ファイナンス練習(2021年09月14日) - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　業務でC#を用いることになったので、最近勉強していなくて朧気になってきた知識をReviseする意味でも、以下の書籍を読みながらC#で実装してみる。今回はP.202-205まで。

EXCEL&VBAで学ぶファイナンスの数理

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7. Monte Carloシミュレーション
- 7.5 Monte Carloシミュレーションの精度と乱数の数

7. Monte Carloシミュレーション

7.5 Monte Carloシミュレーションの精度と乱数の数

　シミュレーションにおける乱数の数との関係性を触れる。
　一般に積分の総和への近似により、Monte Carlo法によるオプション価格の計算は生成する乱数の数を $n$ として一般に

$\begin{aligned} C_n =\displaystyle{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}h(X_i)} \end{aligned}$

と書ける。ここで $h(x)$ はペイオフ関数、 $\{X_i\}$ は独立で同一の分布に従う確率変数列とする。
　ここで、 $m=E\left[h(X_i) \right], \sigma^2=V\left[h(X_i) \right]$ とおけば

$\begin{aligned} E\left[C_n \right]=m, V\left[C_n \right]=\displaystyle{\frac{\sigma^2}{n}} \end{aligned}$

である。したがって中心極限定理から、充分大きな $n$ に対して

$\begin{aligned} S_n=\displaystyle{\frac{C_n-m}{\sigma/\sqrt{n}}}\sim N(0,1) \end{aligned}$

が成り立つ。
　このとき、 $100\alpha\% (0\lt\alpha\lt1)$ 以上の精度で誤差を $100\beta\%(0\lt\beta\lt1)$ 以内に抑えるために $n$ をいくつにすればよいだろうか。
　その求めたい $n$ を $\hat{n}$ とすれば、 $S_n\sim N(0,1)$ であるから、それは

$\begin{aligned} P\left(\left\{|C_n-m|\leq\beta \right\}\right)&=P\left(\left\{|S_n|\leq \displaystyle{\frac{\beta}{\sigma}\sqrt{n}} \right\}\right)\\ &=\Phi\left(\displaystyle{\frac{\beta}{\sigma}\sqrt{n}}\right)-\Phi\left(-\displaystyle{\frac{\beta}{\sigma}\sqrt{n}}\right)\\ &=2\Phi\left(\displaystyle{\frac{\beta}{\sigma}\sqrt{n}}\right)-1\geq \alpha \end{aligned}$

を満たす最小の $n$ である。ここで $\Phi(\cdot)$ は標準正規分布関数である。したがって、

$\begin{aligned} \hat{n} =\left\lfloor{\left\{\displaystyle{\frac{\sigma}{\beta}}\Phi^{-1}\left(\displaystyle{\frac{1+\alpha}{2}}\right)\right\}^2}\right\rfloor \end{aligned}$

である。ここで実数 $x$ に対して $\lfloor{x}\rfloor$ は $x$ を超えるすべて整数の中で最小のものを表す。ここから明らかなように、Monte Carlo法では乱数の数 $=$ 試行回数 $n$ に対して求めたい解の誤差は $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{n}}}$ のオーダーで収束する。