ファイナンス練習(2021年09月17日) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。今回はP.225-227まで。

EXCEL&VBAで学ぶファイナンスの数理

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8. 金融工学の基礎
- 8.5 アメリカン・オプション評価
- 8.6. 番外編：3項モデル

8. 金融工学の基礎

　最後となる本章では、デリバティブの価格付け理論を取り扱う。価格付け理論の根本原理は「同一のキャッシュフローを生成する金融資産の現在価値は等しい」という一物一価の法則である。これを正当化するために、更に

コスト無しに無リスクで利益を上げられる投資機会を裁定機会という。

という概念を定義した上で、無裁定であることを仮定する。

8.5 アメリカン・オプション評価

　ペイオフ関数が $h(S)$ であるようなアメリカン・オプションを二項モデルで評価することを考える。ノードの設定は

$n$ 時点における下から $(i-1)$ 番目*1のノードを $(n,i)$ とし、このノードにおける株価を $S(n,i)$ 、オプション価格を $C(n,i)$ とする。このとき

$\begin{aligned} S(n,i)=Su^{i}d^{n-i}, i=1,\ 2,\cdots,n,\ n=1,\ 2,\cdots,\ T,\ S(0,0)=S \end{aligned}$

である。
　ノード $(n,i)$ における原資産価格の変動を考えると、

${\displaystyle \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} S(n+1,i+1)&=uS(n.i),\\ S(n+1,i)&=dS(n.i) \end{array} \right. \end{eqnarray} }$

が成り立つ。
　このオプションの場合、各ノードで行使の是非を判断できるから、各ノードにおいて利得は

$\begin{aligned} B(n,i)=h(S(n,i)) \end{aligned}$

であり、行使しなかった場合の価値は

$\begin{aligned} C(n,i)=\displaystyle{\frac{1}{1+r}\left[ qA(n+1, i+1) + (1-q)A(n+1,i)\right]} \end{aligned}$

で与えられる。ここで $A(n,i)$ はノード $(n,i)$ であり

$\begin{aligned} A(n,i)=\max\{B(n,i),C(n,i)\} \end{aligned}$

8.6. 番外編：3項モデル

　2項モデルの発展版として3項モデルを扱う。以下は

コンピュテーショナル・ファイナンス (ファイナンス講座)

作者:爽一郎, 森平,裕, 小島
朝倉書店

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を参考にした。
　簡単のため、まずは1期間3項モデルを考える。 $t=0$ において $S(t)=S\gt0$ であるとして、確率 $p_1$ でリターンが $U$ だけ、確率 $p_2$ でリターンが $M\lt U$ だけ、確率 $p_3$ でリターンが $D\lt M$ だけ加算されるとする。そして

$\ p_1+p_2+p_3=1, 0\leq p_i \leq 1,\ i=1,2,3,$
$\ E\left[\Delta X\right]=\mu\Delta t,$
$\ V\left[\Delta X\right]=\sigma^2\Delta t,$
$4. U+D=2M$

を条件として与える。なお4つ目の条件は2期間においてノードが再結合するための条件である。
　これらの条件をすべて満足するようなパラメータの与え方は、たとえば以下のとおりである：

$\begin{aligned} p_1&=\displaystyle{\frac{1}{6}},\ U=\mu\Delta t +\sigma\sqrt{3\Delta t}\\ p_2&=\displaystyle{\frac{2}{3}},\ =\mu\Delta t,\\ p_3&=\displaystyle{\frac{1}{6}},\ =\mu\Delta t - \sigma\sqrt{3\Delta t} \end{aligned}$

*1:下落が $n-i+1$ 回起こったという株価になったということである。