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金融工学でのモンテカルロ法(10/N):条件付きモンテカルロ法

 今回から、金融工学におけるシミュレーションについて学んでいく。テキストとして以下を使う。今回はP.79-82まで。

 モンテカルロ法

  • 問題に沿った(同時)分布に従う(多変量)乱数列の生成
  • その乱数列を使った計算

の2つの部分に分けて考えられる。乱数列の生成は更に

  1. 一様分布に従う乱数列\{u_1,u_2,\cdots,u_n\}の生成
  2. それを元にした必要な同時分布に従う乱数列\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_n\}の生成

に分けられる。

6. 条件付きモンテカルロ法

 Monte Carlo法は高次元問題を取り扱うことはできるものの、誤差を減らすには大きな時間が掛かり時間効率が低い。そこで本章では時間効率を上げるための手段の1つとして条件付きMonte Carlo法を説明する。期待値E[]の取り方を変更することで解の誤差分散を減らす方法の1つである。
 Monte Carlo法による関数f積分値を


\begin{aligned}
E^{*}[f(X)]
\end{aligned}

と書くことにすると、Monte Carlo法のアイディアは以下の2つに分けることが出来ると言える:

  • 関数fを同じ積分値を取る別の関数に置換え
  • 期待値E^{*}[\cdot]の取り方を変更
関数fを同じ積分値を取る別の関数に置換え
期待値E^{*}[\cdot]の取り方を変更
(1) 負の相関法 (1) 条件付きMonte Carlo法
(2) 制御変量法 (2) 層別化法
(3) 回帰分析法 (2-1) ラテン・ハイパーキューブ法
(4) マルチンゲール分散法 (2-2) Curranの方法
(3) 加重サンプリング法
(4) 測度変換法

6.1 条件付きMonte Carlo法の原理

 X,Yを確率変数とする。全確率の公式から


\begin{aligned}
E[X]=E[E[X|Y]]
\end{aligned}

が成り立つ。また条件付き分散V_{X}[X|Y]


\begin{aligned}
V_{X}[X|Y]:=E[(X-E[X|Y])^2|Y]
\end{aligned}

で定義する。
 このときJensenの不等式を用いることで


\begin{aligned}
V[X]&=E[(X-E[X])^2]\ (\because 分散の定義)\\
&=E[E[(X-E[X])^2|Y]]\ (\because 全確率の公式)\\
&\geq E\left[(E[X|Y]-E[E[X|Y]])^2\right]\ (\because Jensenの不等式)\\
&=E[(E[X|Y]-E[X])]\ (\because 全確率の公式)\\
&=V[E[X|Y]]
\end{aligned}

が成立する。したがって推定対象をXとする単純なMonte Carlo法よりも条件付きMonte Carlo法の方が誤差分散を小さく出来る。ただし条件付きMonte Carlo法は期待値の演算が二重でMonte Carlo法が入れ子構造を成すため、上手に式変形・利用することでそれを回避できるようにする方が望ましい。

6.2 例:確率ボラティリティ・モデルを用いたコール・オプション価格評価

 Hull and Whiteが提案した確率ボラティリティ・モデルを考える。すなわち株価とそのボラティリティ


\begin{aligned}
\displaystyle{\frac{dS(t)}{S(t)}}&= rdt+\sigma(t)dZ(t),\\
\displaystyle{\frac{d \sigma^2(t)}{\sigma^2(t)}}&=\alpha dt +\beta dW(t)
\end{aligned}

を満たすとする。ただしdZ(t),\ dW(t)は独立である。
 このとき、ペイオフ関数が


\begin{aligned}
C(T)=e^{-rT}\max[S(T)-K,0]
\end{aligned}

であるような満期がTで行使価格がKであるヨーロピアン・コール・オプションの価格は


\begin{aligned}
m^{sv}=E[C(T)]=E_{\bar{V}}[E[C(T)]|\bar{V}]
\end{aligned}

で求まる。ここで


\begin{aligned}
E[C(T)|\bar{V}]&=C_0^{BS}(r,S_0,K,T,\bar{V}),\\
\bar{V}&=\displaystyle{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sigma^2(t)dt}
\end{aligned}

でありC_0^{BS}はBlack-Scholes方程式における解析解である。
 このモデルにおけるオプション価格は条件付きMonte Carlo法に外ならず、期待値E[C(t)|\bar{V}]は解析的に計算できる。したがって


\begin{aligned}
\hat{m}^{sv}=\displaystyle{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}}C_0^{BS}(r,S_0,K,T,\bar{V}_i)
\end{aligned}

で得られる。ここで\bar{V}_iは平均ボラティリティの離散近似値で


\begin{aligned}
\bar{V}_i=\displaystyle{\frac{1}{M}\sum_{j=1}^{M}\sigma_{ij}^2}
\end{aligned}

により定義される。また\sigma_{ij}


\begin{aligned}
\sigma_{i(j+1)}^2=\sigma^2_{ij}+\alpha \Delta t \sigma_{ij}^2+\beta\sqrt{\Delta t}\sigma_{ij}^2\zeta_{ij}
\end{aligned}

により離散化する。

(1) i=1について標準正規乱数列
\begin{aligned}\boldsymbol{\zeta}_i=(\zeta_1,\cdots,\zeta_M)\end{aligned}
を生成する。
(2) ボラティリティのサンプルパスを
\begin{aligned}\sigma_{i(j+1)}^2=\sigma_{ij}^2+\alpha \Delta t \sigma_{ij}^2+\beta\sqrt{\Delta t}\sigma_{ij}^2\zeta_{ij}\end{aligned}
に基づき生成する。
(3) \sigma_{ij}の平均ボラティリティ\bar{V}_iを計算する。
(4) iサンプルパスに対するオプション価格C_0^{BS}(r,S_0,K,T,\bar{V}_i)を計算する。
(5) i=nでない限りi=i+1として繰り返して\hat{m}を計算する。
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