定番書
を基に線形代数を学び直していく。
今日のまとめ
- 基底:線形空間
の有限個のベクトル
が以下の2つの条件を満たすとき、
は
の基底であるという。(1)
は線形独立である。(2)
の任意の元は
の線形結合として表される。
4. 線形空間
4.5 基底
なおが線形独立ならば、ベクトル
を
の線形結合として表す方法は高々1通りしかない。実際
と書けるとき、
が成り立つ。このは線形独立であるから上記は自明な解しかもたないため、
、すなわち
が成り立つ。
であるときを除き、基底は必ず存在する。さらに言えば以下が成り立つ:
基底の存在性
もし
これが
基底は唯一の組み合わせがあるわけではない。しかしどの基底もそれを構成するベクトルの個数はすべて同じである。
(があるならば、
が成り立つ(は
の零元である。)。逆に
についても同様のことが成り立つ。
)
(
と一意に表現することができる。
そこでを
で定義すると、これはと
のあいだの同型対応を与える。
)
*1:やりなおしの数学・線形代数篇(009/X) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログの「線形結合の線形結合」参照。