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ファイナンス練習(2021年09月17日)

 業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。今回はP.225-227まで。

8. 金融工学の基礎

 最後となる本章では、デリバティブの価格付け理論を取り扱う。価格付け理論の根本原理は同一のキャッシュフローを生成する金融資産の現在価値は等しいという一物一価の法則である。これを正当化するために、更に

コスト無しに無リスクで利益を上げられる投資機会を裁定機会という。

という概念を定義した上で、無裁定であることを仮定する。

8.5 アメリカン・オプション評価

 ペイオフ関数がh(S)であるようなアメリカン・オプションを二項モデルで評価することを考える。ノードの設定は

n時点における下から(i-1)番目*1のノードを(n,i)とし、このノードにおける株価をS(n,i)、オプション価格をC(n,i)とする。このとき


\begin{aligned}
S(n,i)=Su^{i}d^{n-i}, i=1,\ 2,\cdots,n,\ n=1,\ 2,\cdots,\ T,\ S(0,0)=S
\end{aligned}

である。
 ノード(n,i)における原資産価格の変動を考えると、


{\displaystyle 
\begin{eqnarray}
 \left\{
    \begin{array}{l}
       S(n+1,i+1)&=uS(n.i),\\
       S(n+1,i)&=dS(n.i)
    \end{array}
  \right.
\end{eqnarray}
}


が成り立つ。
 このオプションの場合、各ノードで行使の是非を判断できるから、各ノードにおいて利得は


\begin{aligned}
B(n,i)=h(S(n,i))
\end{aligned}

であり、行使しなかった場合の価値は


\begin{aligned}
C(n,i)=\displaystyle{\frac{1}{1+r}\left[ qA(n+1, i+1) + (1-q)A(n+1,i)\right]}
\end{aligned}

で与えられる。ここでA(n,i)はノード(n,i)であり


\begin{aligned}
A(n,i)=\max\{B(n,i),C(n,i)\}
\end{aligned}

8.6. 番外編:3項モデル

 2項モデルの発展版として3項モデルを扱う。以下は

を参考にした。
 簡単のため、まずは1期間3項モデルを考える。t=0においてS(t)=S\gt0であるとして、確率p_1でリターンがUだけ、確率p_2でリターンがM\lt Uだけ、確率p_3でリターンがD\lt Mだけ加算されるとする。そして

  1. \ p_1+p_2+p_3=1, 0\leq p_i \leq 1,\ i=1,2,3,
  2. \ E\left[\Delta X\right]=\mu\Delta t,
  3. \ V\left[\Delta X\right]=\sigma^2\Delta t,
  4. 4. U+D=2M

を条件として与える。なお4つ目の条件は2期間においてノードが再結合するための条件である。
 これらの条件をすべて満足するようなパラメータの与え方は、たとえば以下のとおりである:


\begin{aligned}
p_1&=\displaystyle{\frac{1}{6}},\ U=\mu\Delta t +\sigma\sqrt{3\Delta t}\\
p_2&=\displaystyle{\frac{2}{3}},\ =\mu\Delta t,\\
p_3&=\displaystyle{\frac{1}{6}},\ =\mu\Delta t - \sigma\sqrt{3\Delta t}
\end{aligned}

*1:下落がn-i+1回起こったという株価になったということである。

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