$ のベクトル $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_k$ が線形独立ならば、 $V^{\prime}$ のベクトル $\varphi(\boldsymbol{a}_1),\cdots,\varphi(\boldsymbol{a}_k)$ もまた線形独立である。

（ $\because$ 　 $\boldsymbol{a}_1,\cdots,\boldsymbol{a}_k$ のあいだに線形関係

$\begin{aligned} c_1\boldsymbol{a}_1+\cdots+c_k\boldsymbol{a}_k=\boldsymbol{0},\ c_i\in\mathbb{K},\ i=1,2,\cdots,k \end{aligned}$

があるならば、

$\begin{aligned} \ &\ \varphi(c_1\boldsymbol{a}_1+\cdots+c_k\boldsymbol{a}_k)=\varphi(\boldsymbol{0})\\ \therefore\ &\ c_1\varphi(\boldsymbol{a}_1)+\cdots+c_k\varphi(\boldsymbol{a}_k)=\boldsymbol{0}^{\prime} \end{aligned}$