金融工学でのモンテカルロ法(10/23)：条件付きモンテカルロ法 - 「大人の教養・知識・気付き」を伸ばすブログ

　今回から、金融工学におけるシミュレーションについて学んでいく。テキストとして以下を使う。今回はP.79-82まで。

モンテカルロ法の金融工学への応用 (シリーズ現代金融工学)

作者:祥二, 湯前,輝好, 鈴木
朝倉書店

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6.　条件付きモンテカルロ法
- 6.1　条件付きMonte Carlo法の原理
- 6.2　例：確率ボラティリティ・モデルを用いたコール・オプション価格評価
次回

6.　条件付きモンテカルロ法

　 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法は

問題に沿った（同時）分布に従う（多変量）乱数列の生成
その乱数列を使った計算

の2つの部分に分けて考えられる。乱数列の生成は更に

一様分布に従う乱数列 $\{u_1,u_2,\cdots,u_n\}$ の生成
それを元にした必要な同時分布に従う乱数列 $\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_n\}$ の生成

に分けられる。

　 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法は高次元問題を取り扱うことはできるものの、誤差を減らすには大きな時間が掛かり時間効率が低い。そこで本章では時間効率を上げるための手段の1つとして分散減少法を説明する。 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法における解の統計的誤差は点列数 $N$ に対して $k/\sqrt{N}$ に出来る。分散減少法はこの $k$ を減らす試みである。
　 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法による関数 $f$ の積分値を

$\begin{aligned} E^{*}[f(X)] \end{aligned}$

と書くことにすると、 $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法のアイディアは以下の2つに分けることが出来ると言える：

関数 $f$ を同じ積分値を取る別の関数に置換え
期待値 $E^{*}[\cdot]$ の取り方を変更

関数 $f$ を同じ積分値を取る別の関数に置換え	*期待値 $E^{}[\cdot]$ の取り方を変更**
(1) 負の相関法	(1) 条件付き $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法
(2) 制御変量法	(2) 層別化法
(3) 回帰分析法	(2-1) ラテン・ハイパーキューブ法
(4) マルチンゲール分散法	(2-2) $\mathrm{Curran}$ の方法
	(3) 加重サンプリング法
	(4) 測度変換法

6.1　条件付きMonte Carlo法の原理

　 $X,Y$ を確率変数とする。全確率の公式から

$\begin{aligned} E[X]=E[E[X|Y]] \end{aligned}$

が成り立つ。また条件付き分散 $V_{X}[X|Y]$ を

$\begin{aligned} V_{X}[X|Y]:=E[(X-E[X|Y])^2|Y] \end{aligned}$

で定義する。
　このとき $\mathrm{Jensen}$ の不等式を用いることで

$\begin{aligned} V[X]&=E[(X-E[X])^2]\ (\because 分散の定義)\\ &=E[E[(X-E[X])^2|Y]]\ (\because 全確率の公式)\\ &\geq E\left[(E[X|Y]-E[E[X|Y]])^2\right]\ (\because \mathrm{Jensen}の不等式)\\ &=E[(E[X|Y]-E[X])]\ (\because 全確率の公式)\\ &=V[E[X|Y]] \end{aligned}$

が成立する。したがって推定対象を $X$ とする単純な $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法よりも条件付き $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法の方が誤差分散を小さく出来る。ただし条件付き $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法は期待値の演算が二重で $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法が入れ子構造を成すため、上手に式変形・利用することでそれを回避できるようにする方が望ましい。

6.2　例：確率ボラティリティ・モデルを用いたコール・オプション価格評価

　 $\mathrm{Hull\ and\ White}$ が提案した確率ボラティリティ・モデルを考える。すなわち株価とそのボラティリティが

$\begin{aligned} \displaystyle{\frac{dS(t)}{S(t)}}&= rdt+\sigma(t)dZ(t),\\ \displaystyle{\frac{d \sigma^2(t)}{\sigma^2(t)}}&=\alpha dt +\beta dW(t) \end{aligned}$

を満たすとする。ただし $dZ(t),\ dW(t)$ は独立である。
　このとき、ペイオフ関数が

$\begin{aligned} C(T)=e^{-rT}\max[S(T)-K,0] \end{aligned}$

であるような満期が $T$ で行使価格が $K$ であるヨーロピアン・コール・オプションの価格は

$\begin{aligned} m^{sv}=E[C(T)]=E_{\bar{V}}[E[C(T)]|\bar{V}] \end{aligned}$

で求まる。ここで

$\begin{aligned} E[C(T)|\bar{V}]&=C_0^{BS}(r,S_0,K,T,\bar{V}),\\ \bar{V}&=\displaystyle{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sigma^2(t)dt} \end{aligned}$

であり $C_0^{BS}$ は $\mathrm{Black}$ - $\mathrm{Scholes}$ 方程式における解析解である。
　このモデルにおけるオプション価格は条件付き $\mathrm{Monte\ Carlo}$ 法に外ならず、期待値 $E[C(t)|\bar{V}]$ は解析的に計算できる。したがって

$\begin{aligned} \hat{m}^{sv}=\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}}C_0^{BS}(r,S_0,K,T,\bar{V}_i) \end{aligned}$

で得られる。ここで $\bar{V}_i$ は平均ボラティリティの離散近似値で

$\begin{aligned} \bar{V}_i=\displaystyle{\frac{1}{M}\sum_{j=1}^{M}\sigma_{ij}^2} \end{aligned}$

により定義される。また $\sigma_{ij}$ は

$\begin{aligned} \sigma_{i(j+1)}^2=\sigma^2_{ij}+\alpha \Delta t \sigma_{ij}^2+\beta\sqrt{\Delta t}\sigma_{ij}^2\zeta_{ij} \end{aligned}$

により離散化する。

(1)	$i=1$ について標準正規乱数列 $\begin{aligned}\boldsymbol{\zeta}_i=(\zeta_1,\cdots,\zeta_M)\end{aligned}$ を生成する。
(2)	ボラティリティのサンプルパスを $\begin{aligned}\sigma_{i(j+1)}^2=\sigma_{ij}^2+\alpha \Delta t \sigma_{ij}^2+\beta\sqrt{\Delta t}\sigma_{ij}^2\zeta_{ij}\end{aligned}$ に基づき生成する。
(3)	$\sigma_{ij}$ の平均ボラティリティ $\bar{V}_i$ を計算する。
(4)	第 $i$ サンプルパスに対するオプション価格 $C_0^{BS}(r,S_0,K,T,\bar{V}_i)$ を計算する。
(5)	$i=n$ でない限り $i=i+1$ として繰り返して $\hat{m}$ を計算する。